MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  natcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natcl 17901
Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natrcl.1 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2 (𝜑𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺𝑁𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
natcl (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))

Proof of Theorem natcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natrcl.1 . . 3 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2 natixp.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺𝑁𝐾, 𝐿⟩))
3 natixp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 natixp.j . . 3 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
51, 2, 3, 4natixp 17900 . 2 (𝜑𝐴X𝑥𝐵 ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)))
6 natcl.1 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
7 fveq2 6889 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
8 fveq2 6889 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾𝑥) = (𝐾𝑋))
97, 8oveq12d 7424 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)) = ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
109fvixp 8893 . 2 ((𝐴X𝑥𝐵 ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
115, 6, 10syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4634  cfv 6541  (class class class)co 7406  Xcixp 8888  Basecbs 17141  Hom chom 17205   Nat cnat 17889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-ixp 8889  df-func 17805  df-nat 17891
This theorem is referenced by:  fuccocl  17914  fuclid  17916  fucrid  17917  fucass  17918  fucsect  17922  invfuc  17924  fucpropd  17927  evlfcllem  18171  evlfcl  18172  curfuncf  18188  yonedalem3a  18224  yonedalem3b  18229  yonedainv  18231  yonffthlem  18232
  Copyright terms: Public domain W3C validator