Theorem pmtrfconj 19537

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3	1, 2	pmtrfb 19536	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
4	3	simp1bi 1163	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐷 ∈ V)
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐷 ∈ V)
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
7	1, 2	pmtrff1o 19534	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
8	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
9		f1oco 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
10	6, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
11		f1ocnv 6835	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12	11	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
13		f1oco 6846	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷)
14	10, 12, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷)
15		f1of 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
16	7, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
18		f1omvdconj 19517	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐷⟶𝐷 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
19	17, 6, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
20		f1of1 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐺:𝐷–1-1→𝐷)
21	20	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐺:𝐷–1-1→𝐷)
22		difss 4091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
23		dmss 5894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
25	24, 17	fssdm 6727	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
26	5, 25	ssexd 5296	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V)
27		f1imaeng 9012	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐷–1-1→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
28	21, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
29	19, 28	eqbrtrd 5134	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
30	3	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
31	30	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
32		entr 9004	. . 3 ⊢ ((dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
33	29, 31, 32	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
34	1, 2	pmtrfb 19536	. 2 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o))
35	5, 14, 33, 34	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110   I cid 5557  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  2_oc2o 8448   ≈ cen 8941  pmTrspcpmtr 19512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7864  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pmtr 19513

This theorem is referenced by:  psgnunilem1  19564