Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metust 23265
 Description: The uniform structure generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metust ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metust
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustfbas 23264 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
3 fgcl 22583 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
4 filsspw 22556 . . 3 (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
6 filtop 22560 . . 3 (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
72, 3, 63syl 18 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
82, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
98ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
10 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
11 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
1211elpwid 4508 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
13 simpr 488 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑤)
14 filss 22558 . . . . . . 7 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ 𝑣𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1369 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
1615ex 416 . . . . 5 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → (𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)))
1716ralrimiva 3113 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)))
188ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
19 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
20 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
21 filin 22559 . . . . . 6 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
2322ralrimiva 3113 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
241metustid 23261 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑢𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑢)
2524ad5ant24 760 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑢)
26 simpr 488 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
2725, 26sstrd 3904 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣)
28 elfg 22576 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → (𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ↔ (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)))
2928biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣))
3029simprd 499 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)
312, 30sylan 583 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)
3227, 31r19.29a 3213 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣)
338ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
342adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
35 ssfg 22577 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝐹)
3937, 38sseldd 3895 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
4029simpld 498 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
412, 40sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4241ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
43 cnvss 5717 . . . . . . . . 9 (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝑣(𝑋 × 𝑋))
44 cnvxp 5990 . . . . . . . . 9 (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × 𝑋)
4543, 44sseqtrdi 3944 . . . . . . . 8 (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
471metustsym 23262 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑢𝐹) → 𝑢 = 𝑢)
4847ad5ant24 760 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢 = 𝑢)
49 cnvss 5717 . . . . . . . . 9 (𝑢𝑣𝑢𝑣)
5049adantl 485 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
5148, 50eqsstrrd 3933 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
52 filss 22558 . . . . . . 7 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ (𝑢 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ 𝑢𝑣)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
5333, 39, 46, 51, 52syl13anc 1369 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
5453, 31r19.29a 3213 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
551metustexhalf 23263 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑢𝐹) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢)
5655ad4ant13 750 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢)
57 r19.41v 3265 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐹 ((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) ↔ (∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣))
58 sstr 3902 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
5958reximi 3171 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐹 ((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6057, 59sylbir 238 . . . . . . . 8 ((∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6156, 60sylancom 591 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6261, 31r19.29a 3213 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
63 ssrexv 3961 . . . . . 6 (𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) → (∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣 → ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))
6436, 62, 63sylc 65 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6532, 54, 643jca 1125 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))
6617, 23, 653jca 1125 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
6766ralrimiva 3113 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
68 elfvex 6695 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
6968adantl 485 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
70 isust 22909 . . 3 (𝑋 ∈ V → (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
725, 7, 67, 71mpbir3and 1339 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497   ↦ cmpt 5115   I cid 5432   × cxp 5525  ◡ccnv 5526  ran crn 5528   ↾ cres 5529   “ cima 5530   ∘ ccom 5531  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  ℝ+crp 12435  [,)cico 12786  PsMetcpsmet 20155  fBascfbas 20159  filGencfg 20160  Filcfil 22550  UnifOncust 22905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-2 11742  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ico 12790  df-psmet 20163  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-fil 22551  df-ust 22906 This theorem is referenced by:  cfilucfil  23266  metuust  23267  metucn  23278
 Copyright terms: Public domain W3C validator