Theorem funcrcl3 49042

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17801	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  Catccat 17601   Func cfunc 17792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-func 17796

This theorem is referenced by:  imasubc2  49114  imasubc3  49118  upciclem2  49129  upciclem3  49130  upeu2  49134  uobrcl  49155  natoppfb  49193  fuco11  49288  fuco11cl  49289  fuco21  49298  fuco11b  49299  fuco11bALT  49300  fuco22natlem2  49305  fuco22natlem  49307  fucoid  49310  fucocolem1  49315  fucolid  49323  fucorid  49324  postcofval  49326  postcofcl  49327  precofval  49329  precofvalALT  49330  precofcl  49332  prcoftposcurfuco  49345  prcof1  49350  prcof2a  49351  prcof2  49352  prcofdiag1  49355  prcofdiag  49356  fucoppclem  49369  fucoppcid  49370  eufunclem  49483  diag1f1olem  49495  diag2f1olem  49498  lanval  49581  ranval  49582  lanup  49603  ranup  49604  lmdpropd  49619  cmdpropd  49620  concl  49623  coccl  49624  concom  49625  coccom  49626  islmd  49627  iscmd  49628  termolmd  49632  lmdran  49633  cmdlan  49634