Theorem funcrcl2 49914

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5112	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17942	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  Catccat 17742   Func cfunc 17933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-func 17937

This theorem is used by:  cofid1a  49947  cofid2a  49948  cofidvala  49951  cofidf2a  49952  cofidval  49954  imaid  49989  imaf1co  49990  fthcomf  49992  upciclem3  50003  upciclem4  50004  upeu  50006  upeu2  50007  uobrcl  50028  upeu4  50031  uptrlem1  50045  natoppfb  50066  fuco11  50161  fuco11cl  50162  fuco21  50171  fuco11b  50172  fuco11bALT  50173  fucoid  50183  fucolid  50196  fucorid  50197  postcofval  50199  postcofcl  50200  precofval  50202  precofvalALT  50203  precofcl  50205  prcof1  50223  prcof2a  50224  prcof2  50225  prcofdiag1  50228  prcofdiag  50229  fucoppclem  50242  fucoppcid  50243  thincciso2  50290  isinito2  50334  isinito3  50335  eufunclem  50356  funcsn  50376  cofuterm  50380  isinito4  50382  lanval  50454  ranval  50455  lmdpropd  50492  cmdpropd  50493  concl  50496  coccl  50497  concom  50498  coccom  50499  islmd  50500  iscmd  50501