Theorem ghmfghm 19821

Description: The function fulfilling the conditions of ghmgrp 19058 is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmabl.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmabl.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmabl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
ghmfghm.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
ghmfghm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmfghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		ghmabl.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
3		ghmabl.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ghmabl.q	. 2 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
5		ghmfghm.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		ghmabl.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
7		ghmabl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8	6, 1, 2, 3, 4, 7, 5	ghmgrp 19058	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
9		fof 6801	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	6	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11	isghmd 19217	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ⟶wf 6538  –onto→wfo 6540  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17230  +_gcplusg 17277  Grpcgrp 18925   GrpHom cghm 19204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fo 6548  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-map 8851  df-0g 17462  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-ghm 19205

This theorem is referenced by: (None)