Theorem hashsng 14405

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12645	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9082	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9082	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14383	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13603	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12540	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14382	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2790	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2791	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ≈ cen 8981  Fincfn 8984  1c1 11154  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ...cfz 13544  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hashen1  14406  hashrabrsn  14408  hashrabsn01  14409  hashunsng  14428  hashunsngx  14429  hashprg  14431  elprchashprn2  14432  hashdifsn  14450  hashsn01  14452  hash1snb  14455  hashmap  14471  hashfun  14473  hashbclem  14488  hashbc  14489  hashf1  14493  hash2prde  14506  hash2pwpr  14512  hashge2el2dif  14516  hash7g  14522  hash3tpexb  14530  hashdifsnp1  14542  s1len  14641  ackbijnn  15861  phicl2  16802  dfphi2  16808  vdwlem8  17022  ramcl  17063  cshwshashnsame  17138  efmnd1hash  18918  symg1hash  19422  pgp0  19629  odcau  19637  sylow2a  19652  sylow3lem6  19665  prmcyg  19927  gsumsnfd  19984  ablfac1eulem  20107  ablfac1eu  20108  pgpfaclem2  20117  prmgrpsimpgd  20149  ablsimpgprmd  20150  c0snmhm  20480  0ringdif  20544  0ring01eqbi  20549  rng1nnzr  20793  fta1glem2  26223  fta1blem  26225  fta1lem  26364  vieta1lem2  26368  vieta1  26369  vmappw  27174  umgredgnlp  29179  lfuhgr1v0e  29286  usgr1vr  29287  uvtxnm1nbgr  29436  1hevtxdg1  29539  1egrvtxdg1  29542  lfgrwlkprop  29720  rusgrnumwwlkb0  30001  clwwlknon1le1  30130  eupth2eucrct  30246  fusgreghash2wspv  30364  numclwlk1lem1  30398  ex-hash  30482  0ringsubrg  33238  drngidlhash  33442  prmidl0  33458  qsidomlem1  33460  krull  33487  qsdrng  33505  rlmdim  33637  rgmoddimOLD  33638  lsatdim  33645  zarcmplem  33842  esumcst  34044  cntnevol  34209  coinflippv  34465  ccatmulgnn0dir  34536  ofcccat  34537  lpadlem2  34674  derang0  35154  poimirlem26  37633  poimirlem27  37634  poimirlem28  37635  frlmvscadiccat  42493