Theorem fuco23alem 49246

Description: The naturality property (nati 17926) in category 𝐸. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco23a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨𝑀, 𝑁⟩))
fuco23a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (⟨𝐾, 𝐿⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨𝑅, 𝑆⟩))
fuco23a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
fuco23alem.o	⊢ · = (comp‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fuco23alem	⊢ (𝜑 → ((𝐵‘(𝑀‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝐾‘(𝑀‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(((𝐹‘𝑋)𝐿(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))) = ((((𝐹‘𝑋)𝑆(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝑅‘(𝐹‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(𝐵‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco23alem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
2		fuco23a.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (⟨𝐾, 𝐿⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨𝑅, 𝑆⟩))
3		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		eqid 2730	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		fuco23alem.o	. 2 ⊢ · = (comp‘𝐸)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
8		fuco23a.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨𝑀, 𝑁⟩))
9	7, 8	natrcl2 49128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
10	6, 3, 9	funcf1 17834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
11		fuco23a.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12	10, 11	ffvelcdmd 7064	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
13	7, 8	natrcl3 49129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀(𝐶 Func 𝐷)𝑁)
14	6, 3, 13	funcf1 17834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15	14, 11	ffvelcdmd 7064	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
16	7, 8, 6, 4, 11	natcl 17924	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐷)(𝑀‘𝑋)))
17	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 16	nati 17926	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘(𝑀‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝐾‘(𝑀‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(((𝐹‘𝑋)𝐿(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))) = ((((𝐹‘𝑋)𝑆(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝑅‘(𝐹‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(𝐵‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4603  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185  Hom chom 17237  compcco 17238   Nat cnat 17912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8805  df-ixp 8875  df-func 17826  df-nat 17914

This theorem is referenced by:  fuco23a  49247  fucoco  49252