Theorem funcrcl3 49085

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5096	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17789	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  Catccat 17589   Func cfunc 17780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-func 17784

This theorem is referenced by:  imasubc2  49157  imasubc3  49161  upciclem2  49172  upciclem3  49173  upeu2  49177  uobrcl  49198  natoppfb  49236  fuco11  49331  fuco11cl  49332  fuco21  49341  fuco11b  49342  fuco11bALT  49343  fuco22natlem2  49348  fuco22natlem  49350  fucoid  49353  fucocolem1  49358  fucolid  49366  fucorid  49367  postcofval  49369  postcofcl  49370  precofval  49372  precofvalALT  49373  precofcl  49375  prcoftposcurfuco  49388  prcof1  49393  prcof2a  49394  prcof2  49395  prcofdiag1  49398  prcofdiag  49399  fucoppclem  49412  fucoppcid  49413  eufunclem  49526  diag1f1olem  49538  diag2f1olem  49541  lanval  49624  ranval  49625  lanup  49646  ranup  49647  lmdpropd  49662  cmdpropd  49663  concl  49666  coccl  49667  concom  49668  coccom  49669  islmd  49670  iscmd  49671  termolmd  49675  lmdran  49676  cmdlan  49677