Theorem foelrn 7102

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem foelrn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 7097	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
2	1	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥))
3		eqeq1 2766	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐶 = (𝐹‘𝑥)))
4	3	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥)))
5	4	rspccva 3579	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))
6	2, 5	sylan 591	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544

This theorem is used by:  foco2  7104  fofinf1o  9287  fodomacn  10047  iunfictbso  10105  cff1  10248  cofsmo  10259  axcclem  10447  konigthlem  10559  tskuni  10774  fulli  17978  efgredlemc  19821  efgrelexlemb  19826  efgredeu  19828  ghmcyg  19972  crngrhmfo  20585  znfld  21721  znrrg  21726  cygznlem3  21730  ovoliunnul  25677  lgsdchr  27530  foresf1o  32861  iunrdx  32919  znfermltl  33690  crngohomfo  38685  fourierdlem20  46869  fourierdlem52  46900  fourierdlem63  46911  fourierdlem64  46912  fourierdlem65  46913  isuspgrimlem  48688  grimedg  48728  uptrlem1  50016  uptr2  50027