MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgsubdi 19749
Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgsubdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgsubdi.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgsubdi.d โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgsubdi ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
2 simpr1 1191 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 simpr2 1192 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4 ablgrp 19705 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
54adantr 480 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
6 simpr3 1193 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
7 mulgsubdi.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
97, 8grpinvcl 18917 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
105, 6, 9syl2anc 583 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
11 mulgsubdi.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
12 eqid 2726 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
137, 11, 12mulgdi 19746 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1369 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))))
157, 11, 8mulginvcom 19026 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
165, 2, 6, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
1716oveq2d 7421 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
1814, 17eqtrd 2766 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
19 mulgsubdi.d . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
207, 12, 8, 19grpsubval 18915 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)))
213, 6, 20syl2anc 583 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)))
2221oveq2d 7421 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = (๐‘€ ยท (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))))
237, 11mulgcl 19018 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
245, 2, 3, 23syl3anc 1368 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
257, 11mulgcl 19018 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
265, 2, 6, 25syl3anc 1368 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
277, 12, 8, 19grpsubval 18915 . . 3 (((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
2824, 26, 27syl2anc 583 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
2918, 22, 283eqtr4d 2776 1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„คcz 12562  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  -gcsg 18865  .gcmg 18995  Abelcabl 19701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-cmn 19702  df-abl 19703
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator