MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nati Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nati 17847
Description: Naturality property of a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natrcl.1 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
natixp.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ๐‘โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ))
natixp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
nati.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
nati.o ยท = (compโ€˜๐ท)
nati.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
nati.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
nati.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
Assertion
Ref Expression
nati (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘Œ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))((๐‘‹๐บ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)) = (((๐‘‹๐ฟ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))(๐ดโ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem nati
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natixp.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ๐‘โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ))
2 natrcl.1 . . . . 5 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
3 natixp.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 nati.h . . . . 5 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
5 eqid 2733 . . . . 5 (Hom โ€˜๐ท) = (Hom โ€˜๐ท)
6 nati.o . . . . 5 ยท = (compโ€˜๐ท)
72natrcl 17842 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ๐‘โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) โ†’ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
98simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
10 df-br 5107 . . . . . 6 (๐น(๐ถ Func ๐ท)๐บ โ†” โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
119, 10sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น(๐ถ Func ๐ท)๐บ)
128simprd 497 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
13 df-br 5107 . . . . . 6 (๐พ(๐ถ Func ๐ท)๐ฟ โ†” โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
1412, 13sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ(๐ถ Func ๐ท)๐ฟ)
152, 3, 4, 5, 6, 11, 14isnat 17839 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ๐‘โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) โ†” (๐ด โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐ท)(๐พโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)) = (((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)))))
161, 15mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐ท)(๐พโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)) = (((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ))))
1716simprd 497 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)) = (((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)))
18 nati.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
19 nati.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2019adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
21 nati.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
2221ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
23 simplr 768 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
24 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
2523, 24oveq12d 7376 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
2622, 25eleqtrrd 2837 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
27 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
2827fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘‹))
29 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
3029fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘Œ))
3128, 30opeq12d 4839 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ)
3229fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (๐พโ€˜๐‘ฆ) = (๐พโ€˜๐‘Œ))
3331, 32oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ)))
3429fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘ฆ) = (๐ดโ€˜๐‘Œ))
3527, 29oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) = (๐‘‹๐บ๐‘Œ))
36 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ ๐‘“ = ๐‘…)
3735, 36fveq12d 6850 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“) = ((๐‘‹๐บ๐‘Œ)โ€˜๐‘…))
3833, 34, 37oveq123d 7379 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)) = ((๐ดโ€˜๐‘Œ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))((๐‘‹๐บ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)))
3927fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (๐พโ€˜๐‘ฅ) = (๐พโ€˜๐‘‹))
4028, 39opeq12d 4839 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ)
4140, 32oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ)))
4227, 29oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ) = (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ))
4342, 36fveq12d 6850 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ ((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“) = ((๐‘‹๐ฟ๐‘Œ)โ€˜๐‘…))
4427fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (๐ดโ€˜๐‘‹))
4541, 43, 44oveq123d 7379 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)) = (((๐‘‹๐ฟ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))(๐ดโ€˜๐‘‹)))
4638, 45eqeq12d 2749 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘“ = ๐‘…) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)) = (((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐ดโ€˜๐‘Œ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))((๐‘‹๐บ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)) = (((๐‘‹๐ฟ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))(๐ดโ€˜๐‘‹))))
4726, 46rspcdv 3572 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)) = (((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘Œ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))((๐‘‹๐บ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)) = (((๐‘‹๐ฟ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))(๐ดโ€˜๐‘‹))))
4820, 47rspcimdv 3570 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)) = (((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘Œ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))((๐‘‹๐บ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)) = (((๐‘‹๐ฟ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))(๐ดโ€˜๐‘‹))))
4918, 48rspcimdv 3570 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)) = (((๐‘ฅ๐ฟ๐‘ฆ)โ€˜๐‘“)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐พโ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘Œ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))((๐‘‹๐บ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)) = (((๐‘‹๐ฟ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))(๐ดโ€˜๐‘‹))))
5017, 49mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘Œ)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐นโ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))((๐‘‹๐บ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)) = (((๐‘‹๐ฟ๐‘Œ)โ€˜๐‘…)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘‹), (๐พโ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท (๐พโ€˜๐‘Œ))(๐ดโ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โŸจcop 4593   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  Basecbs 17088  Hom chom 17149  compcco 17150   Func cfunc 17745   Nat cnat 17833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-ixp 8839  df-func 17749  df-nat 17835
This theorem is referenced by:  fuccocl  17858  invfuc  17868  evlfcllem  18115  yonedalem3b  18173  yonedainv  18175
  Copyright terms: Public domain W3C validator