Theorem natcl 18030

Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
natcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

Proof of Theorem natcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natixp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
3		natixp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		natixp.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	natixp 18029	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)))
6		natcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
8		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑋))
9	7, 8	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
10	9	fvixp 8902	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
11	5, 6, 10	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Xcixp 8897  Basecbs 17286  Hom chom 17338   Nat cnat 18018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-ixp 8898  df-func 17932  df-nat 18020

This theorem is used by:  fuccocl  18041  fuclid  18043  fucrid  18044  fucass  18045  fucsect  18049  invfuc  18051  fucpropd  18054  evlfcllem  18294  evlfcl  18295  curfuncf  18311  yonedalem3a  18347  yonedalem3b  18352  yonedainv  18354  yonffthlem  18355  natoppf  50040  fuco22natlem1  50153  fuco22natlem2  50154  fuco22natlem  50156  fuco23alem  50162  fucocolem1  50164  fucocolem3  50166  fucoco  50168  fucolid  50172  fucorid  50173  precofvalALT  50179  diag2f1olem  50347  funcsn  50352  concl  50472  coccl  50473