Theorem gricgrlic 47544

Description: Isomorphic hypergraphs are locally isomorphic. (Contributed by AV, 12-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricgrlic	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))

Proof of Theorem gricgrlic

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 47496	. . . 4 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 ↔ (𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅)
2	1	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → (𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅)
3		n0 4346	. . . 4 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
4		simp3l 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
5		simp3r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph)) → 𝐻 ∈ UHGraph)
6		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph)) → 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
7		uhgrimgrlim 47529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → 𝑖 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph)) → 𝑖 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻))
9		brgrilci 47531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph)) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
11	10	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)))
12	11	exlimiv 1926	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 𝑖 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)))
13	3, 12	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝐻) ≠ ∅ → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)))
14	2, 13	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
15	14	com12 32	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∅c0 4322   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  UHGraphcuhgr 28989   GraphIso cgrim 47476   ≃_𝑔𝑟 cgric 47477   GraphLocIso cgrlim 47518   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 47519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-1o 8488  df-map 8849  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-uhgr 28991  df-clnbgr 47427  df-isubgr 47464  df-grim 47479  df-gric 47482  df-grlim 47520  df-grlic 47523

This theorem is referenced by: (None)