Theorem hashsng 14324

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12587	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9036	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9039	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9039	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14302	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13538	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6891	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12483	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14301	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2788	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2789	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4626   class class class wbr 5146  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403   ≈ cen 8931  Fincfn 8934  1c1 11106  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12553  ...cfz 13479  ♯chash 14285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-hash 14286

This theorem is referenced by:  hashen1  14325  hashrabrsn  14327  hashrabsn01  14328  hashunsng  14347  hashunsngx  14348  hashprg  14350  elprchashprn2  14351  hashdifsn  14369  hashsn01  14371  hash1snb  14374  hashmap  14390  hashfun  14392  hashbclem  14406  hashbc  14407  hashf1  14413  hash2prde  14426  hash2pwpr  14432  hashge2el2dif  14436  hashdifsnp1  14452  s1len  14551  ackbijnn  15769  phicl2  16696  dfphi2  16702  vdwlem8  16916  ramcl  16957  cshwshashnsame  17032  efmnd1hash  18768  symg1hash  19249  pgp0  19456  odcau  19464  sylow2a  19479  sylow3lem6  19492  prmcyg  19753  gsumsnfd  19810  ablfac1eulem  19933  ablfac1eu  19934  pgpfaclem2  19943  prmgrpsimpgd  19975  ablsimpgprmd  19976  0ring01eqbi  20295  rng1nnzr  20341  fta1glem2  25665  fta1blem  25667  fta1lem  25801  vieta1lem2  25805  vieta1  25806  vmappw  26599  umgredgnlp  28386  lfuhgr1v0e  28490  usgr1vr  28491  uvtxnm1nbgr  28640  1hevtxdg1  28742  1egrvtxdg1  28745  lfgrwlkprop  28923  rusgrnumwwlkb0  29204  clwwlknon1le1  29333  eupth2eucrct  29449  fusgreghash2wspv  29567  numclwlk1lem1  29601  ex-hash  29685  0ringsubrg  32352  drngidlhash  32509  prmidl0  32526  qsidomlem1  32528  krull  32546  qsdrng  32563  rgmoddim  32639  lsatdim  32646  zarcmplem  32798  esumcst  32998  cntnevol  33163  coinflippv  33419  ccatmulgnn0dir  33490  ofcccat  33491  lpadlem2  33629  derang0  34097  poimirlem26  36451  poimirlem27  36452  poimirlem28  36453  frlmvscadiccat  41028  0ringdif  46578  c0snmhm  46647