Theorem funcrcl3 50525

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5109	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 18088	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  Catccat 17888   Func cfunc 18079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-func 18083

This theorem is used by:  imasubc2  50599  imasubc3  50603  upciclem2  50614  upciclem3  50615  upeu2  50619  uobrcl  50640  natoppfb  50684  fuco11  50779  fuco11cl  50780  fuco21  50789  fuco11b  50790  fuco11bALT  50791  fuco22natlem2  50796  fuco22natlem  50798  fucoid  50801  fucocolem1  50806  fucolid  50814  fucorid  50815  postcofval  50827  postcofcl  50828  precofval  50833  precofvalALT  50834  precofcl  50836  prcoftposcurfuco  50849  prcof1  50854  prcof2a  50855  prcof2  50856  prcofdiag1  50859  prcofdiag  50860  fucoppclem  50873  fucoppcid  50874  eufunclem  50987  diag1f1olem  50999  diag2f1olem  51005  lanval  51133  ranval  51134  lanup  51155  ranup  51156  lmdpropd  51171  cmdpropd  51172  concl  51175  coccl  51176  concom  51177  coccom  51178  islmd  51179  iscmd  51180  termolmd  51184  lmdran  51185  cmdlan  51186