Theorem hashsng 14271

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12497	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8958	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8960	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8960	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14249	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13461	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12392	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14248	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2781	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4571   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ≈ cen 8861  Fincfn 8864  1c1 11002  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ...cfz 13402  ♯chash 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233

This theorem is referenced by:  hashen1  14272  hashrabrsn  14274  hashrabsn01  14275  hashunsng  14294  hashunsngx  14295  hashprg  14297  elprchashprn2  14298  hashdifsn  14316  hashsn01  14318  hash1snb  14321  hashmap  14337  hashfun  14339  hashbclem  14354  hashbc  14355  hashf1  14359  hash2prde  14372  hash2pwpr  14378  hashge2el2dif  14382  hash7g  14388  hash3tpexb  14396  hashdifsnp1  14408  s1len  14509  ackbijnn  15730  phicl2  16674  dfphi2  16680  vdwlem8  16895  ramcl  16936  cshwshashnsame  17010  efmnd1hash  18795  symg1hash  19297  pgp0  19503  odcau  19511  sylow2a  19526  sylow3lem6  19539  prmcyg  19801  gsumsnfd  19858  ablfac1eulem  19981  ablfac1eu  19982  pgpfaclem2  19991  prmgrpsimpgd  20023  ablsimpgprmd  20024  c0snmhm  20376  0ringdif  20437  0ring01eqbi  20442  rng1nnzr  20685  fta1glem2  26096  fta1blem  26098  fta1lem  26237  vieta1lem2  26241  vieta1  26242  vmappw  27048  umgredgnlp  29120  lfuhgr1v0e  29227  usgr1vr  29228  uvtxnm1nbgr  29377  1hevtxdg1  29480  1egrvtxdg1  29483  lfgrwlkprop  29659  rusgrnumwwlkb0  29944  clwwlknon1le1  30073  eupth2eucrct  30189  fusgreghash2wspv  30307  numclwlk1lem1  30341  ex-hash  30425  0ringsubrg  33210  drngidlhash  33391  prmidl0  33407  qsidomlem1  33409  krull  33436  qsdrng  33454  rlmdim  33614  rgmoddimOLD  33615  lsatdim  33622  zarcmplem  33886  esumcst  34068  cntnevol  34233  coinflippv  34489  ccatmulgnn0dir  34547  ofcccat  34548  lpadlem2  34685  derang0  35205  poimirlem26  37686  poimirlem27  37687  poimirlem28  37688  frlmvscadiccat  42539