Theorem funcrcl3 49555

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5086	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17830	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  Catccat 17630   Func cfunc 17821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-func 17825

This theorem is referenced by:  imasubc2  49627  imasubc3  49631  upciclem2  49642  upciclem3  49643  upeu2  49647  uobrcl  49668  natoppfb  49706  fuco11  49801  fuco11cl  49802  fuco21  49811  fuco11b  49812  fuco11bALT  49813  fuco22natlem2  49818  fuco22natlem  49820  fucoid  49823  fucocolem1  49828  fucolid  49836  fucorid  49837  postcofval  49839  postcofcl  49840  precofval  49842  precofvalALT  49843  precofcl  49845  prcoftposcurfuco  49858  prcof1  49863  prcof2a  49864  prcof2  49865  prcofdiag1  49868  prcofdiag  49869  fucoppclem  49882  fucoppcid  49883  eufunclem  49996  diag1f1olem  50008  diag2f1olem  50011  lanval  50094  ranval  50095  lanup  50116  ranup  50117  lmdpropd  50132  cmdpropd  50133  concl  50136  coccl  50137  concom  50138  coccom  50139  islmd  50140  iscmd  50141  termolmd  50145  lmdran  50146  cmdlan  50147