Theorem hashsng 14093

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12359	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 8840	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 8843	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 8843	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 14070	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
9		fzsn 13307	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
10	9	fveq2d 6787	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
11		1nn0 12258	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		hashfz1 14069	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
14	10, 13	eqtr3di 2794	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
16	8, 15	eqtrdi 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4562   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ≈ cen 8739  Fincfn 8742  1c1 10881  ℕ₀cn0 12242  ℤcz 12328  ...cfz 13248  ♯chash 14053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-hash 14054

This theorem is referenced by:  hashen1  14094  hashrabrsn  14096  hashrabsn01  14097  hashunsng  14116  hashunsngx  14117  hashprg  14119  elprchashprn2  14120  hashdifsn  14138  hashsn01  14140  hash1snb  14143  hashmap  14159  hashfun  14161  hashbclem  14173  hashbc  14174  hashf1  14180  hash2prde  14193  hash2pwpr  14199  hashge2el2dif  14203  hashdifsnp1  14219  s1len  14320  ackbijnn  15549  phicl2  16478  dfphi2  16484  vdwlem8  16698  ramcl  16739  cshwshashnsame  16814  efmnd1hash  18540  symg1hash  19006  pgp0  19210  odcau  19218  sylow2a  19233  sylow3lem6  19246  prmcyg  19504  gsumsnfd  19561  ablfac1eulem  19684  ablfac1eu  19685  pgpfaclem2  19694  prmgrpsimpgd  19726  ablsimpgprmd  19727  0ring01eqbi  20553  rng1nnzr  20554  fta1glem2  25340  fta1blem  25342  fta1lem  25476  vieta1lem2  25480  vieta1  25481  vmappw  26274  umgredgnlp  27526  lfuhgr1v0e  27630  usgr1vr  27631  uvtxnm1nbgr  27780  1hevtxdg1  27882  1egrvtxdg1  27885  lfgrwlkprop  28064  rusgrnumwwlkb0  28345  clwwlknon1le1  28474  eupth2eucrct  28590  fusgreghash2wspv  28708  numclwlk1lem1  28742  ex-hash  28826  prmidl0  31635  qsidomlem1  31637  krull  31652  rgmoddim  31702  lsatdim  31709  zarcmplem  31840  esumcst  32040  cntnevol  32205  coinflippv  32459  ccatmulgnn0dir  32530  ofcccat  32531  lpadlem2  32669  derang0  33140  poimirlem26  35812  poimirlem27  35813  poimirlem28  35814  frlmvscadiccat  40244  0ringdif  45439  c0snmhm  45484