Theorem grpsubrcan 18949

Description: Right cancellation law for group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubrcan	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubrcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubcl.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18915	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)))
6	5	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)))
7	1, 2, 3, 4	grpsubval 18915	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)))
8	7	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)))
9	6, 8	eqeq12d 2742	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍))))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍))))
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
12		simpr1 1191	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simpr2 1192	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3	grpinvcl 18917	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15	14	3ad2antr3 1187	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
16	1, 2	grprcan 18903	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
17	11, 12, 13, 15, 16	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	10, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  -_gcsg 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868

This theorem is referenced by:  abladdsub4  19731  ogrpsublt  32745