Theorem funcrcl3 49241

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5096	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17778	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  Catccat 17578   Func cfunc 17769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5627  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-func 17773

This theorem is referenced by:  imasubc2  49313  imasubc3  49317  upciclem2  49328  upciclem3  49329  upeu2  49333  uobrcl  49354  natoppfb  49392  fuco11  49487  fuco11cl  49488  fuco21  49497  fuco11b  49498  fuco11bALT  49499  fuco22natlem2  49504  fuco22natlem  49506  fucoid  49509  fucocolem1  49514  fucolid  49522  fucorid  49523  postcofval  49525  postcofcl  49526  precofval  49528  precofvalALT  49529  precofcl  49531  prcoftposcurfuco  49544  prcof1  49549  prcof2a  49550  prcof2  49551  prcofdiag1  49554  prcofdiag  49555  fucoppclem  49568  fucoppcid  49569  eufunclem  49682  diag1f1olem  49694  diag2f1olem  49697  lanval  49780  ranval  49781  lanup  49802  ranup  49803  lmdpropd  49818  cmdpropd  49819  concl  49822  coccl  49823  concom  49824  coccom  49825  islmd  49826  iscmd  49827  termolmd  49831  lmdran  49832  cmdlan  49833