Theorem hashsng 14520

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12733	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9076	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9078	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9078	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14498	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13707	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12629	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14497	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2810	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ≈ cen 8977  Fincfn 8980  1c1 11208  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ...cfz 13646  ♯chash 14481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-hash 14482

This theorem is used by:  hashen1  14521  hashrabrsn  14523  hashrabsn01  14524  hashunsng  14543  hashunsngx  14544  hashprg  14546  elprchashprn2  14547  hashdifsn  14566  hashsn01  14568  hash1snb  14571  hashmap  14587  hashfun  14589  hashbclem  14604  hashbc  14605  hashf1  14609  hash2prde  14622  hash2pwpr  14628  hashge2el2dif  14632  hash7g  14638  hash3tpexb  14646  hashdifsnp1  14658  s1len  14760  ackbijnn  16006  phicl2  16954  dfphi2  16960  vdwlem8  17175  ramcl  17216  cshwshashnsame  17290  efmnd1hash  19097  symg1hash  19613  pgp0  19819  odcau  19827  sylow2a  19842  sylow3lem6  19855  prmcyg  20117  gsumsnfd  20174  ablfac1eulem  20297  ablfac1eu  20298  pgpfaclem2  20307  prmgrpsimpgd  20339  ablsimpgprmd  20340  c0snmhm  20702  0ringdif  20787  0ring01eqbi2  20792  0ring01eqbi  20793  rng1nnzr  21042  prmidl0  21643  qsidomlem1  21645  fta1glem2  26496  fta1blem  26498  fta1lem  26637  vieta1lem2  26643  vieta1  26644  vmappw  27452  umgredgnlp  29734  lfuhgr1v0e  29844  usgr1vr  29845  uvtxnm1nbgr  29994  1hevtxdg1  30096  1egrvtxdg1  30099  lfgrwlkprop  30279  rusgrnumwwlkb0  30572  clwwlknon1le1  30701  eupth2eucrct  30827  fusgreghash2wspv  30945  numclwlk1lem1  30979  ex-hash  31063  0ringsubrg  33862  drngidlhash  34033  krull  34053  qsdrng  34071  esplyfval1  34255  rlmdim  34292  lsatdim  34299  zarcmplem  34563  esumcst  34745  cntnevol  34911  coinflippv  35166  ccatmulgnn0dir  35224  ofcccat  35225  lpadlem2  35362  derang0  36024  poimirlem26  38673  poimirlem27  38674  poimirlem28  38675  frlmvscadiccat  43682