MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashsng 13722
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng (𝐴𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 12004 . . . 4 1 ∈ ℤ
2 en2sn 8585 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
31, 2mpan2 689 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4 snfi 8586 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
5 snfi 8586 . . . 4 {1} ∈ Fin
6 hashen 13699 . . . 4 (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
74, 5, 6mp2an 690 . . 3 ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
83, 7sylibr 236 . 2 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9 1nn0 11905 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
10 hashfz1 13698 . . . . 5 (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (♯‘(1...1)) = 1
12 fzsn 12941 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
1312fveq2d 6667 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
1411, 13syl5reqr 2869 . . 3 (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
151, 14ax-mp 5 . 2 (♯‘{1}) = 1
168, 15syl6eq 2870 1 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1530  wcel 2107  {csn 4559   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  cen 8498  Fincfn 8501  1c1 10530  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12884  chash 13682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683
This theorem is referenced by:  hashen1  13723  hashrabrsn  13725  hashrabsn01  13726  hashunsng  13745  hashunsngx  13746  hashprg  13748  elprchashprn2  13749  hashdifsn  13767  hashsn01  13769  hash1snb  13772  hashmap  13788  hashfun  13790  hashbclem  13802  hashbc  13803  hashf1  13807  hash2prde  13820  hash2pwpr  13826  hashge2el2dif  13830  hashdifsnp1  13846  s1len  13952  ackbijnn  15175  phicl2  16097  dfphi2  16103  vdwlem8  16316  ramcl  16357  cshwshashnsame  16429  efmnd1hash  18049  symg1hash  18510  pgp0  18713  odcau  18721  sylow2a  18736  sylow3lem6  18749  prmcyg  19006  gsumsnfd  19063  ablfac1eulem  19186  ablfac1eu  19187  pgpfaclem2  19196  prmgrpsimpgd  19228  ablsimpgprmd  19229  0ring01eqbi  20038  rng1nnzr  20039  fta1glem2  24752  fta1blem  24754  fta1lem  24888  vieta1lem2  24892  vieta1  24893  vmappw  25685  umgredgnlp  26924  lfuhgr1v0e  27028  usgr1vr  27029  uvtxnm1nbgr  27178  1hevtxdg1  27280  1egrvtxdg1  27283  lfgrwlkprop  27461  rusgrnumwwlkb0  27742  clwwlknon1le1  27872  eupth2eucrct  27988  fusgreghash2wspv  28106  numclwlk1lem1  28140  ex-hash  28224  qsidomlem1  30958  krull  30973  rgmoddim  31001  lsatdim  31008  esumcst  31315  cntnevol  31480  coinflippv  31734  ccatmulgnn0dir  31805  ofcccat  31806  lpadlem2  31944  derang0  32409  poimirlem26  34910  poimirlem27  34911  poimirlem28  34912  frlmvscadiccat  39135  0ringdif  44131  c0snmhm  44176
  Copyright terms: Public domain W3C validator