Theorem funcrcl3 49570

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5073	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 217	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17821	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 496	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  Catccat 17621   Func cfunc 17812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-func 17816

This theorem is referenced by:  imasubc2  49642  imasubc3  49646  upciclem2  49657  upciclem3  49658  upeu2  49662  uobrcl  49683  natoppfb  49721  fuco11  49816  fuco11cl  49817  fuco21  49826  fuco11b  49827  fuco11bALT  49828  fuco22natlem2  49833  fuco22natlem  49835  fucoid  49838  fucocolem1  49843  fucolid  49851  fucorid  49852  postcofval  49854  postcofcl  49855  precofval  49857  precofvalALT  49858  precofcl  49860  prcoftposcurfuco  49873  prcof1  49878  prcof2a  49879  prcof2  49880  prcofdiag1  49883  prcofdiag  49884  fucoppclem  49897  fucoppcid  49898  eufunclem  50011  diag1f1olem  50023  diag2f1olem  50026  lanval  50109  ranval  50110  lanup  50131  ranup  50132  lmdpropd  50147  cmdpropd  50148  concl  50151  coccl  50152  concom  50153  coccom  50154  islmd  50155  iscmd  50156  termolmd  50160  lmdran  50161  cmdlan  50162