Theorem natcl 17923

Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
natcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

Proof of Theorem natcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natixp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
3		natixp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		natixp.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	natixp 17922	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)))
6		natcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
8		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑋))
9	7, 8	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
10	9	fvixp 8850	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐾‘𝑥)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))
11	5, 6, 10	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐾‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Xcixp 8845  Basecbs 17179  Hom chom 17231   Nat cnat 17911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-ixp 8846  df-func 17825  df-nat 17913

This theorem is referenced by:  fuccocl  17934  fuclid  17936  fucrid  17937  fucass  17938  fucsect  17942  invfuc  17944  fucpropd  17947  evlfcllem  18187  evlfcl  18188  curfuncf  18204  yonedalem3a  18240  yonedalem3b  18245  yonedainv  18247  yonffthlem  18248  natoppf  49704  fuco22natlem1  49817  fuco22natlem2  49818  fuco22natlem  49820  fuco23alem  49826  fucocolem1  49828  fucocolem3  49830  fucoco  49832  fucolid  49836  fucorid  49837  precofvalALT  49843  diag2f1olem  50011  funcsn  50016  concl  50136  coccl  50137