Theorem fuco23alem 49936

Description: The naturality property (nati 17974) in category 𝐸. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco23a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨𝑀, 𝑁⟩))
fuco23a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (⟨𝐾, 𝐿⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨𝑅, 𝑆⟩))
fuco23a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
fuco23alem.o	⊢ · = (comp‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fuco23alem	⊢ (𝜑 → ((𝐵‘(𝑀‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝐾‘(𝑀‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(((𝐹‘𝑋)𝐿(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))) = ((((𝐹‘𝑋)𝑆(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝑅‘(𝐹‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(𝐵‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco23alem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
2		fuco23a.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (⟨𝐾, 𝐿⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨𝑅, 𝑆⟩))
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		eqid 2761	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		fuco23alem.o	. 2 ⊢ · = (comp‘𝐸)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
8		fuco23a.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨𝑀, 𝑁⟩))
9	7, 8	natrcl2 49809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
10	6, 3, 9	funcf1 17882	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
11		fuco23a.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12	10, 11	ffvelcdmd 7062	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
13	7, 8	natrcl3 49810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀(𝐶 Func 𝐷)𝑁)
14	6, 3, 13	funcf1 17882	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15	14, 11	ffvelcdmd 7062	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
16	7, 8, 6, 4, 11	natcl 17972	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐷)(𝑀‘𝑋)))
17	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 16	nati 17974	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘(𝑀‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝐾‘(𝑀‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(((𝐹‘𝑋)𝐿(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))) = ((((𝐹‘𝑋)𝑆(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝑅‘(𝐹‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(𝐵‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4587  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  Hom chom 17280  compcco 17281   Nat cnat 17960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-map 8805  df-ixp 8876  df-func 17874  df-nat 17962

This theorem is referenced by:  fuco23a  49937  fucoco  49942