MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metust 23937
Description: The uniform structure generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metust ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metust
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metustfbas 23936 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
3 fgcl 23252 . . 3 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
4 filsspw 23225 . . 3 (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
6 filtop 23229 . . 3 (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
72, 3, 63syl 18 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
82, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
98ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
10 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
11 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1211elpwid 4573 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
13 simpr 486 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑀)
14 filss 23227 . . . . . . 7 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1373 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
1615ex 414 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
1716ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
188ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
19 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
20 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
21 filin 23228 . . . . . 6 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
2322ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
241metustid 23933 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑒)
2524ad5ant24 760 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑒)
26 simpr 486 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑣)
2725, 26sstrd 3958 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣)
28 elfg 23245 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ↔ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)))
2928biimpa 478 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣))
3029simprd 497 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)
312, 30sylan 581 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)
3227, 31r19.29a 3156 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣)
338ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
342adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
35 ssfg 23246 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝐹)
3937, 38sseldd 3949 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
4029simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
412, 40sylan 581 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4241ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
43 cnvss 5832 . . . . . . . . 9 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝑣 βŠ† β—‘(𝑋 Γ— 𝑋))
44 cnvxp 6113 . . . . . . . . 9 β—‘(𝑋 Γ— 𝑋) = (𝑋 Γ— 𝑋)
4543, 44sseqtrdi 3998 . . . . . . . 8 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
471metustsym 23934 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝑒 = 𝑒)
4847ad5ant24 760 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑒 = 𝑒)
49 cnvss 5832 . . . . . . . . 9 (𝑒 βŠ† 𝑣 β†’ ◑𝑒 βŠ† ◑𝑣)
5049adantl 483 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑒 βŠ† ◑𝑣)
5148, 50eqsstrrd 3987 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 βŠ† ◑𝑣)
52 filss 23227 . . . . . . 7 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝑒 βŠ† ◑𝑣)) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
5333, 39, 46, 51, 52syl13anc 1373 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
5453, 31r19.29a 3156 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
551metustexhalf 23935 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒)
5655ad4ant13 750 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒)
57 r19.41v 3182 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣))
58 sstr 3956 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
5958reximi 3084 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6057, 59sylbir 234 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6156, 60sylancom 589 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6261, 31r19.29a 3156 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
63 ssrexv 4015 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
6436, 62, 63sylc 65 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6532, 54, 643jca 1129 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
6617, 23, 653jca 1129 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
6766ralrimiva 3140 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
68 elfvex 6884 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
6968adantl 483 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
70 isust 23578 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
725, 7, 67, 71mpbir3and 1343 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„+crp 12923  [,)cico 13275  PsMetcpsmet 20803  fBascfbas 20807  filGencfg 20808  Filcfil 23219  UnifOncust 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-psmet 20811  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-fil 23220  df-ust 23575
This theorem is referenced by:  cfilucfil  23938  metuust  23939  metucn  23950
  Copyright terms: Public domain W3C validator