Theorem funcrcl3 49439

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5101	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17799	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  Catccat 17599   Func cfunc 17790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-func 17794

This theorem is referenced by:  imasubc2  49511  imasubc3  49515  upciclem2  49526  upciclem3  49527  upeu2  49531  uobrcl  49552  natoppfb  49590  fuco11  49685  fuco11cl  49686  fuco21  49695  fuco11b  49696  fuco11bALT  49697  fuco22natlem2  49702  fuco22natlem  49704  fucoid  49707  fucocolem1  49712  fucolid  49720  fucorid  49721  postcofval  49723  postcofcl  49724  precofval  49726  precofvalALT  49727  precofcl  49729  prcoftposcurfuco  49742  prcof1  49747  prcof2a  49748  prcof2  49749  prcofdiag1  49752  prcofdiag  49753  fucoppclem  49766  fucoppcid  49767  eufunclem  49880  diag1f1olem  49892  diag2f1olem  49895  lanval  49978  ranval  49979  lanup  50000  ranup  50001  lmdpropd  50016  cmdpropd  50017  concl  50020  coccl  50021  concom  50022  coccom  50023  islmd  50024  iscmd  50025  termolmd  50029  lmdran  50030  cmdlan  50031