MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfconj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfconj 19256
Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfconj ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrfconj
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . 5 𝑅 = ran 𝑇
31, 2pmtrfb 19255 . . . 4 (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
43simp1bi 1146 . . 3 (𝐹𝑅𝐷 ∈ V)
54adantr 482 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
6 simpr 486 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
71, 2pmtrff1o 19253 . . . . 5 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
87adantr 482 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
9 f1oco 6811 . . . 4 ((𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
106, 8, 9syl2anc 585 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
11 f1ocnv 6800 . . . 4 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
1211adantl 483 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
13 f1oco 6811 . . 3 (((𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷)
1410, 12, 13syl2anc 585 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷)
15 f1of 6788 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷𝐷)
167, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
1716adantr 482 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐹:𝐷𝐷)
18 f1omvdconj 19236 . . . . 5 ((𝐹:𝐷𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
1917, 6, 18syl2anc 585 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
20 f1of1 6787 . . . . . 6 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1𝐷)
2120adantl 483 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1𝐷)
22 difss 4095 . . . . . . 7 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
23 dmss 5862 . . . . . . 7 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
2524, 17fssdm 6692 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
265, 25ssexd 5285 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V)
27 f1imaeng 8960 . . . . 5 ((𝐺:𝐷1-1𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
2821, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
2919, 28eqbrtrd 5131 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
303simp3bi 1148 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
3130adantr 482 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
32 entr 8952 . . 3 ((dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
3329, 31, 32syl2anc 585 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
341, 2pmtrfb 19255 . 2 (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2o))
355, 14, 33, 34syl3anbrc 1344 1 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cdif 3911  wss 3914   class class class wbr 5109   I cid 5534  ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638  cima 5640  ccom 5641  wf 6496  1-1wf1 6497  1-1-ontowf1o 6499  cfv 6500  2oc2o 8410  cen 8886  pmTrspcpmtr 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pmtr 19232
This theorem is referenced by:  psgnunilem1  19283
  Copyright terms: Public domain W3C validator