Theorem pmtrfconj 19527

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3	1, 2	pmtrfb 19526	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
4	3	simp1bi 1161	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐷 ∈ V)
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐷 ∈ V)
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
7	1, 2	pmtrff1o 19524	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
8	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
9		f1oco 6834	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
10	6, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
11		f1ocnv 6823	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12	11	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
13		f1oco 6834	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷)
14	10, 12, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷)
15		f1of 6810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
16	7, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
18		f1omvdconj 19507	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐷⟶𝐷 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
19	17, 6, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
20		f1of1 6809	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐺:𝐷–1-1→𝐷)
21	20	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → 𝐺:𝐷–1-1→𝐷)
22		difss 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
23		dmss 5883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
25	24, 17	fssdm 6715	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
26	5, 25	ssexd 5285	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V)
27		f1imaeng 8999	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐷–1-1→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
28	21, 25, 26, 27	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
29	19, 28	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
30	3	simp3bi 1163	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
31	30	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
32		entr 8991	. . 3 ⊢ ((dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
33	29, 31, 32	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
34	1, 2	pmtrfb 19526	. 2 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o))
35	5, 14, 33, 34	syl3anbrc 1360	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   I cid 5546  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652  ran crn 5653   “ cima 5655   ∘ ccom 5656  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  2_oc2o 8435   ≈ cen 8928  pmTrspcpmtr 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pmtr 19503

This theorem is referenced by:  psgnunilem1  19554