Theorem foelrn 7090

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem foelrn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 7085	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
2	1	simprbi 501	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥))
3		eqeq1 2768	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐶 = (𝐹‘𝑥)))
4	3	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥)))
5	4	rspccva 3582	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))
6	2, 5	sylan 589	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ⟶wf 6519  –onto→wfo 6521  ‘cfv 6523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fo 6529  df-fv 6531

This theorem is referenced by:  foco2  7092  fofinf1o  9277  fodomacn  10014  iunfictbso  10072  cff1  10217  cofsmo  10228  axcclem  10416  konigthlem  10528  tskuni  10743  fulli  17950  efgredlemc  19787  efgrelexlemb  19792  efgredeu  19794  ghmcyg  19938  znfld  21614  znrrg  21619  cygznlem3  21623  ovoliunnul  25571  lgsdchr  27421  foresf1o  32705  iunrdx  32765  znfermltl  33554  crngohomfo  38510  fourierdlem20  46706  fourierdlem52  46737  fourierdlem63  46748  fourierdlem64  46749  fourierdlem65  46750  isuspgrimlem  48522  grimedg  48562  uptrlem1  49836  uptr2  49847