Theorem funcrcl3 49858

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5110	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17915	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  Catccat 17715   Func cfunc 17906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-func 17910

This theorem is referenced by:  imasubc2  49930  imasubc3  49934  upciclem2  49945  upciclem3  49946  upeu2  49950  uobrcl  49971  natoppfb  50009  fuco11  50104  fuco11cl  50105  fuco21  50114  fuco11b  50115  fuco11bALT  50116  fuco22natlem2  50121  fuco22natlem  50123  fucoid  50126  fucocolem1  50131  fucolid  50139  fucorid  50140  postcofval  50142  postcofcl  50143  precofval  50145  precofvalALT  50146  precofcl  50148  prcoftposcurfuco  50161  prcof1  50166  prcof2a  50167  prcof2  50168  prcofdiag1  50171  prcofdiag  50172  fucoppclem  50185  fucoppcid  50186  eufunclem  50299  diag1f1olem  50311  diag2f1olem  50314  lanval  50397  ranval  50398  lanup  50419  ranup  50420  lmdpropd  50435  cmdpropd  50436  concl  50439  coccl  50440  concom  50441  coccom  50442  islmd  50443  iscmd  50444  termolmd  50448  lmdran  50449  cmdlan  50450