Theorem hashsng 14329

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12592	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9041	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9044	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9044	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14307	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13543	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12488	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14306	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2788	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2789	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  1c1 11111  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ...cfz 13484  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  hashen1  14330  hashrabrsn  14332  hashrabsn01  14333  hashunsng  14352  hashunsngx  14353  hashprg  14355  elprchashprn2  14356  hashdifsn  14374  hashsn01  14376  hash1snb  14379  hashmap  14395  hashfun  14397  hashbclem  14411  hashbc  14412  hashf1  14418  hash2prde  14431  hash2pwpr  14437  hashge2el2dif  14441  hashdifsnp1  14457  s1len  14556  ackbijnn  15774  phicl2  16701  dfphi2  16707  vdwlem8  16921  ramcl  16962  cshwshashnsame  17037  efmnd1hash  18773  symg1hash  19257  pgp0  19464  odcau  19472  sylow2a  19487  sylow3lem6  19500  prmcyg  19762  gsumsnfd  19819  ablfac1eulem  19942  ablfac1eu  19943  pgpfaclem2  19952  prmgrpsimpgd  19984  ablsimpgprmd  19985  0ring01eqbi  20307  rng1nnzr  20396  fta1glem2  25684  fta1blem  25686  fta1lem  25820  vieta1lem2  25824  vieta1  25825  vmappw  26620  umgredgnlp  28407  lfuhgr1v0e  28511  usgr1vr  28512  uvtxnm1nbgr  28661  1hevtxdg1  28763  1egrvtxdg1  28766  lfgrwlkprop  28944  rusgrnumwwlkb0  29225  clwwlknon1le1  29354  eupth2eucrct  29470  fusgreghash2wspv  29588  numclwlk1lem1  29622  ex-hash  29706  0ringsubrg  32379  drngidlhash  32552  prmidl0  32569  qsidomlem1  32571  krull  32594  qsdrng  32611  rlmdim  32694  rgmoddimOLD  32695  lsatdim  32702  zarcmplem  32861  esumcst  33061  cntnevol  33226  coinflippv  33482  ccatmulgnn0dir  33553  ofcccat  33554  lpadlem2  33692  derang0  34160  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  poimirlem28  36516  frlmvscadiccat  41080  0ringdif  46644  c0snmhm  46714