MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metust 24411
Description: The uniform structure generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metust ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metust
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metustfbas 24410 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
3 fgcl 23726 . . 3 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
4 filsspw 23699 . . 3 (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
6 filtop 23703 . . 3 (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
72, 3, 63syl 18 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
82, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
98ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
10 simpllr 773 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
11 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1211elpwid 4604 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
13 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑀)
14 filss 23701 . . . . . . 7 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1369 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
1615ex 412 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
1716ralrimiva 3138 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
188ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
19 simplr 766 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
20 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
21 filin 23702 . . . . . 6 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
2322ralrimiva 3138 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
241metustid 24407 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑒)
2524ad5ant24 758 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑒)
26 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑣)
2725, 26sstrd 3985 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣)
28 elfg 23719 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ↔ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)))
2928biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣))
3029simprd 495 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)
312, 30sylan 579 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)
3227, 31r19.29a 3154 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣)
338ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
342adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
35 ssfg 23720 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
3736ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
38 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝐹)
3937, 38sseldd 3976 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
4029simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
412, 40sylan 579 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4241ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
43 cnvss 5863 . . . . . . . . 9 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝑣 βŠ† β—‘(𝑋 Γ— 𝑋))
44 cnvxp 6147 . . . . . . . . 9 β—‘(𝑋 Γ— 𝑋) = (𝑋 Γ— 𝑋)
4543, 44sseqtrdi 4025 . . . . . . . 8 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
471metustsym 24408 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝑒 = 𝑒)
4847ad5ant24 758 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑒 = 𝑒)
49 cnvss 5863 . . . . . . . . 9 (𝑒 βŠ† 𝑣 β†’ ◑𝑒 βŠ† ◑𝑣)
5049adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑒 βŠ† ◑𝑣)
5148, 50eqsstrrd 4014 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 βŠ† ◑𝑣)
52 filss 23701 . . . . . . 7 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝑒 βŠ† ◑𝑣)) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
5333, 39, 46, 51, 52syl13anc 1369 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
5453, 31r19.29a 3154 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
551metustexhalf 24409 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒)
5655ad4ant13 748 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒)
57 r19.41v 3180 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣))
58 sstr 3983 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
5958reximi 3076 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6057, 59sylbir 234 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6156, 60sylancom 587 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6261, 31r19.29a 3154 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
63 ssrexv 4044 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
6436, 62, 63sylc 65 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6532, 54, 643jca 1125 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
6617, 23, 653jca 1125 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
6766ralrimiva 3138 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
68 elfvex 6920 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
6968adantl 481 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
70 isust 24052 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
725, 7, 67, 71mpbir3and 1339 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  π’« cpw 4595   ↦ cmpt 5222   I cid 5564   Γ— cxp 5665  β—‘ccnv 5666  ran crn 5668   β†Ύ cres 5669   β€œ cima 5670   ∘ ccom 5671  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  β„+crp 12975  [,)cico 13327  PsMetcpsmet 21218  fBascfbas 21222  filGencfg 21223  Filcfil 23693  UnifOncust 24048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-psmet 21226  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-fil 23694  df-ust 24049
This theorem is referenced by:  cfilucfil  24412  metuust  24413  metucn  24424
  Copyright terms: Public domain W3C validator