Theorem foelrn 7128

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	⊢ ((𝐹:𝐴⟶onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem foelrn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 7123	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
2	1	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥))
3		eqeq1 2767	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐶 = (𝐹‘𝑥)))
4	3	rexbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥)))
5	4	rspccva 3579	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))
6	2, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ⟶wf 6551  ⟶ontowfo 6553  ‘cfv 6555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fo 6561  df-fv 6563

This theorem is used by:  foco2  7130  fofinf1o  9346  fodomacn  10159  iunfictbso  10217  cff1  10360  cofsmo  10371  axcclem  10559  konigthlem  10677  tskuni  10892  fulli  18116  efgredlemc  19986  efgrelexlemb  19991  efgredeu  19993  ghmcyg  20137  crngrhmfo  20753  znfld  21893  znrrg  21898  cygznlem3  21902  ovoliunnul  25855  lgsdchr  27709  foresf1o  33169  iunrdx  33227  znfermltl  33989  crngohomfo  39131  fourierdlem20  47340  fourierdlem52  47371  fourierdlem63  47382  fourierdlem64  47383  fourierdlem65  47384  isuspgrimlem  49196  grimedg  49236  uptrlem1  50529  uptr2  50540