Theorem mulgsubdi 19890

Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdi.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdi.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdi	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simpr1 1211	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr2 1212	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		ablgrp 19846	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simpr3 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		mulgsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	7, 8	grpinvcl 19044	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		mulgsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	7, 11, 12	mulgdi 19887	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl13anc 1395	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
15	7, 11, 8	mulginvcom 19156	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
16	5, 2, 6, 15	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
17	16	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
18	14, 17	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
19		mulgsubdi.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
20	7, 12, 8, 19	grpsubval 19042	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
21	3, 6, 20	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7416	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))))
23	7, 11	mulgcl 19148	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 3, 23	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	7, 11	mulgcl 19148	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
26	5, 2, 6, 25	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
27	7, 12, 8, 19	grpsubval 19042	. . 3 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
28	24, 26, 27	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
29	18, 22, 28	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℤcz 12582  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Grpcgrp 18990  inv_gcminusg 18991  -_gcsg 18992  ._gcmg 19124  Abelcabl 19842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-cmn 19843  df-abl 19844

This theorem is referenced by: (None)