Theorem hashsng 14290

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12519	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8976	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8978	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8978	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14268	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13480	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12415	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14267	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2784	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2785	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4578   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ≈ cen 8878  Fincfn 8881  1c1 11025  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ...cfz 13421  ♯chash 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252

This theorem is referenced by:  hashen1  14291  hashrabrsn  14293  hashrabsn01  14294  hashunsng  14313  hashunsngx  14314  hashprg  14316  elprchashprn2  14317  hashdifsn  14335  hashsn01  14337  hash1snb  14340  hashmap  14356  hashfun  14358  hashbclem  14373  hashbc  14374  hashf1  14378  hash2prde  14391  hash2pwpr  14397  hashge2el2dif  14401  hash7g  14407  hash3tpexb  14415  hashdifsnp1  14427  s1len  14528  ackbijnn  15749  phicl2  16693  dfphi2  16699  vdwlem8  16914  ramcl  16955  cshwshashnsame  17029  efmnd1hash  18815  symg1hash  19317  pgp0  19523  odcau  19531  sylow2a  19546  sylow3lem6  19559  prmcyg  19821  gsumsnfd  19878  ablfac1eulem  20001  ablfac1eu  20002  pgpfaclem2  20011  prmgrpsimpgd  20043  ablsimpgprmd  20044  c0snmhm  20397  0ringdif  20458  0ring01eqbi  20463  rng1nnzr  20706  fta1glem2  26128  fta1blem  26130  fta1lem  26269  vieta1lem2  26273  vieta1  26274  vmappw  27080  umgredgnlp  29169  lfuhgr1v0e  29276  usgr1vr  29277  uvtxnm1nbgr  29426  1hevtxdg1  29529  1egrvtxdg1  29532  lfgrwlkprop  29708  rusgrnumwwlkb0  29996  clwwlknon1le1  30125  eupth2eucrct  30241  fusgreghash2wspv  30359  numclwlk1lem1  30393  ex-hash  30477  0ringsubrg  33282  drngidlhash  33464  prmidl0  33480  qsidomlem1  33482  krull  33509  qsdrng  33527  rlmdim  33715  rgmoddimOLD  33716  lsatdim  33723  zarcmplem  33987  esumcst  34169  cntnevol  34334  coinflippv  34590  ccatmulgnn0dir  34648  ofcccat  34649  lpadlem2  34786  derang0  35312  poimirlem26  37786  poimirlem27  37787  poimirlem28  37788  frlmvscadiccat  42703