Theorem fuco23alem 49848

Description: The naturality property (nati 17923) in category 𝐸. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco23a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨𝑀, 𝑁⟩))
fuco23a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (⟨𝐾, 𝐿⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨𝑅, 𝑆⟩))
fuco23a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
fuco23alem.o	⊢ · = (comp‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fuco23alem	⊢ (𝜑 → ((𝐵‘(𝑀‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝐾‘(𝑀‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(((𝐹‘𝑋)𝐿(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))) = ((((𝐹‘𝑋)𝑆(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝑅‘(𝐹‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(𝐵‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco23alem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
2		fuco23a.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (⟨𝐾, 𝐿⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨𝑅, 𝑆⟩))
3		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		eqid 2740	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		fuco23alem.o	. 2 ⊢ · = (comp‘𝐸)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
8		fuco23a.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨𝑀, 𝑁⟩))
9	7, 8	natrcl2 49721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
10	6, 3, 9	funcf1 17831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
11		fuco23a.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12	10, 11	ffvelcdmd 7033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
13	7, 8	natrcl3 49722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀(𝐶 Func 𝐷)𝑁)
14	6, 3, 13	funcf1 17831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15	14, 11	ffvelcdmd 7033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
16	7, 8, 6, 4, 11	natcl 17921	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐷)(𝑀‘𝑋)))
17	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 16	nati 17923	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘(𝑀‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝐾‘(𝑀‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(((𝐹‘𝑋)𝐿(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))) = ((((𝐹‘𝑋)𝑆(𝑀‘𝑋))‘(𝐴‘𝑋))(⟨(𝐾‘(𝐹‘𝑋)), (𝑅‘(𝐹‘𝑋))⟩ · (𝑅‘(𝑀‘𝑋)))(𝐵‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  Hom chom 17229  compcco 17230   Nat cnat 17909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-map 8772  df-ixp 8843  df-func 17823  df-nat 17911

This theorem is referenced by:  fuco23a  49849  fucoco  49854