Theorem natrcl2 49213

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl2.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natrcl2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))

Assertion

Ref	Expression
natrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Proof of Theorem natrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
2		natrcl2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
3	2	natrcl 17915	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
5	4	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6		df-br 5108	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7	5, 6	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   Func cfunc 17816   Nat cnat 17906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-ixp 8871  df-func 17820  df-nat 17908

This theorem is referenced by:  natoppf  49218  fuco22  49328  fuco22natlem1  49331  fuco22natlem2  49332  fuco22natlem3  49333  fuco22natlem  49334  fuco23alem  49340  fucolid  49350  fucorid  49351  diag2f1olem  49525  funcsn  49530  coccl  49651  coccom  49653