Theorem hashsng 14382

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12601	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 701	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9024	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9024	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14360	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 702	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13571	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12497	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14359	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2812	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2813	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ≈ cen 8924  Fincfn 8927  1c1 11074  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ...cfz 13512  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344

This theorem is referenced by:  hashen1  14383  hashrabrsn  14385  hashrabsn01  14386  hashunsng  14405  hashunsngx  14406  hashprg  14408  elprchashprn2  14409  hashdifsn  14427  hashsn01  14429  hash1snb  14432  hashmap  14448  hashfun  14450  hashbclem  14465  hashbc  14466  hashf1  14470  hash2prde  14483  hash2pwpr  14489  hashge2el2dif  14493  hash7g  14499  hash3tpexb  14507  hashdifsnp1  14519  s1len  14620  ackbijnn  15858  phicl2  16803  dfphi2  16809  vdwlem8  17024  ramcl  17065  cshwshashnsame  17139  efmnd1hash  18926  symg1hash  19430  pgp0  19636  odcau  19644  sylow2a  19659  sylow3lem6  19672  prmcyg  19934  gsumsnfd  19991  ablfac1eulem  20114  ablfac1eu  20115  pgpfaclem2  20124  prmgrpsimpgd  20156  ablsimpgprmd  20157  c0snmhm  20508  0ringdif  20573  0ring01eqbi  20578  rng1nnzr  20821  fta1glem2  26226  fta1blem  26228  fta1lem  26368  vieta1lem2  26372  vieta1  26373  vmappw  27177  umgredgnlp  29345  lfuhgr1v0e  29452  usgr1vr  29453  uvtxnm1nbgr  29602  1hevtxdg1  29704  1egrvtxdg1  29707  lfgrwlkprop  29883  rusgrnumwwlkb0  30171  clwwlknon1le1  30300  eupth2eucrct  30416  fusgreghash2wspv  30534  numclwlk1lem1  30568  ex-hash  30652  0ringsubrg  33429  drngidlhash  33617  prmidl0  33634  qsidomlem1  33636  krull  33664  qsdrng  33682  esplyfval1  33867  rlmdim  33904  lsatdim  33911  zarcmplem  34175  esumcst  34357  cntnevol  34522  coinflippv  34778  ccatmulgnn0dir  34836  ofcccat  34837  lpadlem2  34974  derang0  35516  poimirlem26  38142  poimirlem27  38143  poimirlem28  38144  frlmvscadiccat  43125