Theorem hashsng 13731

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12013	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8594	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8594	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 13708	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		1nn0 11914	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		hashfz1 13707	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
12		fzsn 12950	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	12	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
14	11, 13	syl5reqr 2871	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	syl6eq 2872	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4567   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ≈ cen 8506  Fincfn 8509  1c1 10538  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ♯chash 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692

This theorem is referenced by:  hashen1  13732  hashrabrsn  13734  hashrabsn01  13735  hashunsng  13754  hashunsngx  13755  hashprg  13757  elprchashprn2  13758  hashdifsn  13776  hashsn01  13778  hash1snb  13781  hashmap  13797  hashfun  13799  hashbclem  13811  hashbc  13812  hashf1  13816  hash2prde  13829  hash2pwpr  13835  hashge2el2dif  13839  hashdifsnp1  13855  s1len  13960  ackbijnn  15183  phicl2  16105  dfphi2  16111  vdwlem8  16324  ramcl  16365  cshwshashnsame  16437  efmnd1hash  18057  symg1hash  18518  pgp0  18721  odcau  18729  sylow2a  18744  sylow3lem6  18757  prmcyg  19014  gsumsnfd  19071  ablfac1eulem  19194  ablfac1eu  19195  pgpfaclem2  19204  prmgrpsimpgd  19236  ablsimpgprmd  19237  0ring01eqbi  20046  rng1nnzr  20047  fta1glem2  24760  fta1blem  24762  fta1lem  24896  vieta1lem2  24900  vieta1  24901  vmappw  25693  umgredgnlp  26932  lfuhgr1v0e  27036  usgr1vr  27037  uvtxnm1nbgr  27186  1hevtxdg1  27288  1egrvtxdg1  27291  lfgrwlkprop  27469  rusgrnumwwlkb0  27750  clwwlknon1le1  27880  eupth2eucrct  27996  fusgreghash2wspv  28114  numclwlk1lem1  28148  ex-hash  28232  qsidomlem1  30965  krull  30980  rgmoddim  31008  lsatdim  31015  esumcst  31322  cntnevol  31487  coinflippv  31741  ccatmulgnn0dir  31812  ofcccat  31813  lpadlem2  31951  derang0  32416  poimirlem26  34933  poimirlem27  34934  poimirlem28  34935  frlmvscadiccat  39165  0ringdif  44161  c0snmhm  44206