Theorem hashsng 14304

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12533	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8990	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8992	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8992	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14282	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13494	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14281	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2787	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  1c1 11039  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  hashen1  14305  hashrabrsn  14307  hashrabsn01  14308  hashunsng  14327  hashunsngx  14328  hashprg  14330  elprchashprn2  14331  hashdifsn  14349  hashsn01  14351  hash1snb  14354  hashmap  14370  hashfun  14372  hashbclem  14387  hashbc  14388  hashf1  14392  hash2prde  14405  hash2pwpr  14411  hashge2el2dif  14415  hash7g  14421  hash3tpexb  14429  hashdifsnp1  14441  s1len  14542  ackbijnn  15763  phicl2  16707  dfphi2  16713  vdwlem8  16928  ramcl  16969  cshwshashnsame  17043  efmnd1hash  18829  symg1hash  19331  pgp0  19537  odcau  19545  sylow2a  19560  sylow3lem6  19573  prmcyg  19835  gsumsnfd  19892  ablfac1eulem  20015  ablfac1eu  20016  pgpfaclem2  20025  prmgrpsimpgd  20057  ablsimpgprmd  20058  c0snmhm  20411  0ringdif  20472  0ring01eqbi  20477  rng1nnzr  20720  fta1glem2  26142  fta1blem  26144  fta1lem  26283  vieta1lem2  26287  vieta1  26288  vmappw  27094  umgredgnlp  29232  lfuhgr1v0e  29339  usgr1vr  29340  uvtxnm1nbgr  29489  1hevtxdg1  29592  1egrvtxdg1  29595  lfgrwlkprop  29771  rusgrnumwwlkb0  30059  clwwlknon1le1  30188  eupth2eucrct  30304  fusgreghash2wspv  30422  numclwlk1lem1  30456  ex-hash  30540  0ringsubrg  33345  drngidlhash  33527  prmidl0  33543  qsidomlem1  33545  krull  33572  qsdrng  33590  esplyfval1  33750  rlmdim  33787  rgmoddimOLD  33788  lsatdim  33795  zarcmplem  34059  esumcst  34241  cntnevol  34406  coinflippv  34662  ccatmulgnn0dir  34720  ofcccat  34721  lpadlem2  34858  derang0  35385  poimirlem26  37897  poimirlem27  37898  poimirlem28  37899  frlmvscadiccat  42876