MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  natcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natcl 18008
Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natrcl.1 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2 (𝜑𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺𝑁𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
natcl (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))

Proof of Theorem natcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natrcl.1 . . 3 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2 natixp.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺𝑁𝐾, 𝐿⟩))
3 natixp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 natixp.j . . 3 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
51, 2, 3, 4natixp 18007 . 2 (𝜑𝐴X𝑥𝐵 ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)))
6 natcl.1 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
7 fveq2 6907 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
8 fveq2 6907 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾𝑥) = (𝐾𝑋))
97, 8oveq12d 7449 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)) = ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
109fvixp 8941 . 2 ((𝐴X𝑥𝐵 ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
115, 6, 10syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  Xcixp 8936  Basecbs 17245  Hom chom 17309   Nat cnat 17996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-ixp 8937  df-func 17909  df-nat 17998
This theorem is referenced by:  fuccocl  18021  fuclid  18023  fucrid  18024  fucass  18025  fucsect  18029  invfuc  18031  fucpropd  18034  evlfcllem  18278  evlfcl  18279  curfuncf  18295  yonedalem3a  18331  yonedalem3b  18336  yonedainv  18338  yonffthlem  18339
  Copyright terms: Public domain W3C validator