Theorem hashsng 14331

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12593	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9043	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9043	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14309	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13546	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6888	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14308	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2781	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ≈ cen 8935  Fincfn 8938  1c1 11110  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  ...cfz 13487  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  hashen1  14332  hashrabrsn  14334  hashrabsn01  14335  hashunsng  14354  hashunsngx  14355  hashprg  14357  elprchashprn2  14358  hashdifsn  14376  hashsn01  14378  hash1snb  14381  hashmap  14397  hashfun  14399  hashbclem  14414  hashbc  14415  hashf1  14421  hash2prde  14434  hash2pwpr  14440  hashge2el2dif  14444  hashdifsnp1  14460  s1len  14559  ackbijnn  15777  phicl2  16707  dfphi2  16713  vdwlem8  16927  ramcl  16968  cshwshashnsame  17043  efmnd1hash  18814  symg1hash  19306  pgp0  19513  odcau  19521  sylow2a  19536  sylow3lem6  19549  prmcyg  19811  gsumsnfd  19868  ablfac1eulem  19991  ablfac1eu  19992  pgpfaclem2  20001  prmgrpsimpgd  20033  ablsimpgprmd  20034  c0snmhm  20362  0ringdif  20424  0ring01eqbi  20429  rng1nnzr  20623  fta1glem2  26053  fta1blem  26055  fta1lem  26192  vieta1lem2  26196  vieta1  26197  vmappw  26998  umgredgnlp  28910  lfuhgr1v0e  29014  usgr1vr  29015  uvtxnm1nbgr  29164  1hevtxdg1  29267  1egrvtxdg1  29270  lfgrwlkprop  29448  rusgrnumwwlkb0  29729  clwwlknon1le1  29858  eupth2eucrct  29974  fusgreghash2wspv  30092  numclwlk1lem1  30126  ex-hash  30210  0ringsubrg  32882  drngidlhash  33057  prmidl0  33074  qsidomlem1  33076  krull  33099  qsdrng  33116  rlmdim  33211  rgmoddimOLD  33212  lsatdim  33219  zarcmplem  33390  esumcst  33590  cntnevol  33755  coinflippv  34011  ccatmulgnn0dir  34082  ofcccat  34083  lpadlem2  34220  derang0  34687  poimirlem26  37026  poimirlem27  37027  poimirlem28  37028  frlmvscadiccat  41623