Theorem pmtrfconj 19567

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3	1, 2	pmtrfb 19566	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
4	3	simp1bi 1163	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐷 ∈ V)
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐷 ∈ V)
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
7	1, 2	pmtrff1o 19564	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
9		f1oco 6851	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
11		f1ocnv 6840	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
13		f1oco 6851	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷)
14	10, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷)
15		f1of 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
16	7, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
18		f1omvdconj 19547	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐷⟶𝐷 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
19	17, 6, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
20		f1of1 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐺:𝐷–1-1→𝐷)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐺:𝐷–1-1→𝐷)
22		difss 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
23		dmss 5897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
25	24, 17	fssdm 6732	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
26	5, 25	ssexd 5300	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V)
27		f1imaeng 9020	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐷–1-1→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
28	21, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
29	19, 28	eqbrtrd 5138	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
30	3	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
31	30	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
32		entr 9012	. . 3 ⊢ ((dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
33	29, 31, 32	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
34	1, 2	pmtrfb 19566	. 2 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o))
35	5, 14, 33, 34	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114   I cid 5560  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   “ cima 5669   ∘ ccom 5670  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  2_oc2o 8456   ≈ cen 8949  pmTrspcpmtr 19542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7872  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pmtr 19543

This theorem is used by:  psgnunilem1  19594