Theorem natrcl3 50434

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl2.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natrcl2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))

Assertion

Ref	Expression
natrcl3	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐶 Func 𝐷)𝐿)

Proof of Theorem natrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
2		natrcl2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
3	2	natrcl 18133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
5	4	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6		df-br 5103	. 2 ⊢ (𝐾(𝐶 Func 𝐷)𝐿 ↔ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7	5, 6	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐶 Func 𝐷)𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420   Func cfunc 18034   Nat cnat 18124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-ixp 8929  df-func 18038  df-nat 18126

This theorem is used by:  natoppf  50444  fuco22  50554  fuco22natlem1  50557  fuco22natlem2  50558  fuco22natlem3  50559  fuco22natlem  50560  fuco23alem  50566  fucolid  50576  fucorid  50577  funcsn  50772  concl  50937  concom  50939