Theorem hashsng 14310

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12539	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8989	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8991	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8991	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14288	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13503	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12434	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14287	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2779	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  1c1 11045  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ♯chash 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272

This theorem is referenced by:  hashen1  14311  hashrabrsn  14313  hashrabsn01  14314  hashunsng  14333  hashunsngx  14334  hashprg  14336  elprchashprn2  14337  hashdifsn  14355  hashsn01  14357  hash1snb  14360  hashmap  14376  hashfun  14378  hashbclem  14393  hashbc  14394  hashf1  14398  hash2prde  14411  hash2pwpr  14417  hashge2el2dif  14421  hash7g  14427  hash3tpexb  14435  hashdifsnp1  14447  s1len  14547  ackbijnn  15770  phicl2  16714  dfphi2  16720  vdwlem8  16935  ramcl  16976  cshwshashnsame  17050  efmnd1hash  18795  symg1hash  19296  pgp0  19502  odcau  19510  sylow2a  19525  sylow3lem6  19538  prmcyg  19800  gsumsnfd  19857  ablfac1eulem  19980  ablfac1eu  19981  pgpfaclem2  19990  prmgrpsimpgd  20022  ablsimpgprmd  20023  c0snmhm  20348  0ringdif  20412  0ring01eqbi  20417  rng1nnzr  20660  fta1glem2  26050  fta1blem  26052  fta1lem  26191  vieta1lem2  26195  vieta1  26196  vmappw  27002  umgredgnlp  29050  lfuhgr1v0e  29157  usgr1vr  29158  uvtxnm1nbgr  29307  1hevtxdg1  29410  1egrvtxdg1  29413  lfgrwlkprop  29589  rusgrnumwwlkb0  29874  clwwlknon1le1  30003  eupth2eucrct  30119  fusgreghash2wspv  30237  numclwlk1lem1  30271  ex-hash  30355  0ringsubrg  33175  drngidlhash  33378  prmidl0  33394  qsidomlem1  33396  krull  33423  qsdrng  33441  rlmdim  33578  rgmoddimOLD  33579  lsatdim  33586  zarcmplem  33844  esumcst  34026  cntnevol  34191  coinflippv  34448  ccatmulgnn0dir  34506  ofcccat  34507  lpadlem2  34644  derang0  35129  poimirlem26  37613  poimirlem27  37614  poimirlem28  37615  frlmvscadiccat  42467