Theorem funcrcl3 50301

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 18045	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  Catccat 17845   Func cfunc 18036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-dm 5660  df-iota 6496  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-func 18040

This theorem is used by:  imasubc2  50375  imasubc3  50379  upciclem2  50390  upciclem3  50391  upeu2  50395  uobrcl  50416  natoppfb  50460  fuco11  50555  fuco11cl  50556  fuco21  50565  fuco11b  50566  fuco11bALT  50567  fuco22natlem2  50572  fuco22natlem  50574  fucoid  50577  fucocolem1  50582  fucolid  50590  fucorid  50591  postcofval  50603  postcofcl  50604  precofval  50609  precofvalALT  50610  precofcl  50612  prcoftposcurfuco  50625  prcof1  50630  prcof2a  50631  prcof2  50632  prcofdiag1  50635  prcofdiag  50636  fucoppclem  50649  fucoppcid  50650  eufunclem  50763  diag1f1olem  50775  diag2f1olem  50781  lanval  50909  ranval  50910  lanup  50931  ranup  50932  lmdpropd  50947  cmdpropd  50948  concl  50951  coccl  50952  concom  50953  coccom  50954  islmd  50955  iscmd  50956  termolmd  50960  lmdran  50961  cmdlan  50962