Theorem hashsng 14322

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12548	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8978	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 697	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8980	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8980	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14300	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13511	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12444	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14299	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2789	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4555   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  1c1 11030  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ...cfz 13452  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hashen1  14323  hashrabrsn  14325  hashrabsn01  14326  hashunsng  14345  hashunsngx  14346  hashprg  14348  elprchashprn2  14349  hashdifsn  14367  hashsn01  14369  hash1snb  14372  hashmap  14388  hashfun  14390  hashbclem  14405  hashbc  14406  hashf1  14410  hash2prde  14423  hash2pwpr  14429  hashge2el2dif  14433  hash7g  14439  hash3tpexb  14447  hashdifsnp1  14459  s1len  14560  ackbijnn  15784  phicl2  16729  dfphi2  16735  vdwlem8  16950  ramcl  16991  cshwshashnsame  17065  efmnd1hash  18851  symg1hash  19356  pgp0  19562  odcau  19570  sylow2a  19585  sylow3lem6  19598  prmcyg  19860  gsumsnfd  19917  ablfac1eulem  20040  ablfac1eu  20041  pgpfaclem2  20050  prmgrpsimpgd  20082  ablsimpgprmd  20083  c0snmhm  20434  0ringdif  20499  0ring01eqbi  20504  rng1nnzr  20747  fta1glem2  26152  fta1blem  26154  fta1lem  26291  vieta1lem2  26295  vieta1  26296  vmappw  27097  umgredgnlp  29234  lfuhgr1v0e  29341  usgr1vr  29342  uvtxnm1nbgr  29491  1hevtxdg1  29593  1egrvtxdg1  29596  lfgrwlkprop  29772  rusgrnumwwlkb0  30060  clwwlknon1le1  30189  eupth2eucrct  30305  fusgreghash2wspv  30423  numclwlk1lem1  30457  ex-hash  30541  0ringsubrg  33332  drngidlhash  33517  prmidl0  33533  qsidomlem1  33535  krull  33562  qsdrng  33580  esplyfval1  33757  rlmdim  33794  lsatdim  33801  zarcmplem  34065  esumcst  34247  cntnevol  34412  coinflippv  34668  ccatmulgnn0dir  34726  ofcccat  34727  lpadlem2  34864  derang0  35397  poimirlem26  38013  poimirlem27  38014  poimirlem28  38015  frlmvscadiccat  42996