Theorem fuco23alem 50285

Description: The naturality property (nati 18053) in category 𝐸. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco23a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨𝑀, 𝑁⟩))
fuco23a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (⟨𝐾, 𝐿⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨𝑅, 𝑆⟩))
fuco23a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
fuco23alem.o	⊢ · = (comp‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fuco23alem	⊢ (𝜑 → ((𝐵‘(𝑀‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝐾‘(𝑀‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(((𝐹‘𝑋)𝐿(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))) = ((((𝐹‘𝑋)𝑆(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝑅‘(𝐹‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(𝐵‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco23alem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
2		fuco23a.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (⟨𝐾, 𝐿⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨𝑅, 𝑆⟩))
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		fuco23alem.o	. 2 ⊢ · = (comp‘𝐸)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
8		fuco23a.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨𝑀, 𝑁⟩))
9	7, 8	natrcl2 50158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
10	6, 3, 9	funcf1 17961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
11		fuco23a.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12	10, 11	ffvelcdmd 7082	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
13	7, 8	natrcl3 50159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀(𝐶 Func 𝐷)𝑁)
14	6, 3, 13	funcf1 17961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15	14, 11	ffvelcdmd 7082	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
16	7, 8, 6, 4, 11	natcl 18051	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐷)(𝑀‘𝑋)))
17	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 16	nati 18053	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘(𝑀‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝐾‘(𝑀‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(((𝐹‘𝑋)𝐿(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))) = ((((𝐹‘𝑋)𝑆(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝑅‘(𝐹‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(𝐵‘(𝐹‘𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Hom chom 17359  compcco 17360   Nat cnat 18039

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8832  df-ixp 8909  df-func 17953  df-nat 18041

This theorem is used by:  fuco23a  50286  fucoco  50291