Theorem hashsng 14322

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12548	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8981	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8983	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8983	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14300	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13511	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12444	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14299	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2787	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ≈ cen 8883  Fincfn 8886  1c1 11030  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ...cfz 13452  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hashen1  14323  hashrabrsn  14325  hashrabsn01  14326  hashunsng  14345  hashunsngx  14346  hashprg  14348  elprchashprn2  14349  hashdifsn  14367  hashsn01  14369  hash1snb  14372  hashmap  14388  hashfun  14390  hashbclem  14405  hashbc  14406  hashf1  14410  hash2prde  14423  hash2pwpr  14429  hashge2el2dif  14433  hash7g  14439  hash3tpexb  14447  hashdifsnp1  14459  s1len  14560  ackbijnn  15784  phicl2  16729  dfphi2  16735  vdwlem8  16950  ramcl  16991  cshwshashnsame  17065  efmnd1hash  18851  symg1hash  19356  pgp0  19562  odcau  19570  sylow2a  19585  sylow3lem6  19598  prmcyg  19860  gsumsnfd  19917  ablfac1eulem  20040  ablfac1eu  20041  pgpfaclem2  20050  prmgrpsimpgd  20082  ablsimpgprmd  20083  c0snmhm  20434  0ringdif  20495  0ring01eqbi  20500  rng1nnzr  20743  fta1glem2  26144  fta1blem  26146  fta1lem  26284  vieta1lem2  26288  vieta1  26289  vmappw  27093  umgredgnlp  29230  lfuhgr1v0e  29337  usgr1vr  29338  uvtxnm1nbgr  29487  1hevtxdg1  29590  1egrvtxdg1  29593  lfgrwlkprop  29769  rusgrnumwwlkb0  30057  clwwlknon1le1  30186  eupth2eucrct  30302  fusgreghash2wspv  30420  numclwlk1lem1  30454  ex-hash  30538  0ringsubrg  33327  drngidlhash  33509  prmidl0  33525  qsidomlem1  33527  krull  33554  qsdrng  33572  esplyfval1  33732  rlmdim  33769  rgmoddimOLD  33770  lsatdim  33777  zarcmplem  34041  esumcst  34223  cntnevol  34388  coinflippv  34644  ccatmulgnn0dir  34702  ofcccat  34703  lpadlem2  34840  derang0  35367  poimirlem26  37981  poimirlem27  37982  poimirlem28  37983  frlmvscadiccat  42965