Theorem mulgsubdi 19862

Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdi.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdi.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdi	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		ablgrp 19818	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		mulgsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	7, 8	grpinvcl 19018	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		mulgsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	7, 11, 12	mulgdi 19859	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
15	7, 11, 8	mulginvcom 19130	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
16	5, 2, 6, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
17	16	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
18	14, 17	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
19		mulgsubdi.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
20	7, 12, 8, 19	grpsubval 19016	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
21	3, 6, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))))
23	7, 11	mulgcl 19122	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 3, 23	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	7, 11	mulgcl 19122	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
26	5, 2, 6, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
27	7, 12, 8, 19	grpsubval 19016	. . 3 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
28	24, 26, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
29	18, 22, 28	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℤcz 12611  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  -_gcsg 18966  ._gcmg 19098  Abelcabl 19814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-cmn 19815  df-abl 19816

This theorem is referenced by: (None)