Theorem ghmfghm 20049

Description: The function fulfilling the conditions of ghmgrp 19281 is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmabl.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmabl.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmabl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
ghmfghm.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
ghmfghm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmfghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		ghmabl.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
3		ghmabl.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ghmabl.q	. 2 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
5		ghmfghm.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		ghmabl.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
7		ghmabl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8	6, 1, 2, 3, 4, 7, 5	ghmgrp 19281	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
9		fof 6796	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	7, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	6	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11	isghmd 19444	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  Grpcgrp 19149   GrpHom cghm 19432

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8852  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-ghm 19433

This theorem is used by: (None)