Theorem hashsng 14392

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12627	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9062	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9062	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14370	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13588	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14369	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2786	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≈ cen 8961  Fincfn 8964  1c1 11135  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ...cfz 13529  ♯chash 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354

This theorem is referenced by:  hashen1  14393  hashrabrsn  14395  hashrabsn01  14396  hashunsng  14415  hashunsngx  14416  hashprg  14418  elprchashprn2  14419  hashdifsn  14437  hashsn01  14439  hash1snb  14442  hashmap  14458  hashfun  14460  hashbclem  14475  hashbc  14476  hashf1  14480  hash2prde  14493  hash2pwpr  14499  hashge2el2dif  14503  hash7g  14509  hash3tpexb  14517  hashdifsnp1  14529  s1len  14629  ackbijnn  15849  phicl2  16792  dfphi2  16798  vdwlem8  17013  ramcl  17054  cshwshashnsame  17128  efmnd1hash  18875  symg1hash  19376  pgp0  19582  odcau  19590  sylow2a  19605  sylow3lem6  19618  prmcyg  19880  gsumsnfd  19937  ablfac1eulem  20060  ablfac1eu  20061  pgpfaclem2  20070  prmgrpsimpgd  20102  ablsimpgprmd  20103  c0snmhm  20428  0ringdif  20492  0ring01eqbi  20497  rng1nnzr  20740  fta1glem2  26131  fta1blem  26133  fta1lem  26272  vieta1lem2  26276  vieta1  26277  vmappw  27083  umgredgnlp  29131  lfuhgr1v0e  29238  usgr1vr  29239  uvtxnm1nbgr  29388  1hevtxdg1  29491  1egrvtxdg1  29494  lfgrwlkprop  29672  rusgrnumwwlkb0  29958  clwwlknon1le1  30087  eupth2eucrct  30203  fusgreghash2wspv  30321  numclwlk1lem1  30355  ex-hash  30439  0ringsubrg  33251  drngidlhash  33454  prmidl0  33470  qsidomlem1  33472  krull  33499  qsdrng  33517  rlmdim  33654  rgmoddimOLD  33655  lsatdim  33662  zarcmplem  33917  esumcst  34099  cntnevol  34264  coinflippv  34521  ccatmulgnn0dir  34579  ofcccat  34580  lpadlem2  34717  derang0  35196  poimirlem26  37675  poimirlem27  37676  poimirlem28  37677  frlmvscadiccat  42496