Theorem natcl 18181

Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
natcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

Proof of Theorem natcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natixp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
3		natixp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		natixp.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	natixp 18180	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)))
6		natcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
8		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑋))
9	7, 8	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
10	9	fvixp 8968	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
11	5, 6, 10	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Xcixp 8963  Basecbs 17431  Hom chom 17483   Nat cnat 18169

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-ixp 8964  df-func 18083  df-nat 18171

This theorem is used by:  fuccocl  18192  fuclid  18194  fucrid  18195  fucass  18196  fucsect  18200  invfuc  18202  fucpropd  18205  evlfcllem  18445  evlfcl  18446  curfuncf  18462  yonedalem3a  18498  yonedalem3b  18503  yonedainv  18505  yonffthlem  18506  natoppf  50682  fuco22natlem1  50795  fuco22natlem2  50796  fuco22natlem  50798  fuco23alem  50804  fucocolem1  50806  fucocolem3  50808  fucoco  50810  fucolid  50814  fucorid  50815  precofvalALT  50834  diag2f1olem  51005  funcsn  51010  concl  51175  coccl  51176