Theorem hashsng 14341

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12570	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9015	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9017	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9017	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14319	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13534	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12465	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14318	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2780	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  1c1 11076  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ...cfz 13475  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  hashen1  14342  hashrabrsn  14344  hashrabsn01  14345  hashunsng  14364  hashunsngx  14365  hashprg  14367  elprchashprn2  14368  hashdifsn  14386  hashsn01  14388  hash1snb  14391  hashmap  14407  hashfun  14409  hashbclem  14424  hashbc  14425  hashf1  14429  hash2prde  14442  hash2pwpr  14448  hashge2el2dif  14452  hash7g  14458  hash3tpexb  14466  hashdifsnp1  14478  s1len  14578  ackbijnn  15801  phicl2  16745  dfphi2  16751  vdwlem8  16966  ramcl  17007  cshwshashnsame  17081  efmnd1hash  18826  symg1hash  19327  pgp0  19533  odcau  19541  sylow2a  19556  sylow3lem6  19569  prmcyg  19831  gsumsnfd  19888  ablfac1eulem  20011  ablfac1eu  20012  pgpfaclem2  20021  prmgrpsimpgd  20053  ablsimpgprmd  20054  c0snmhm  20379  0ringdif  20443  0ring01eqbi  20448  rng1nnzr  20691  fta1glem2  26081  fta1blem  26083  fta1lem  26222  vieta1lem2  26226  vieta1  26227  vmappw  27033  umgredgnlp  29081  lfuhgr1v0e  29188  usgr1vr  29189  uvtxnm1nbgr  29338  1hevtxdg1  29441  1egrvtxdg1  29444  lfgrwlkprop  29622  rusgrnumwwlkb0  29908  clwwlknon1le1  30037  eupth2eucrct  30153  fusgreghash2wspv  30271  numclwlk1lem1  30305  ex-hash  30389  0ringsubrg  33209  drngidlhash  33412  prmidl0  33428  qsidomlem1  33430  krull  33457  qsdrng  33475  rlmdim  33612  rgmoddimOLD  33613  lsatdim  33620  zarcmplem  33878  esumcst  34060  cntnevol  34225  coinflippv  34482  ccatmulgnn0dir  34540  ofcccat  34541  lpadlem2  34678  derang0  35163  poimirlem26  37647  poimirlem27  37648  poimirlem28  37649  frlmvscadiccat  42501