Theorem funcrcl3 50006

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5104	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17952	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  Catccat 17752   Func cfunc 17943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-func 17947

This theorem is used by:  imasubc2  50078  imasubc3  50082  upciclem2  50093  upciclem3  50094  upeu2  50098  uobrcl  50119  natoppfb  50157  fuco11  50252  fuco11cl  50253  fuco21  50262  fuco11b  50263  fuco11bALT  50264  fuco22natlem2  50269  fuco22natlem  50271  fucoid  50274  fucocolem1  50279  fucolid  50287  fucorid  50288  postcofval  50290  postcofcl  50291  precofval  50293  precofvalALT  50294  precofcl  50296  prcoftposcurfuco  50309  prcof1  50314  prcof2a  50315  prcof2  50316  prcofdiag1  50319  prcofdiag  50320  fucoppclem  50333  fucoppcid  50334  eufunclem  50447  diag1f1olem  50459  diag2f1olem  50462  lanval  50545  ranval  50546  lanup  50567  ranup  50568  lmdpropd  50583  cmdpropd  50584  concl  50587  coccl  50588  concom  50589  coccom  50590  islmd  50591  iscmd  50592  termolmd  50596  lmdran  50597  cmdlan  50598