MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmfghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmfghm 18633
Description: The function fulfilling the conditions of ghmgrp 17937 is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmabl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p + = (+g𝐺)
ghmabl.q = (+g𝐻)
ghmabl.f ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ghmabl.1 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
ghmfghm.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
ghmfghm (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmfghm
StepHypRef Expression
1 ghmabl.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 ghmabl.y . 2 𝑌 = (Base‘𝐻)
3 ghmabl.p . 2 + = (+g𝐺)
4 ghmabl.q . 2 = (+g𝐻)
5 ghmfghm.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
6 ghmabl.f . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
7 ghmabl.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
86, 1, 2, 3, 4, 7, 5ghmgrp 17937 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
9 fof 6368 . . 3 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
107, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
1163expb 1110 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
121, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11isghmd 18064 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wf 6133  ontowfo 6135  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  +gcplusg 16349  Grpcgrp 17820   GrpHom cghm 18052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-ghm 18053
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator