MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metust 22583
Description: The uniform structure generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metust ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metust
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustfbas 22582 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
3 fgcl 21902 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
4 filsspw 21875 . . 3 (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
6 filtop 21879 . . 3 (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
72, 3, 63syl 18 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
82, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
98ad3antrrr 709 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
10 simpllr 760 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
11 simplr 752 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
1211elpwid 4310 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
13 simpr 471 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑤)
14 filss 21877 . . . . . . 7 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ 𝑣𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1478 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
1615ex 397 . . . . 5 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → (𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)))
1716ralrimiva 3115 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)))
188ad2antrr 705 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
19 simplr 752 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
20 simpr 471 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
21 filin 21878 . . . . . 6 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
2322ralrimiva 3115 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
241metustid 22579 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑢𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑢)
2524ad5ant24 1223 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑢)
26 simpr 471 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
2725, 26sstrd 3762 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣)
28 elfg 21895 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → (𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ↔ (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)))
2928biimpa 462 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣))
3029simprd 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)
312, 30sylan 569 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)
3227, 31r19.29a 3226 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣)
338ad3antrrr 709 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
342adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
35 ssfg 21896 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
3736ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
38 simplr 752 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝐹)
3937, 38sseldd 3753 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
4029simpld 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
412, 40sylan 569 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4241ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
43 cnvss 5432 . . . . . . . . 9 (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝑣(𝑋 × 𝑋))
44 cnvxp 5691 . . . . . . . . 9 (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × 𝑋)
4543, 44syl6sseq 3800 . . . . . . . 8 (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
471metustsym 22580 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑢𝐹) → 𝑢 = 𝑢)
4847ad5ant24 1223 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢 = 𝑢)
49 cnvss 5432 . . . . . . . . 9 (𝑢𝑣𝑢𝑣)
5049adantl 467 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
5148, 50eqsstr3d 3789 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
52 filss 21877 . . . . . . 7 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ (𝑢 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ 𝑢𝑣)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
5333, 39, 46, 51, 52syl13anc 1478 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
5453, 31r19.29a 3226 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
551metustexhalf 22581 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑢𝐹) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢)
5655ad4ant13 1206 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢)
57 r19.41v 3237 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐹 ((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) ↔ (∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣))
58 sstr 3760 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
5958reximi 3159 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐹 ((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6057, 59sylbir 225 . . . . . . . 8 ((∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6156, 26, 60syl2anc 573 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6261, 31r19.29a 3226 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
63 ssrexv 3816 . . . . . 6 (𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) → (∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣 → ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))
6436, 62, 63sylc 65 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6532, 54, 643jca 1122 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))
6617, 23, 653jca 1122 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
6766ralrimiva 3115 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
68 elfvex 6364 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
6968adantl 467 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
70 isust 22227 . . 3 (𝑋 ∈ V → (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
725, 7, 67, 71mpbir3and 1427 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4298  cmpt 4864   I cid 5157   × cxp 5248  ccnv 5249  ran crn 5251  cres 5252  cima 5253  ccom 5254  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  +crp 12035  [,)cico 12382  PsMetcpsmet 19945  fBascfbas 19949  filGencfg 19950  Filcfil 21869  UnifOncust 22223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-2 11285  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-psmet 19953  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-fil 21870  df-ust 22224
This theorem is referenced by:  cfilucfil  22584  metuust  22585  metucn  22596
  Copyright terms: Public domain W3C validator