Theorem natcl 18021

Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
natcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

Proof of Theorem natcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natixp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
3		natixp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		natixp.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	natixp 18020	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)))
6		natcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
8		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑋))
9	7, 8	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
10	9	fvixp 8960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
11	5, 6, 10	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Xcixp 8955  Basecbs 17258  Hom chom 17322   Nat cnat 18009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-ixp 8956  df-func 17922  df-nat 18011

This theorem is referenced by:  fuccocl  18034  fuclid  18036  fucrid  18037  fucass  18038  fucsect  18042  invfuc  18044  fucpropd  18047  evlfcllem  18291  evlfcl  18292  curfuncf  18308  yonedalem3a  18344  yonedalem3b  18349  yonedainv  18351  yonffthlem  18352