Theorem hashsng 14404

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12623	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9039	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9039	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14382	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13593	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12519	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14381	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2819	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ≈ cen 8939  Fincfn 8942  1c1 11100  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ...cfz 13534  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  hashen1  14405  hashrabrsn  14407  hashrabsn01  14408  hashunsng  14427  hashunsngx  14428  hashprg  14430  elprchashprn2  14431  hashdifsn  14450  hashsn01  14452  hash1snb  14455  hashmap  14471  hashfun  14473  hashbclem  14488  hashbc  14489  hashf1  14493  hash2prde  14506  hash2pwpr  14512  hashge2el2dif  14516  hash7g  14522  hash3tpexb  14530  hashdifsnp1  14542  s1len  14643  ackbijnn  15881  phicl2  16826  dfphi2  16832  vdwlem8  17047  ramcl  17088  cshwshashnsame  17162  efmnd1hash  18950  symg1hash  19459  pgp0  19665  odcau  19673  sylow2a  19688  sylow3lem6  19701  prmcyg  19963  gsumsnfd  20020  ablfac1eulem  20143  ablfac1eu  20144  pgpfaclem2  20153  prmgrpsimpgd  20185  ablsimpgprmd  20186  c0snmhm  20544  0ringdif  20610  0ring01eqbi2  20615  0ring01eqbi  20616  rng1nnzr  20856  prmidl0  21446  qsidomlem1  21448  fta1glem2  26294  fta1blem  26296  fta1lem  26436  vieta1lem2  26440  vieta1  26441  vmappw  27245  umgredgnlp  29437  lfuhgr1v0e  29544  usgr1vr  29545  uvtxnm1nbgr  29694  1hevtxdg1  29796  1egrvtxdg1  29799  lfgrwlkprop  29975  rusgrnumwwlkb0  30263  clwwlknon1le1  30392  eupth2eucrct  30508  fusgreghash2wspv  30626  numclwlk1lem1  30660  ex-hash  30744  0ringsubrg  33511  drngidlhash  33685  krull  33705  qsdrng  33723  esplyfval1  33907  rlmdim  33944  lsatdim  33951  zarcmplem  34215  esumcst  34397  cntnevol  34562  coinflippv  34818  ccatmulgnn0dir  34876  ofcccat  34877  lpadlem2  35014  derang0  35559  poimirlem26  38184  poimirlem27  38185  poimirlem28  38186  frlmvscadiccat  43169