Theorem hashsng 14401

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12619	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9034	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9036	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9036	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14379	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13590	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14378	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2813	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  1c1 11096  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ...cfz 13530  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  hashen1  14402  hashrabrsn  14404  hashrabsn01  14405  hashunsng  14424  hashunsngx  14425  hashprg  14427  elprchashprn2  14428  hashdifsn  14447  hashsn01  14449  hash1snb  14452  hashmap  14468  hashfun  14470  hashbclem  14485  hashbc  14486  hashf1  14490  hash2prde  14503  hash2pwpr  14509  hashge2el2dif  14513  hash7g  14519  hash3tpexb  14527  hashdifsnp1  14539  s1len  14640  ackbijnn  15878  phicl2  16822  dfphi2  16828  vdwlem8  17043  ramcl  17084  cshwshashnsame  17158  efmnd1hash  18946  symg1hash  19455  pgp0  19661  odcau  19669  sylow2a  19684  sylow3lem6  19697  prmcyg  19959  gsumsnfd  20016  ablfac1eulem  20139  ablfac1eu  20140  pgpfaclem2  20149  prmgrpsimpgd  20181  ablsimpgprmd  20182  c0snmhm  20541  0ringdif  20625  0ring01eqbi2  20630  0ring01eqbi  20631  rng1nnzr  20879  prmidl0  21478  qsidomlem1  21480  fta1glem2  26326  fta1blem  26328  fta1lem  26468  vieta1lem2  26472  vieta1  26473  vmappw  27280  umgredgnlp  29497  lfuhgr1v0e  29604  usgr1vr  29605  uvtxnm1nbgr  29754  1hevtxdg1  29856  1egrvtxdg1  29859  lfgrwlkprop  30035  rusgrnumwwlkb0  30323  clwwlknon1le1  30452  eupth2eucrct  30568  fusgreghash2wspv  30686  numclwlk1lem1  30720  ex-hash  30804  0ringsubrg  33571  drngidlhash  33741  krull  33761  qsdrng  33779  esplyfval1  33963  rlmdim  34000  lsatdim  34007  zarcmplem  34271  esumcst  34453  cntnevol  34618  coinflippv  34874  ccatmulgnn0dir  34932  ofcccat  34933  lpadlem2  35070  derang0  35661  poimirlem26  38297  poimirlem27  38298  poimirlem28  38299  frlmvscadiccat  43280