Theorem hashsng 14410

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12628	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9034	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9036	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9036	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14388	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13599	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12524	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14387	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2813	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  1c1 11105  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ...cfz 13539  ♯chash 14371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-hash 14372

This theorem is used by:  hashen1  14411  hashrabrsn  14413  hashrabsn01  14414  hashunsng  14433  hashunsngx  14434  hashprg  14436  elprchashprn2  14437  hashdifsn  14456  hashsn01  14458  hash1snb  14461  hashmap  14477  hashfun  14479  hashbclem  14494  hashbc  14495  hashf1  14499  hash2prde  14512  hash2pwpr  14518  hashge2el2dif  14522  hash7g  14528  hash3tpexb  14536  hashdifsnp1  14548  s1len  14649  ackbijnn  15887  phicl2  16831  dfphi2  16837  vdwlem8  17052  ramcl  17093  cshwshashnsame  17167  efmnd1hash  18955  symg1hash  19464  pgp0  19670  odcau  19678  sylow2a  19693  sylow3lem6  19706  prmcyg  19968  gsumsnfd  20025  ablfac1eulem  20148  ablfac1eu  20149  pgpfaclem2  20158  prmgrpsimpgd  20190  ablsimpgprmd  20191  c0snmhm  20550  0ringdif  20634  0ring01eqbi2  20639  0ring01eqbi  20640  rng1nnzr  20888  prmidl0  21487  qsidomlem1  21489  fta1glem2  26335  fta1blem  26337  fta1lem  26477  vieta1lem2  26481  vieta1  26482  vmappw  27289  umgredgnlp  29506  lfuhgr1v0e  29613  usgr1vr  29614  uvtxnm1nbgr  29763  1hevtxdg1  29865  1egrvtxdg1  29868  lfgrwlkprop  30044  rusgrnumwwlkb0  30332  clwwlknon1le1  30461  eupth2eucrct  30577  fusgreghash2wspv  30695  numclwlk1lem1  30729  ex-hash  30813  0ringsubrg  33580  drngidlhash  33750  krull  33770  qsdrng  33788  esplyfval1  33972  rlmdim  34009  lsatdim  34016  zarcmplem  34280  esumcst  34462  cntnevol  34627  coinflippv  34883  ccatmulgnn0dir  34941  ofcccat  34942  lpadlem2  35079  derang0  35669  poimirlem26  38325  poimirlem27  38326  poimirlem28  38327  frlmvscadiccat  43308