Theorem hashsng 14276

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12502	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8963	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8965	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8965	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14254	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13466	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12397	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14253	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2781	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≈ cen 8866  Fincfn 8869  1c1 11007  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ...cfz 13407  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hashen1  14277  hashrabrsn  14279  hashrabsn01  14280  hashunsng  14299  hashunsngx  14300  hashprg  14302  elprchashprn2  14303  hashdifsn  14321  hashsn01  14323  hash1snb  14326  hashmap  14342  hashfun  14344  hashbclem  14359  hashbc  14360  hashf1  14364  hash2prde  14377  hash2pwpr  14383  hashge2el2dif  14387  hash7g  14393  hash3tpexb  14401  hashdifsnp1  14413  s1len  14514  ackbijnn  15735  phicl2  16679  dfphi2  16685  vdwlem8  16900  ramcl  16941  cshwshashnsame  17015  efmnd1hash  18800  symg1hash  19302  pgp0  19508  odcau  19516  sylow2a  19531  sylow3lem6  19544  prmcyg  19806  gsumsnfd  19863  ablfac1eulem  19986  ablfac1eu  19987  pgpfaclem2  19996  prmgrpsimpgd  20028  ablsimpgprmd  20029  c0snmhm  20381  0ringdif  20442  0ring01eqbi  20447  rng1nnzr  20690  fta1glem2  26101  fta1blem  26103  fta1lem  26242  vieta1lem2  26246  vieta1  26247  vmappw  27053  umgredgnlp  29125  lfuhgr1v0e  29232  usgr1vr  29233  uvtxnm1nbgr  29382  1hevtxdg1  29485  1egrvtxdg1  29488  lfgrwlkprop  29664  rusgrnumwwlkb0  29952  clwwlknon1le1  30081  eupth2eucrct  30197  fusgreghash2wspv  30315  numclwlk1lem1  30349  ex-hash  30433  0ringsubrg  33218  drngidlhash  33399  prmidl0  33415  qsidomlem1  33417  krull  33444  qsdrng  33462  rlmdim  33622  rgmoddimOLD  33623  lsatdim  33630  zarcmplem  33894  esumcst  34076  cntnevol  34241  coinflippv  34497  ccatmulgnn0dir  34555  ofcccat  34556  lpadlem2  34693  derang0  35213  poimirlem26  37685  poimirlem27  37686  poimirlem28  37687  frlmvscadiccat  42598