MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metust 24480
Description: The uniform structure generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metust ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metust
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metustfbas 24479 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
3 fgcl 23795 . . 3 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
4 filsspw 23768 . . 3 (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
6 filtop 23772 . . 3 (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
72, 3, 63syl 18 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
82, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
98ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
10 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
11 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1211elpwid 4612 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
13 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑀)
14 filss 23770 . . . . . . 7 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1370 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
1615ex 412 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
1716ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
188ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
19 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
20 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
21 filin 23771 . . . . . 6 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
2322ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
241metustid 24476 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑒)
2524ad5ant24 760 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑒)
26 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑣)
2725, 26sstrd 3990 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣)
28 elfg 23788 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ↔ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)))
2928biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣))
3029simprd 495 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)
312, 30sylan 579 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐹 𝑒 βŠ† 𝑣)
3227, 31r19.29a 3159 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣)
338ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
342adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
35 ssfg 23789 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝐹)
3937, 38sseldd 3981 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
4029simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
412, 40sylan 579 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4241ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
43 cnvss 5875 . . . . . . . . 9 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝑣 βŠ† β—‘(𝑋 Γ— 𝑋))
44 cnvxp 6161 . . . . . . . . 9 β—‘(𝑋 Γ— 𝑋) = (𝑋 Γ— 𝑋)
4543, 44sseqtrdi 4030 . . . . . . . 8 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
471metustsym 24477 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝑒 = 𝑒)
4847ad5ant24 760 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑒 = 𝑒)
49 cnvss 5875 . . . . . . . . 9 (𝑒 βŠ† 𝑣 β†’ ◑𝑒 βŠ† ◑𝑣)
5049adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑒 βŠ† ◑𝑣)
5148, 50eqsstrrd 4019 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 βŠ† ◑𝑣)
52 filss 23770 . . . . . . 7 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ ◑𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝑒 βŠ† ◑𝑣)) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
5333, 39, 46, 51, 52syl13anc 1370 . . . . . 6 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
5453, 31r19.29a 3159 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
551metustexhalf 24478 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒)
5655ad4ant13 750 . . . . . . . 8 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒)
57 r19.41v 3185 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣))
58 sstr 3988 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
5958reximi 3081 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6057, 59sylbir 234 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6156, 60sylancom 587 . . . . . . 7 (((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐹) ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6261, 31r19.29a 3159 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
63 ssrexv 4049 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
6436, 62, 63sylc 65 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
6532, 54, 643jca 1126 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
6617, 23, 653jca 1126 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
6766ralrimiva 3143 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
68 elfvex 6935 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
6968adantl 481 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
70 isust 24121 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑣 ∩ 𝑀) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)(𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
725, 7, 67, 71mpbir3and 1340 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5231   I cid 5575   Γ— cxp 5676  β—‘ccnv 5677  ran crn 5679   β†Ύ cres 5680   β€œ cima 5681   ∘ ccom 5682  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139  β„+crp 13007  [,)cico 13359  PsMetcpsmet 21263  fBascfbas 21267  filGencfg 21268  Filcfil 23762  UnifOncust 24117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-psmet 21271  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-fil 23763  df-ust 24118
This theorem is referenced by:  cfilucfil  24481  metuust  24482  metucn  24493
  Copyright terms: Public domain W3C validator