Theorem funcrcl2 50301

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 18047	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  Catccat 17847   Func cfunc 18038

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5657  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-func 18042

This theorem is used by:  cofid1a  50336  cofid2a  50337  cofidvala  50340  cofidf2a  50341  cofidval  50343  imaid  50378  imaf1co  50379  fthcomf  50381  upciclem3  50392  upciclem4  50393  upeu  50395  upeu2  50396  uobrcl  50417  upeu4  50420  uptrlem1  50434  natoppfb  50461  fuco11  50556  fuco11cl  50557  fuco21  50566  fuco11b  50567  fuco11bALT  50568  fucoid  50578  fucolid  50591  fucorid  50592  postcofval  50604  postcofcl  50605  precofval  50610  precofvalALT  50611  precofcl  50613  prcof1  50631  prcof2a  50632  prcof2  50633  prcofdiag1  50636  prcofdiag  50637  fucoppclem  50650  fucoppcid  50651  thincciso2  50698  isinito2  50742  isinito3  50743  eufunclem  50764  funcsn  50787  cofuterm  50791  isinito4  50793  lanval  50910  ranval  50911  lmdpropd  50948  cmdpropd  50949  concl  50952  coccl  50953  concom  50954  coccom  50955  islmd  50956  iscmd  50957