Theorem hashsng 14334

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12563	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 9012	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 9014	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 9014	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14312	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13527	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12458	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14311	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2779	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ≈ cen 8915  Fincfn 8918  1c1 11069  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  hashen1  14335  hashrabrsn  14337  hashrabsn01  14338  hashunsng  14357  hashunsngx  14358  hashprg  14360  elprchashprn2  14361  hashdifsn  14379  hashsn01  14381  hash1snb  14384  hashmap  14400  hashfun  14402  hashbclem  14417  hashbc  14418  hashf1  14422  hash2prde  14435  hash2pwpr  14441  hashge2el2dif  14445  hash7g  14451  hash3tpexb  14459  hashdifsnp1  14471  s1len  14571  ackbijnn  15794  phicl2  16738  dfphi2  16744  vdwlem8  16959  ramcl  17000  cshwshashnsame  17074  efmnd1hash  18819  symg1hash  19320  pgp0  19526  odcau  19534  sylow2a  19549  sylow3lem6  19562  prmcyg  19824  gsumsnfd  19881  ablfac1eulem  20004  ablfac1eu  20005  pgpfaclem2  20014  prmgrpsimpgd  20046  ablsimpgprmd  20047  c0snmhm  20372  0ringdif  20436  0ring01eqbi  20441  rng1nnzr  20684  fta1glem2  26074  fta1blem  26076  fta1lem  26215  vieta1lem2  26219  vieta1  26220  vmappw  27026  umgredgnlp  29074  lfuhgr1v0e  29181  usgr1vr  29182  uvtxnm1nbgr  29331  1hevtxdg1  29434  1egrvtxdg1  29437  lfgrwlkprop  29615  rusgrnumwwlkb0  29901  clwwlknon1le1  30030  eupth2eucrct  30146  fusgreghash2wspv  30264  numclwlk1lem1  30298  ex-hash  30382  0ringsubrg  33202  drngidlhash  33405  prmidl0  33421  qsidomlem1  33423  krull  33450  qsdrng  33468  rlmdim  33605  rgmoddimOLD  33606  lsatdim  33613  zarcmplem  33871  esumcst  34053  cntnevol  34218  coinflippv  34475  ccatmulgnn0dir  34533  ofcccat  34534  lpadlem2  34671  derang0  35156  poimirlem26  37640  poimirlem27  37641  poimirlem28  37642  frlmvscadiccat  42494