Theorem gricgrlic 48816

Description: Isomorphic hypergraphs are locally isomorphic. (Contributed by AV, 12-Jun-2025.) (Proof shortened by AV, 11-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricgrlic	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))

Proof of Theorem gricgrlic

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48710	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 ↔ (𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅)
2		n0 4307	. . . 4 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
3		uhgrimgrlim 48785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → 𝑖 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻))
4		brgrilci 48803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
6	5	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
7	6	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
8	7	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
9	2, 8	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅ → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
10	1, 9	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
11	10	com12 33	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  UHGraphcuhgr 29437   GraphIso cgrim 48673   ≃_𝑔𝑟 cgric 48674   GraphLocIso cgrlim 48774   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 48775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8455  df-map 8828  df-vtx 29379  df-iedg 29380  df-edg 29429  df-uhgr 29439  df-clnbgr 48617  df-isubgr 48659  df-grim 48676  df-gric 48679  df-grlim 48776  df-grlic 48779

This theorem is used by: (None)