Theorem funcrcl3 50157

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5104	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 18031	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  Catccat 17831   Func cfunc 18022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-func 18026

This theorem is used by:  imasubc2  50229  imasubc3  50233  upciclem2  50244  upciclem3  50245  upeu2  50249  uobrcl  50270  natoppfb  50308  fuco11  50403  fuco11cl  50404  fuco21  50413  fuco11b  50414  fuco11bALT  50415  fuco22natlem2  50420  fuco22natlem  50422  fucoid  50425  fucocolem1  50430  fucolid  50438  fucorid  50439  postcofval  50441  postcofcl  50442  precofval  50444  precofvalALT  50445  precofcl  50447  prcoftposcurfuco  50460  prcof1  50465  prcof2a  50466  prcof2  50467  prcofdiag1  50470  prcofdiag  50471  fucoppclem  50484  fucoppcid  50485  eufunclem  50598  diag1f1olem  50610  diag2f1olem  50613  lanval  50696  ranval  50697  lanup  50718  ranup  50719  lmdpropd  50734  cmdpropd  50735  concl  50738  coccl  50739  concom  50740  coccom  50741  islmd  50742  iscmd  50743  termolmd  50747  lmdran  50748  cmdlan  50749