Theorem funcrcl3 49468

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5101	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17801	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  Catccat 17601   Func cfunc 17792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5640  df-dm 5644  df-iota 6458  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-func 17796

This theorem is referenced by:  imasubc2  49540  imasubc3  49544  upciclem2  49555  upciclem3  49556  upeu2  49560  uobrcl  49581  natoppfb  49619  fuco11  49714  fuco11cl  49715  fuco21  49724  fuco11b  49725  fuco11bALT  49726  fuco22natlem2  49731  fuco22natlem  49733  fucoid  49736  fucocolem1  49741  fucolid  49749  fucorid  49750  postcofval  49752  postcofcl  49753  precofval  49755  precofvalALT  49756  precofcl  49758  prcoftposcurfuco  49771  prcof1  49776  prcof2a  49777  prcof2  49778  prcofdiag1  49781  prcofdiag  49782  fucoppclem  49795  fucoppcid  49796  eufunclem  49909  diag1f1olem  49921  diag2f1olem  49924  lanval  50007  ranval  50008  lanup  50029  ranup  50030  lmdpropd  50045  cmdpropd  50046  concl  50049  coccl  50050  concom  50051  coccom  50052  islmd  50053  iscmd  50054  termolmd  50058  lmdran  50059  cmdlan  50060