Theorem hashsng 13726

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12000	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8577	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8577	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 13703	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		1nn0 11901	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		hashfz1 13702	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
12		fzsn 12944	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	12	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
14	11, 13	syl5reqr 2848	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2849	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ≈ cen 8489  Fincfn 8492  1c1 10527  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ♯chash 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687

This theorem is referenced by:  hashen1  13727  hashrabrsn  13729  hashrabsn01  13730  hashunsng  13749  hashunsngx  13750  hashprg  13752  elprchashprn2  13753  hashdifsn  13771  hashsn01  13773  hash1snb  13776  hashmap  13792  hashfun  13794  hashbclem  13806  hashbc  13807  hashf1  13811  hash2prde  13824  hash2pwpr  13830  hashge2el2dif  13834  hashdifsnp1  13850  s1len  13951  ackbijnn  15175  phicl2  16095  dfphi2  16101  vdwlem8  16314  ramcl  16355  cshwshashnsame  16429  efmnd1hash  18049  symg1hash  18510  pgp0  18713  odcau  18721  sylow2a  18736  sylow3lem6  18749  prmcyg  19007  gsumsnfd  19064  ablfac1eulem  19187  ablfac1eu  19188  pgpfaclem2  19197  prmgrpsimpgd  19229  ablsimpgprmd  19230  0ring01eqbi  20039  rng1nnzr  20040  fta1glem2  24767  fta1blem  24769  fta1lem  24903  vieta1lem2  24907  vieta1  24908  vmappw  25701  umgredgnlp  26940  lfuhgr1v0e  27044  usgr1vr  27045  uvtxnm1nbgr  27194  1hevtxdg1  27296  1egrvtxdg1  27299  lfgrwlkprop  27477  rusgrnumwwlkb0  27757  clwwlknon1le1  27886  eupth2eucrct  28002  fusgreghash2wspv  28120  numclwlk1lem1  28154  ex-hash  28238  prmidl0  31034  qsidomlem1  31036  krull  31051  rgmoddim  31096  lsatdim  31103  zarcmplem  31234  esumcst  31432  cntnevol  31597  coinflippv  31851  ccatmulgnn0dir  31922  ofcccat  31923  lpadlem2  32061  derang0  32529  poimirlem26  35083  poimirlem27  35084  poimirlem28  35085  frlmvscadiccat  39440  0ringdif  44494  c0snmhm  44539