MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfconj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfconj 18093
Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfconj ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrfconj
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . 5 𝑅 = ran 𝑇
31, 2pmtrfb 18092 . . . 4 (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
43simp1bi 1139 . . 3 (𝐹𝑅𝐷 ∈ V)
54adantr 466 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
6 simpr 471 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
71, 2pmtrff1o 18090 . . . . 5 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
87adantr 466 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
9 f1oco 6301 . . . 4 ((𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
106, 8, 9syl2anc 573 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
11 f1ocnv 6291 . . . 4 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
1211adantl 467 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
13 f1oco 6301 . . 3 (((𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷)
1410, 12, 13syl2anc 573 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷)
15 f1of 6279 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷𝐷)
167, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
1716adantr 466 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐹:𝐷𝐷)
18 f1omvdconj 18073 . . . . 5 ((𝐹:𝐷𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
1917, 6, 18syl2anc 573 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
20 f1of1 6278 . . . . . 6 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1𝐷)
2120adantl 467 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1𝐷)
22 difss 3888 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
23 dmss 5460 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
25 fdm 6192 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
2624, 25syl5sseq 3802 . . . . . 6 (𝐹:𝐷𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
2717, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
285, 27ssexd 4940 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V)
29 f1imaeng 8173 . . . . 5 ((𝐺:𝐷1-1𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
3021, 27, 28, 29syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
3119, 30eqbrtrd 4809 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
323simp3bi 1141 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
3332adantr 466 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
34 entr 8165 . . 3 ((dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2𝑜)
3531, 33, 34syl2anc 573 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2𝑜)
361, 2pmtrfb 18092 . 2 (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2𝑜))
375, 14, 35, 36syl3anbrc 1428 1 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723   class class class wbr 4787   I cid 5157  ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251  cima 5253  ccom 5254  wf 6026  1-1wf1 6027  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  2𝑜c2o 7711  cen 8110  pmTrspcpmtr 18068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pmtr 18069
This theorem is referenced by:  psgnunilem1  18120
  Copyright terms: Public domain W3C validator