Theorem hashsng 14554

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12766	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9109	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9109	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14532	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13740	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12662	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14531	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2813	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ≈ cen 9008  Fincfn 9011  1c1 11240  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ...cfz 13679  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516

This theorem is used by:  hashen1  14555  hashrabrsn  14557  hashrabsn01  14558  hashunsng  14577  hashunsngx  14578  hashprg  14580  elprchashprn2  14581  hashdifsn  14600  hashsn01  14602  hash1snb  14605  hashmap  14621  hashfun  14623  hashbclem  14638  hashbc  14639  hashf1  14643  hash2prde  14656  hash2pwpr  14662  hashge2el2dif  14666  hash7g  14672  hash3tpexb  14680  hashdifsnp1  14692  s1len  14794  ackbijnn  16041  phicl2  16989  dfphi2  16995  vdwlem8  17210  ramcl  17251  cshwshashnsame  17325  efmnd1hash  19138  symg1hash  19655  pgp0  19861  odcau  19869  sylow2a  19884  sylow3lem6  19897  prmcyg  20159  gsumsnfd  20216  ablfac1eulem  20339  ablfac1eu  20340  pgpfaclem2  20349  prmgrpsimpgd  20381  ablsimpgprmd  20382  c0snmhm  20744  0ringdif  20829  0ring01eqbi2  20834  0ring01eqbi  20835  rng1nnzr  21084  prmidl0  21685  qsidomlem1  21687  fta1glem2  26542  fta1blem  26544  fta1lem  26683  vieta1lem2  26689  vieta1  26690  vmappw  27500  umgredgnlp  29782  lfuhgr1v0e  29892  usgr1vr  29893  uvtxnm1nbgr  30042  1hevtxdg1  30144  1egrvtxdg1  30147  lfgrwlkprop  30327  rusgrnumwwlkb0  30620  clwwlknon1le1  30749  eupth2eucrct  30875  fusgreghash2wspv  30993  numclwlk1lem1  31027  ex-hash  31111  0ringsubrg  33911  drngidlhash  34087  krull  34107  qsdrng  34125  esplyfval1  34316  rlmdim  34353  lsatdim  34360  zarcmplem  34624  esumcst  34806  cntnevol  34972  coinflippv  35227  ccatmulgnn0dir  35285  ofcccat  35286  lpadlem2  35423  derang0  36142  poimirlem26  38832  poimirlem27  38833  poimirlem28  38834  frlmvscadiccat  43839