MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgsubdi 19739
Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgsubdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdi.t · = (.g𝐺)
mulgsubdi.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgsubdi ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr2 1192 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 ablgrp 19695 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
6 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
7 mulgsubdi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
97, 8grpinvcl 18907 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
105, 6, 9syl2anc 583 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 mulgsubdi.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
12 eqid 2724 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
137, 11, 12mulgdi 19736 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1369 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))))
157, 11, 8mulginvcom 19016 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
165, 2, 6, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
1716oveq2d 7417 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
1814, 17eqtrd 2764 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
19 mulgsubdi.d . . . . 5 = (-g𝐺)
207, 12, 8, 19grpsubval 18905 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
213, 6, 20syl2anc 583 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2221oveq2d 7417 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))))
237, 11mulgcl 19008 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
245, 2, 3, 23syl3anc 1368 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
257, 11mulgcl 19008 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
265, 2, 6, 25syl3anc 1368 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
277, 12, 8, 19grpsubval 18905 . . 3 (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
2824, 26, 27syl2anc 583 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
2918, 22, 283eqtr4d 2774 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6533  (class class class)co 7401  cz 12555  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Grpcgrp 18853  invgcminusg 18854  -gcsg 18855  .gcmg 18985  Abelcabl 19691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-cmn 19692  df-abl 19693
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator