Theorem hashsng 14418

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12673	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9106	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9109	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9109	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14396	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13626	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12569	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14395	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2795	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  1c1 11185  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  hashen1  14419  hashrabrsn  14421  hashrabsn01  14422  hashunsng  14441  hashunsngx  14442  hashprg  14444  elprchashprn2  14445  hashdifsn  14463  hashsn01  14465  hash1snb  14468  hashmap  14484  hashfun  14486  hashbclem  14501  hashbc  14502  hashf1  14506  hash2prde  14519  hash2pwpr  14525  hashge2el2dif  14529  hash7g  14535  hash3tpexb  14543  hashdifsnp1  14555  s1len  14654  ackbijnn  15876  phicl2  16815  dfphi2  16821  vdwlem8  17035  ramcl  17076  cshwshashnsame  17151  efmnd1hash  18927  symg1hash  19431  pgp0  19638  odcau  19646  sylow2a  19661  sylow3lem6  19674  prmcyg  19936  gsumsnfd  19993  ablfac1eulem  20116  ablfac1eu  20117  pgpfaclem2  20126  prmgrpsimpgd  20158  ablsimpgprmd  20159  c0snmhm  20489  0ringdif  20553  0ring01eqbi  20558  rng1nnzr  20798  fta1glem2  26228  fta1blem  26230  fta1lem  26367  vieta1lem2  26371  vieta1  26372  vmappw  27177  umgredgnlp  29182  lfuhgr1v0e  29289  usgr1vr  29290  uvtxnm1nbgr  29439  1hevtxdg1  29542  1egrvtxdg1  29545  lfgrwlkprop  29723  rusgrnumwwlkb0  30004  clwwlknon1le1  30133  eupth2eucrct  30249  fusgreghash2wspv  30367  numclwlk1lem1  30401  ex-hash  30485  0ringsubrg  33223  drngidlhash  33427  prmidl0  33443  qsidomlem1  33445  krull  33472  qsdrng  33490  rlmdim  33622  rgmoddimOLD  33623  lsatdim  33630  zarcmplem  33827  esumcst  34027  cntnevol  34192  coinflippv  34448  ccatmulgnn0dir  34519  ofcccat  34520  lpadlem2  34657  derang0  35137  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  frlmvscadiccat  42461