Theorem natcl 17901

Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
natcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

Proof of Theorem natcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natixp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
3		natixp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		natixp.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	natixp 17900	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)))
6		natcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		fveq2 6889	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
8		fveq2 6889	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑋))
9	7, 8	oveq12d 7424	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
10	9	fvixp 8893	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
11	5, 6, 10	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4634  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Xcixp 8888  Basecbs 17141  Hom chom 17205   Nat cnat 17889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-ixp 8889  df-func 17805  df-nat 17891

This theorem is referenced by:  fuccocl  17914  fuclid  17916  fucrid  17917  fucass  17918  fucsect  17922  invfuc  17924  fucpropd  17927  evlfcllem  18171  evlfcl  18172  curfuncf  18188  yonedalem3a  18224  yonedalem3b  18229  yonedainv  18231  yonffthlem  18232