Theorem funcrcl3 49662

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5098	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17887	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 499	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  Catccat 17687   Func cfunc 17878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-dm 5653  df-iota 6472  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-func 17882

This theorem is referenced by:  imasubc2  49734  imasubc3  49738  upciclem2  49749  upciclem3  49750  upeu2  49754  uobrcl  49775  natoppfb  49813  fuco11  49908  fuco11cl  49909  fuco21  49918  fuco11b  49919  fuco11bALT  49920  fuco22natlem2  49925  fuco22natlem  49927  fucoid  49930  fucocolem1  49935  fucolid  49943  fucorid  49944  postcofval  49946  postcofcl  49947  precofval  49949  precofvalALT  49950  precofcl  49952  prcoftposcurfuco  49965  prcof1  49970  prcof2a  49971  prcof2  49972  prcofdiag1  49975  prcofdiag  49976  fucoppclem  49989  fucoppcid  49990  eufunclem  50103  diag1f1olem  50115  diag2f1olem  50118  lanval  50201  ranval  50202  lanup  50223  ranup  50224  lmdpropd  50239  cmdpropd  50240  concl  50243  coccl  50244  concom  50245  coccom  50246  islmd  50247  iscmd  50248  termolmd  50252  lmdran  50253  cmdlan  50254