MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgsubdi 18675
Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgsubdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdi.t · = (.g𝐺)
mulgsubdi.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgsubdi ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2 simpr1 1187 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr2 1188 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 ablgrp 18638 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
6 simpr3 1189 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
7 mulgsubdi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2795 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
97, 8grpinvcl 17908 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
105, 6, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 mulgsubdi.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
12 eqid 2795 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
137, 11, 12mulgdi 18672 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1365 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))))
157, 11, 8mulginvcom 18006 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
165, 2, 6, 15syl3anc 1364 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
1716oveq2d 7032 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
1814, 17eqtrd 2831 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
19 mulgsubdi.d . . . . 5 = (-g𝐺)
207, 12, 8, 19grpsubval 17906 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
213, 6, 20syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2221oveq2d 7032 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))))
237, 11mulgcl 18000 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
245, 2, 3, 23syl3anc 1364 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
257, 11mulgcl 18000 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
265, 2, 6, 25syl3anc 1364 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
277, 12, 8, 19grpsubval 17906 . . 3 (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
2824, 26, 27syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
2918, 22, 283eqtr4d 2841 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  cfv 6225  (class class class)co 7016  cz 11829  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  Grpcgrp 17861  invgcminusg 17862  -gcsg 17863  .gcmg 17981  Abelcabl 18634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-cmn 18635  df-abl 18636
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator