Theorem funcrcl2 49041

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17801	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  Catccat 17601   Func cfunc 17792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-func 17796

This theorem is referenced by:  cofid1a  49074  cofid2a  49075  cofidvala  49078  cofidf2a  49079  cofidval  49081  imaid  49116  imaf1co  49117  fthcomf  49119  upciclem3  49130  upciclem4  49131  upeu  49133  upeu2  49134  uobrcl  49155  upeu4  49158  uptrlem1  49172  natoppfb  49193  fuco11  49288  fuco11cl  49289  fuco21  49298  fuco11b  49299  fuco11bALT  49300  fucoid  49310  fucolid  49323  fucorid  49324  postcofval  49326  postcofcl  49327  precofval  49329  precofvalALT  49330  precofcl  49332  prcof1  49350  prcof2a  49351  prcof2  49352  prcofdiag1  49355  prcofdiag  49356  fucoppclem  49369  fucoppcid  49370  thincciso2  49417  isinito2  49461  isinito3  49462  eufunclem  49483  funcsn  49503  cofuterm  49507  isinito4  49509  lanval  49581  ranval  49582  lmdpropd  49619  cmdpropd  49620  concl  49623  coccl  49624  concom  49625  coccom  49626  islmd  49627  iscmd  49628