Theorem hashsng 14012

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12280	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8788	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8788	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 13989	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13227	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 13988	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2794	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≈ cen 8688  Fincfn 8691  1c1 10803  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  hashen1  14013  hashrabrsn  14015  hashrabsn01  14016  hashunsng  14035  hashunsngx  14036  hashprg  14038  elprchashprn2  14039  hashdifsn  14057  hashsn01  14059  hash1snb  14062  hashmap  14078  hashfun  14080  hashbclem  14092  hashbc  14093  hashf1  14099  hash2prde  14112  hash2pwpr  14118  hashge2el2dif  14122  hashdifsnp1  14138  s1len  14239  ackbijnn  15468  phicl2  16397  dfphi2  16403  vdwlem8  16617  ramcl  16658  cshwshashnsame  16733  efmnd1hash  18446  symg1hash  18912  pgp0  19116  odcau  19124  sylow2a  19139  sylow3lem6  19152  prmcyg  19410  gsumsnfd  19467  ablfac1eulem  19590  ablfac1eu  19591  pgpfaclem2  19600  prmgrpsimpgd  19632  ablsimpgprmd  19633  0ring01eqbi  20457  rng1nnzr  20458  fta1glem2  25236  fta1blem  25238  fta1lem  25372  vieta1lem2  25376  vieta1  25377  vmappw  26170  umgredgnlp  27420  lfuhgr1v0e  27524  usgr1vr  27525  uvtxnm1nbgr  27674  1hevtxdg1  27776  1egrvtxdg1  27779  lfgrwlkprop  27957  rusgrnumwwlkb0  28237  clwwlknon1le1  28366  eupth2eucrct  28482  fusgreghash2wspv  28600  numclwlk1lem1  28634  ex-hash  28718  prmidl0  31528  qsidomlem1  31530  krull  31545  rgmoddim  31595  lsatdim  31602  zarcmplem  31733  esumcst  31931  cntnevol  32096  coinflippv  32350  ccatmulgnn0dir  32421  ofcccat  32422  lpadlem2  32560  derang0  33031  poimirlem26  35730  poimirlem27  35731  poimirlem28  35732  frlmvscadiccat  40163  0ringdif  45316  c0snmhm  45361