Theorem hashsng 14331

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12557	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8990	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8990	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14309	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13520	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14308	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2786	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4567   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ≈ cen 8890  Fincfn 8893  1c1 11039  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  hashen1  14332  hashrabrsn  14334  hashrabsn01  14335  hashunsng  14354  hashunsngx  14355  hashprg  14357  elprchashprn2  14358  hashdifsn  14376  hashsn01  14378  hash1snb  14381  hashmap  14397  hashfun  14399  hashbclem  14414  hashbc  14415  hashf1  14419  hash2prde  14432  hash2pwpr  14438  hashge2el2dif  14442  hash7g  14448  hash3tpexb  14456  hashdifsnp1  14468  s1len  14569  ackbijnn  15793  phicl2  16738  dfphi2  16744  vdwlem8  16959  ramcl  17000  cshwshashnsame  17074  efmnd1hash  18860  symg1hash  19365  pgp0  19571  odcau  19579  sylow2a  19594  sylow3lem6  19607  prmcyg  19869  gsumsnfd  19926  ablfac1eulem  20049  ablfac1eu  20050  pgpfaclem2  20059  prmgrpsimpgd  20091  ablsimpgprmd  20092  c0snmhm  20443  0ringdif  20504  0ring01eqbi  20509  rng1nnzr  20752  fta1glem2  26134  fta1blem  26136  fta1lem  26273  vieta1lem2  26277  vieta1  26278  vmappw  27079  umgredgnlp  29216  lfuhgr1v0e  29323  usgr1vr  29324  uvtxnm1nbgr  29473  1hevtxdg1  29575  1egrvtxdg1  29578  lfgrwlkprop  29754  rusgrnumwwlkb0  30042  clwwlknon1le1  30171  eupth2eucrct  30287  fusgreghash2wspv  30405  numclwlk1lem1  30439  ex-hash  30523  0ringsubrg  33312  drngidlhash  33494  prmidl0  33510  qsidomlem1  33512  krull  33539  qsdrng  33557  esplyfval1  33717  rlmdim  33754  lsatdim  33761  zarcmplem  34025  esumcst  34207  cntnevol  34372  coinflippv  34628  ccatmulgnn0dir  34686  ofcccat  34687  lpadlem2  34824  derang0  35351  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  frlmvscadiccat  42951