Theorem hashsng 14433

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12648	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9048	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9050	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9050	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14411	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13621	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14410	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2810	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ≈ cen 8949  Fincfn 8952  1c1 11125  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13561  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395

This theorem is used by:  hashen1  14434  hashrabrsn  14436  hashrabsn01  14437  hashunsng  14456  hashunsngx  14457  hashprg  14459  elprchashprn2  14460  hashdifsn  14479  hashsn01  14481  hash1snb  14484  hashmap  14500  hashfun  14502  hashbclem  14517  hashbc  14518  hashf1  14522  hash2prde  14535  hash2pwpr  14541  hashge2el2dif  14545  hash7g  14551  hash3tpexb  14559  hashdifsnp1  14571  s1len  14673  ackbijnn  15917  phicl2  16859  dfphi2  16865  vdwlem8  17080  ramcl  17121  cshwshashnsame  17195  efmnd1hash  19001  symg1hash  19517  pgp0  19723  odcau  19731  sylow2a  19746  sylow3lem6  19759  prmcyg  20021  gsumsnfd  20078  ablfac1eulem  20201  ablfac1eu  20202  pgpfaclem2  20211  prmgrpsimpgd  20243  ablsimpgprmd  20244  c0snmhm  20604  0ringdif  20688  0ring01eqbi2  20693  0ring01eqbi  20694  rng1nnzr  20942  prmidl0  21541  qsidomlem1  21543  fta1glem2  26394  fta1blem  26396  fta1lem  26537  vieta1lem2  26543  vieta1  26544  vmappw  27352  umgredgnlp  29604  lfuhgr1v0e  29714  usgr1vr  29715  uvtxnm1nbgr  29864  1hevtxdg1  29966  1egrvtxdg1  29969  lfgrwlkprop  30149  rusgrnumwwlkb0  30442  clwwlknon1le1  30571  eupth2eucrct  30697  fusgreghash2wspv  30815  numclwlk1lem1  30849  ex-hash  30933  0ringsubrg  33691  drngidlhash  33861  krull  33881  qsdrng  33899  esplyfval1  34083  rlmdim  34120  lsatdim  34127  zarcmplem  34391  esumcst  34573  cntnevol  34739  coinflippv  34995  ccatmulgnn0dir  35053  ofcccat  35054  lpadlem2  35191  derang0  35748  poimirlem26  38395  poimirlem27  38396  poimirlem28  38397  frlmvscadiccat  43394