Theorem hashsng 14292

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12521	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8978	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8980	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8980	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14270	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13482	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12417	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14269	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2786	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  1c1 11027  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254

This theorem is referenced by:  hashen1  14293  hashrabrsn  14295  hashrabsn01  14296  hashunsng  14315  hashunsngx  14316  hashprg  14318  elprchashprn2  14319  hashdifsn  14337  hashsn01  14339  hash1snb  14342  hashmap  14358  hashfun  14360  hashbclem  14375  hashbc  14376  hashf1  14380  hash2prde  14393  hash2pwpr  14399  hashge2el2dif  14403  hash7g  14409  hash3tpexb  14417  hashdifsnp1  14429  s1len  14530  ackbijnn  15751  phicl2  16695  dfphi2  16701  vdwlem8  16916  ramcl  16957  cshwshashnsame  17031  efmnd1hash  18817  symg1hash  19319  pgp0  19525  odcau  19533  sylow2a  19548  sylow3lem6  19561  prmcyg  19823  gsumsnfd  19880  ablfac1eulem  20003  ablfac1eu  20004  pgpfaclem2  20013  prmgrpsimpgd  20045  ablsimpgprmd  20046  c0snmhm  20399  0ringdif  20460  0ring01eqbi  20465  rng1nnzr  20708  fta1glem2  26130  fta1blem  26132  fta1lem  26271  vieta1lem2  26275  vieta1  26276  vmappw  27082  umgredgnlp  29220  lfuhgr1v0e  29327  usgr1vr  29328  uvtxnm1nbgr  29477  1hevtxdg1  29580  1egrvtxdg1  29583  lfgrwlkprop  29759  rusgrnumwwlkb0  30047  clwwlknon1le1  30176  eupth2eucrct  30292  fusgreghash2wspv  30410  numclwlk1lem1  30444  ex-hash  30528  0ringsubrg  33333  drngidlhash  33515  prmidl0  33531  qsidomlem1  33533  krull  33560  qsdrng  33578  rlmdim  33766  rgmoddimOLD  33767  lsatdim  33774  zarcmplem  34038  esumcst  34220  cntnevol  34385  coinflippv  34641  ccatmulgnn0dir  34699  ofcccat  34700  lpadlem2  34837  derang0  35363  poimirlem26  37847  poimirlem27  37848  poimirlem28  37849  frlmvscadiccat  42761