MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  natcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natcl 17845
Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natrcl.1 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2 (𝜑𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺𝑁𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
natcl (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))

Proof of Theorem natcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natrcl.1 . . 3 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2 natixp.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺𝑁𝐾, 𝐿⟩))
3 natixp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 natixp.j . . 3 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
51, 2, 3, 4natixp 17844 . 2 (𝜑𝐴X𝑥𝐵 ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)))
6 natcl.1 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
7 fveq2 6843 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
8 fveq2 6843 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾𝑥) = (𝐾𝑋))
97, 8oveq12d 7376 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)) = ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
109fvixp 8843 . 2 ((𝐴X𝑥𝐵 ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
115, 6, 10syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4593  cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  Basecbs 17088  Hom chom 17149   Nat cnat 17833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-ixp 8839  df-func 17749  df-nat 17835
This theorem is referenced by:  fuccocl  17858  fuclid  17860  fucrid  17861  fucass  17862  fucsect  17866  invfuc  17868  fucpropd  17871  evlfcllem  18115  evlfcl  18116  curfuncf  18132  yonedalem3a  18168  yonedalem3b  18173  yonedainv  18175  yonffthlem  18176
  Copyright terms: Public domain W3C validator