Theorem gricgrlic 49210

Description: Isomorphic hypergraphs are locally isomorphic. (Contributed by AV, 12-Jun-2025.) (Proof shortened by AV, 11-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricgrlic	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))

Proof of Theorem gricgrlic

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 49104	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 ↔ (𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅)
2		n0 4299	. . . 4 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
3		uhgrimgrlim 49179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → 𝑖 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻))
4		brgrilci 49197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
6	5	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
7	6	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
8	7	exlimiv 1962	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
9	2, 8	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅ → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
10	1, 9	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
11	10	com12 33	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  UHGraphcuhgr 29640   GraphIso cgrim 49067   ≃_𝑔𝑟 cgric 49068   GraphLocIso cgrlim 49168   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 49169

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-1o 8480  df-map 8853  df-vtx 29582  df-iedg 29583  df-edg 29632  df-uhgr 29642  df-clnbgr 49011  df-isubgr 49053  df-grim 49070  df-gric 49073  df-grlim 49170  df-grlic 49173

This theorem is used by: (None)