Theorem hashsng 13409

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11697	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 683	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8280	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8280	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 13387	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 684	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		1nn0 11598	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		hashfz1 13386	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
12		fzsn 12637	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	12	fveq2d 6415	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
14	11, 13	syl5reqr 2848	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	syl6eq 2849	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {csn 4368   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ≈ cen 8192  Fincfn 8195  1c1 10225  ℕ₀cn0 11580  ℤcz 11666  ...cfz 12580  ♯chash 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-hash 13371

This theorem is referenced by:  hashen1  13410  hashrabrsn  13411  hashrabsn01  13412  hashunsng  13431  hashprg  13432  elprchashprn2  13433  hashdifsn  13451  hashsn01  13453  hash1snb  13456  hashmap  13471  hashfun  13473  hashbclem  13485  hashbc  13486  hashf1  13490  hash2prde  13501  hash2pwpr  13507  hashge2el2dif  13511  hashdifsnp1  13527  s1len  13626  ackbijnn  14898  phicl2  15806  dfphi2  15812  vdwlem8  16025  ramcl  16066  cshwshashnsame  16138  symg1hash  18127  pgp0  18324  odcau  18332  sylow2a  18347  sylow3lem6  18360  prmcyg  18610  gsumsnfd  18666  ablfac1eulem  18787  ablfac1eu  18788  pgpfaclem2  18797  0ring01eqbi  19596  rng1nnzr  19597  fta1glem2  24267  fta1blem  24269  fta1lem  24403  vieta1lem2  24407  vieta1  24408  vmappw  25194  umgredgnlp  26383  lfuhgr1v0e  26488  usgr1vr  26489  uvtxnm1nbgr  26653  1hevtxdg1  26756  1egrvtxdg1  26759  lfgrwlkprop  26940  rusgrnumwwlkb0  27262  clwwlknon1le1  27440  eupth2eucrct  27562  fusgreghash2wspv  27684  numclwlk1lem1  27742  ex-hash  27838  esumcst  30641  cntnevol  30807  coinflippv  31062  ccatmulgnn0dir  31137  ofcccat  31138  derang0  31668  poimirlem26  33924  poimirlem27  33925  poimirlem28  33926  0ringdif  42669  c0snmhm  42714