Theorem natrcl2 49349

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl2.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natrcl2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))

Assertion

Ref	Expression
natrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Proof of Theorem natrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
2		natrcl2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
3	2	natrcl 17862	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
5	4	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6		df-br 5094	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7	5, 6	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352   Func cfunc 17763   Nat cnat 17853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-ixp 8828  df-func 17767  df-nat 17855

This theorem is referenced by:  natoppf  49354  fuco22  49464  fuco22natlem1  49467  fuco22natlem2  49468  fuco22natlem3  49469  fuco22natlem  49470  fuco23alem  49476  fucolid  49486  fucorid  49487  diag2f1olem  49661  funcsn  49666  coccl  49787  coccom  49789