Theorem pmtrfconj 19710

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3	1, 2	pmtrfb 19709	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
4	3	simp1bi 1163	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐷 ∈ V)
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷)
7	1, 2	pmtrff1o 19707	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷⟶1-1onto𝐷)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → 𝐹:𝐷⟶1-1onto𝐷)
9		f1oco 6870	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷 ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1onto𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐷⟶1-1onto𝐷)
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐷⟶1-1onto𝐷)
11		f1ocnv 6859	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷 → ◡𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷)
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → ◡𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷)
13		f1oco 6870	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐷⟶1-1onto𝐷 ∧ ◡𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷⟶1-1onto𝐷)
14	10, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷⟶1-1onto𝐷)
15		f1of 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷⟶1-1onto𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
16	7, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
18		f1omvdconj 19690	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐷⟶𝐷 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
19	17, 6, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
20		f1of1 6845	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷 → 𝐺:𝐷⟶1-1𝐷)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → 𝐺:𝐷⟶1-1𝐷)
22		difss 4075	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
23		dmss 5891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
25	24, 17	fssdm 6751	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
26	5, 25	ssexd 5290	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V)
27		f1imaeng 9069	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐷⟶1-1𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
28	21, 25, 26, 27	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
29	19, 28	eqbrtrd 5130	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
30	3	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
31	30	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
32		entr 9061	. . 3 ⊢ ((dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
33	29, 31, 32	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o)
34	1, 2	pmtrfb 19709	. 2 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺):𝐷⟶1-1onto𝐷 ∧ dom (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∖ I ) ≈ 2o))
35	5, 14, 33, 34	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝐺:𝐷⟶1-1onto𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106   I cid 5549  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ⟶1-1wf1 6555  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  2_oc2o 8498   ≈ cen 8998  pmTrspcpmtr 19685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pmtr 19686

This theorem is used by:  psgnunilem1  19737