MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfconj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfconj 19334
Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfconj ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrfconj
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . 5 𝑅 = ran 𝑇
31, 2pmtrfb 19333 . . . 4 (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
43simp1bi 1146 . . 3 (𝐹𝑅𝐷 ∈ V)
54adantr 482 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
6 simpr 486 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
71, 2pmtrff1o 19331 . . . . 5 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
87adantr 482 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
9 f1oco 6857 . . . 4 ((𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
106, 8, 9syl2anc 585 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
11 f1ocnv 6846 . . . 4 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
1211adantl 483 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
13 f1oco 6857 . . 3 (((𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷)
1410, 12, 13syl2anc 585 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷)
15 f1of 6834 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷𝐷)
167, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
1716adantr 482 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐹:𝐷𝐷)
18 f1omvdconj 19314 . . . . 5 ((𝐹:𝐷𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
1917, 6, 18syl2anc 585 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
20 f1of1 6833 . . . . . 6 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1𝐷)
2120adantl 483 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1𝐷)
22 difss 4132 . . . . . . 7 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
23 dmss 5903 . . . . . . 7 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
2524, 17fssdm 6738 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
265, 25ssexd 5325 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V)
27 f1imaeng 9010 . . . . 5 ((𝐺:𝐷1-1𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
2821, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
2919, 28eqbrtrd 5171 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
303simp3bi 1148 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
3130adantr 482 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
32 entr 9002 . . 3 ((dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
3329, 31, 32syl2anc 585 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
341, 2pmtrfb 19333 . 2 (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2o))
355, 14, 33, 34syl3anbrc 1344 1 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cdif 3946  wss 3949   class class class wbr 5149   I cid 5574  ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  cima 5680  ccom 5681  wf 6540  1-1wf1 6541  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544  2oc2o 8460  cen 8936  pmTrspcpmtr 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pmtr 19310
This theorem is referenced by:  psgnunilem1  19361
  Copyright terms: Public domain W3C validator