MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgsubdi 19615
Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgsubdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgsubdi.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgsubdi.d โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgsubdi ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
2 simpr1 1195 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 simpr2 1196 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4 ablgrp 19574 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
54adantr 482 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
6 simpr3 1197 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
7 mulgsubdi.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
97, 8grpinvcl 18805 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
105, 6, 9syl2anc 585 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
11 mulgsubdi.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
12 eqid 2737 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
137, 11, 12mulgdi 19612 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1373 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))))
157, 11, 8mulginvcom 18908 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
165, 2, 6, 15syl3anc 1372 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
1716oveq2d 7378 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
1814, 17eqtrd 2777 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
19 mulgsubdi.d . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
207, 12, 8, 19grpsubval 18803 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)))
213, 6, 20syl2anc 585 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)))
2221oveq2d 7378 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = (๐‘€ ยท (๐‘‹(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))))
237, 11mulgcl 18900 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
245, 2, 3, 23syl3anc 1372 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
257, 11mulgcl 18900 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
265, 2, 6, 25syl3anc 1372 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
277, 12, 8, 19grpsubval 18803 . . 3 (((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
2824, 26, 27syl2anc 585 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
2918, 22, 283eqtr4d 2787 1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„คcz 12506  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  -gcsg 18757  .gcmg 18879  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator