Theorem grpsubrcan 19039

Description: Right cancellation law for group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubrcan	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubrcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubcl.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 19003	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)))
6	5	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)))
7	1, 2, 3, 4	grpsubval 19003	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)))
8	7	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)))
9	6, 8	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍))))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍))))
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
12		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3	grpinvcl 19005	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15	14	3ad2antr3 1191	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
16	1, 2	grprcan 18991	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
17	11, 12, 13, 15, 16	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	10, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  -_gcsg 18953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956

This theorem is referenced by:  abladdsub4  19829  ogrpsublt  33098