Theorem hashsng 14409

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12649	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9082	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9084	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9084	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14387	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13607	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14386	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2791	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4625   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ≈ cen 8983  Fincfn 8986  1c1 11157  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13548  ♯chash 14370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371

This theorem is referenced by:  hashen1  14410  hashrabrsn  14412  hashrabsn01  14413  hashunsng  14432  hashunsngx  14433  hashprg  14435  elprchashprn2  14436  hashdifsn  14454  hashsn01  14456  hash1snb  14459  hashmap  14475  hashfun  14477  hashbclem  14492  hashbc  14493  hashf1  14497  hash2prde  14510  hash2pwpr  14516  hashge2el2dif  14520  hash7g  14526  hash3tpexb  14534  hashdifsnp1  14546  s1len  14645  ackbijnn  15865  phicl2  16806  dfphi2  16812  vdwlem8  17027  ramcl  17068  cshwshashnsame  17142  efmnd1hash  18906  symg1hash  19408  pgp0  19615  odcau  19623  sylow2a  19638  sylow3lem6  19651  prmcyg  19913  gsumsnfd  19970  ablfac1eulem  20093  ablfac1eu  20094  pgpfaclem2  20103  prmgrpsimpgd  20135  ablsimpgprmd  20136  c0snmhm  20464  0ringdif  20528  0ring01eqbi  20533  rng1nnzr  20777  fta1glem2  26209  fta1blem  26211  fta1lem  26350  vieta1lem2  26354  vieta1  26355  vmappw  27160  umgredgnlp  29165  lfuhgr1v0e  29272  usgr1vr  29273  uvtxnm1nbgr  29422  1hevtxdg1  29525  1egrvtxdg1  29528  lfgrwlkprop  29706  rusgrnumwwlkb0  29992  clwwlknon1le1  30121  eupth2eucrct  30237  fusgreghash2wspv  30355  numclwlk1lem1  30389  ex-hash  30473  0ringsubrg  33256  drngidlhash  33463  prmidl0  33479  qsidomlem1  33481  krull  33508  qsdrng  33526  rlmdim  33661  rgmoddimOLD  33662  lsatdim  33669  zarcmplem  33881  esumcst  34065  cntnevol  34230  coinflippv  34487  ccatmulgnn0dir  34558  ofcccat  34559  lpadlem2  34696  derang0  35175  poimirlem26  37654  poimirlem27  37655  poimirlem28  37656  frlmvscadiccat  42521