Theorem funcrcl2 49111

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcrcl2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Proof of Theorem funcrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcrcl2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		df-br 5087	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4		funcrcl 17765	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  Catccat 17565   Func cfunc 17756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5617  df-dm 5621  df-iota 6432  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-func 17760

This theorem is referenced by:  cofid1a  49144  cofid2a  49145  cofidvala  49148  cofidf2a  49149  cofidval  49151  imaid  49186  imaf1co  49187  fthcomf  49189  upciclem3  49200  upciclem4  49201  upeu  49203  upeu2  49204  uobrcl  49225  upeu4  49228  uptrlem1  49242  natoppfb  49263  fuco11  49358  fuco11cl  49359  fuco21  49368  fuco11b  49369  fuco11bALT  49370  fucoid  49380  fucolid  49393  fucorid  49394  postcofval  49396  postcofcl  49397  precofval  49399  precofvalALT  49400  precofcl  49402  prcof1  49420  prcof2a  49421  prcof2  49422  prcofdiag1  49425  prcofdiag  49426  fucoppclem  49439  fucoppcid  49440  thincciso2  49487  isinito2  49531  isinito3  49532  eufunclem  49553  funcsn  49573  cofuterm  49577  isinito4  49579  lanval  49651  ranval  49652  lmdpropd  49689  cmdpropd  49690  concl  49693  coccl  49694  concom  49695  coccom  49696  islmd  49697  iscmd  49698