Theorem natrcl2 49128

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl2.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natrcl2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))

Assertion

Ref	Expression
natrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Proof of Theorem natrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
2		natrcl2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
3	2	natrcl 17921	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
5	4	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6		df-br 5116	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7	5, 6	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4603   class class class wbr 5115  (class class class)co 7394   Func cfunc 17822   Nat cnat 17912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-ixp 8875  df-func 17826  df-nat 17914

This theorem is referenced by:  fuco22  49234  fuco22natlem1  49237  fuco22natlem2  49238  fuco22natlem3  49239  fuco22natlem  49240  fuco23alem  49246  fucolid  49256  fucorid  49257  diag2f1olem  49414  funcsn  49419  coccl  49533  coccom  49535