Theorem funcrcl2 49569

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5087	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17824	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  Catccat 17624   Func cfunc 17815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5631  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-func 17819

This theorem is referenced by:  cofid1a  49602  cofid2a  49603  cofidvala  49606  cofidf2a  49607  cofidval  49609  imaid  49644  imaf1co  49645  fthcomf  49647  upciclem3  49658  upciclem4  49659  upeu  49661  upeu2  49662  uobrcl  49683  upeu4  49686  uptrlem1  49700  natoppfb  49721  fuco11  49816  fuco11cl  49817  fuco21  49826  fuco11b  49827  fuco11bALT  49828  fucoid  49838  fucolid  49851  fucorid  49852  postcofval  49854  postcofcl  49855  precofval  49857  precofvalALT  49858  precofcl  49860  prcof1  49878  prcof2a  49879  prcof2  49880  prcofdiag1  49883  prcofdiag  49884  fucoppclem  49897  fucoppcid  49898  thincciso2  49945  isinito2  49989  isinito3  49990  eufunclem  50011  funcsn  50031  cofuterm  50035  isinito4  50037  lanval  50109  ranval  50110  lmdpropd  50147  cmdpropd  50148  concl  50151  coccl  50152  concom  50153  coccom  50154  islmd  50155  iscmd  50156