Theorem hashsng 14276

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12505	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8966	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8968	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8968	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14254	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13469	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12400	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14253	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2779	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ≈ cen 8869  Fincfn 8872  1c1 11010  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hashen1  14277  hashrabrsn  14279  hashrabsn01  14280  hashunsng  14299  hashunsngx  14300  hashprg  14302  elprchashprn2  14303  hashdifsn  14321  hashsn01  14323  hash1snb  14326  hashmap  14342  hashfun  14344  hashbclem  14359  hashbc  14360  hashf1  14364  hash2prde  14377  hash2pwpr  14383  hashge2el2dif  14387  hash7g  14393  hash3tpexb  14401  hashdifsnp1  14413  s1len  14513  ackbijnn  15735  phicl2  16679  dfphi2  16685  vdwlem8  16900  ramcl  16941  cshwshashnsame  17015  efmnd1hash  18766  symg1hash  19269  pgp0  19475  odcau  19483  sylow2a  19498  sylow3lem6  19511  prmcyg  19773  gsumsnfd  19830  ablfac1eulem  19953  ablfac1eu  19954  pgpfaclem2  19963  prmgrpsimpgd  19995  ablsimpgprmd  19996  c0snmhm  20348  0ringdif  20412  0ring01eqbi  20417  rng1nnzr  20660  fta1glem2  26072  fta1blem  26074  fta1lem  26213  vieta1lem2  26217  vieta1  26218  vmappw  27024  umgredgnlp  29092  lfuhgr1v0e  29199  usgr1vr  29200  uvtxnm1nbgr  29349  1hevtxdg1  29452  1egrvtxdg1  29455  lfgrwlkprop  29631  rusgrnumwwlkb0  29916  clwwlknon1le1  30045  eupth2eucrct  30161  fusgreghash2wspv  30279  numclwlk1lem1  30313  ex-hash  30397  0ringsubrg  33191  drngidlhash  33371  prmidl0  33387  qsidomlem1  33389  krull  33416  qsdrng  33434  rlmdim  33576  rgmoddimOLD  33577  lsatdim  33584  zarcmplem  33848  esumcst  34030  cntnevol  34195  coinflippv  34452  ccatmulgnn0dir  34510  ofcccat  34511  lpadlem2  34648  derang0  35142  poimirlem26  37626  poimirlem27  37627  poimirlem28  37628  frlmvscadiccat  42479