Theorem funcrcl3 49738

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5111	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17916	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  Catccat 17716   Func cfunc 17907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5665  df-dm 5669  df-iota 6490  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-func 17911

This theorem is referenced by:  imasubc2  49810  imasubc3  49814  upciclem2  49825  upciclem3  49826  upeu2  49830  uobrcl  49851  natoppfb  49889  fuco11  49984  fuco11cl  49985  fuco21  49994  fuco11b  49995  fuco11bALT  49996  fuco22natlem2  50001  fuco22natlem  50003  fucoid  50006  fucocolem1  50011  fucolid  50019  fucorid  50020  postcofval  50022  postcofcl  50023  precofval  50025  precofvalALT  50026  precofcl  50028  prcoftposcurfuco  50041  prcof1  50046  prcof2a  50047  prcof2  50048  prcofdiag1  50051  prcofdiag  50052  fucoppclem  50065  fucoppcid  50066  eufunclem  50179  diag1f1olem  50191  diag2f1olem  50194  lanval  50277  ranval  50278  lanup  50299  ranup  50300  lmdpropd  50315  cmdpropd  50316  concl  50319  coccl  50320  concom  50321  coccom  50322  islmd  50323  iscmd  50324  termolmd  50328  lmdran  50329  cmdlan  50330