Theorem funcrcl2 49056

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5110	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17831	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  Catccat 17631   Func cfunc 17822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5646  df-dm 5650  df-iota 6466  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-func 17826

This theorem is referenced by:  cofid1a  49089  cofid2a  49090  cofidvala  49093  cofidf2a  49094  cofidval  49096  imaid  49130  imaf1co  49131  fthcomf  49133  upciclem3  49141  upciclem4  49142  upeu  49144  upeu2  49145  uobrcl  49166  upeu4  49169  uptrlem1  49183  natoppfb  49202  fuco11  49297  fuco11cl  49298  fuco21  49307  fuco11b  49308  fuco11bALT  49309  fucoid  49319  fucolid  49332  fucorid  49333  postcofval  49335  postcofcl  49336  precofval  49338  precofvalALT  49339  precofcl  49341  prcof1  49359  prcof2a  49360  prcof2  49361  fucoppclem  49376  fucoppcid  49377  thincciso2  49424  isinito2  49468  isinito3  49469  eufunclem  49490  funcsn  49510  cofuterm  49514  isinito4  49516  lanval  49588  ranval  49589  lmdpropd  49625  cmdpropd  49626  concl  49629  coccl  49630  concom  49631  coccom  49632  islmd  49633  iscmd  49634