Theorem natrcl2 50035

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl2.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natrcl2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))

Assertion

Ref	Expression
natrcl2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Proof of Theorem natrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
2		natrcl2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
3	2	natrcl 18028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
5	4	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6		df-br 5112	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7	5, 6	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416   Func cfunc 17929   Nat cnat 18019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-ixp 8898  df-func 17933  df-nat 18021

This theorem is used by:  natoppf  50040  fuco22  50150  fuco22natlem1  50153  fuco22natlem2  50154  fuco22natlem3  50155  fuco22natlem  50156  fuco23alem  50162  fucolid  50172  fucorid  50173  diag2f1olem  50347  funcsn  50352  coccl  50473  coccom  50475