Theorem mulgsubdi 20050

Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdi.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdi.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdi	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		ablgrp 20006	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		mulgsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	7, 8	grpinvcl 19205	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		mulgsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	7, 11, 12	mulgdi 20047	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
15	7, 11, 8	mulginvcom 19316	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
16	5, 2, 6, 15	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
17	16	oveq2d 7438	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
18	14, 17	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
19		mulgsubdi.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
20	7, 12, 8, 19	grpsubval 19203	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
21	3, 6, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7438	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))))
23	7, 11	mulgcl 19308	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 3, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	7, 11	mulgcl 19308	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
26	5, 2, 6, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
27	7, 12, 8, 19	grpsubval 19203	. . 3 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
28	24, 26, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
29	18, 22, 28	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℤcz 12698  Basecbs 17394  +_gcplusg 17435  Grpcgrp 19151  inv_gcminusg 19152  -_gcsg 19153  ._gcmg 19284  Abelcabl 20002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-mulg 19285  df-cmn 20003  df-abl 20004

This theorem is used by: (None)