Theorem hashsng 13825

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12096	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8645	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8645	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 13802	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13043	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6681	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 11995	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 13801	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2789	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4517   class class class wbr 5031  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173   ≈ cen 8555  Fincfn 8558  1c1 10619  ℕ₀cn0 11979  ℤcz 12065  ...cfz 12984  ♯chash 13785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-hash 13786

This theorem is referenced by:  hashen1  13826  hashrabrsn  13828  hashrabsn01  13829  hashunsng  13848  hashunsngx  13849  hashprg  13851  elprchashprn2  13852  hashdifsn  13870  hashsn01  13872  hash1snb  13875  hashmap  13891  hashfun  13893  hashbclem  13905  hashbc  13906  hashf1  13912  hash2prde  13925  hash2pwpr  13931  hashge2el2dif  13935  hashdifsnp1  13951  s1len  14052  ackbijnn  15279  phicl2  16208  dfphi2  16214  vdwlem8  16427  ramcl  16468  cshwshashnsame  16543  efmnd1hash  18176  symg1hash  18639  pgp0  18842  odcau  18850  sylow2a  18865  sylow3lem6  18878  prmcyg  19136  gsumsnfd  19193  ablfac1eulem  19316  ablfac1eu  19317  pgpfaclem2  19326  prmgrpsimpgd  19358  ablsimpgprmd  19359  0ring01eqbi  20168  rng1nnzr  20169  fta1glem2  24922  fta1blem  24924  fta1lem  25058  vieta1lem2  25062  vieta1  25063  vmappw  25856  umgredgnlp  27095  lfuhgr1v0e  27199  usgr1vr  27200  uvtxnm1nbgr  27349  1hevtxdg1  27451  1egrvtxdg1  27454  lfgrwlkprop  27632  rusgrnumwwlkb0  27912  clwwlknon1le1  28041  eupth2eucrct  28157  fusgreghash2wspv  28275  numclwlk1lem1  28309  ex-hash  28393  prmidl0  31201  qsidomlem1  31203  krull  31218  rgmoddim  31268  lsatdim  31275  zarcmplem  31406  esumcst  31604  cntnevol  31769  coinflippv  32023  ccatmulgnn0dir  32094  ofcccat  32095  lpadlem2  32233  derang0  32705  poimirlem26  35449  poimirlem27  35450  poimirlem28  35451  frlmvscadiccat  39842  0ringdif  44992  c0snmhm  45037