Theorem mulgsubdi 19871

Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdi.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdi.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdi	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simpr1 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr2 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		ablgrp 19827	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		mulgsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	7, 8	grpinvcl 19027	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		mulgsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	7, 11, 12	mulgdi 19868	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
15	7, 11, 8	mulginvcom 19139	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
16	5, 2, 6, 15	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
17	16	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
18	14, 17	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
19		mulgsubdi.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
20	7, 12, 8, 19	grpsubval 19025	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
21	3, 6, 20	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7464	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))))
23	7, 11	mulgcl 19131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 3, 23	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	7, 11	mulgcl 19131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
26	5, 2, 6, 25	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
27	7, 12, 8, 19	grpsubval 19025	. . 3 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
28	24, 26, 27	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
29	18, 22, 28	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℤcz 12639  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  -_gcsg 18975  ._gcmg 19107  Abelcabl 19823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-cmn 19824  df-abl 19825

This theorem is referenced by: (None)