Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubval 18144
 Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p + = (+g𝐺)
grpsubval.i 𝐼 = (invg𝐺)
grpsubval.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubval ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7142 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼𝑦)) = (𝑋 + (𝐼𝑦)))
2 fveq2 6645 . . 3 (𝑦 = 𝑌 → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑌))
32oveq2d 7151 . 2 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼𝑦)) = (𝑋 + (𝐼𝑌)))
4 grpsubval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 grpsubval.p . . 3 + = (+g𝐺)
6 grpsubval.i . . 3 𝐼 = (invg𝐺)
7 grpsubval.m . . 3 = (-g𝐺)
84, 5, 6, 7grpsubfval 18142 . 2 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼𝑦)))
9 ovex 7168 . 2 (𝑋 + (𝐼𝑌)) ∈ V
101, 3, 8, 9ovmpo 7290 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + (𝐼𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  invgcminusg 18098  -gcsg 18099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-sbg 18102 This theorem is referenced by:  grpsubinv  18167  grpsubrcan  18175  grpinvsub  18176  grpinvval2  18177  grpsubid  18178  grpsubid1  18179  grpsubeq0  18180  grpsubadd0sub  18181  grpsubadd  18182  grpsubsub  18183  grpaddsubass  18184  grpnpcan  18186  pwssub  18208  mulgsubdir  18262  subgsubcl  18285  subgsub  18286  issubg4  18293  qussub  18335  ghmsub  18361  sylow2blem1  18740  lsmelvalm  18771  ablsub2inv  18927  ablsub4  18929  ablsubsub4  18935  mulgsubdi  18946  eqgabl  18951  gsumsub  19064  dprdfsub  19139  ringsubdi  19348  rngsubdir  19349  abvsubtri  19602  lmodvsubval2  19685  lmodsubdir  19688  lspsntrim  19866  cnfldsub  20122  m2detleiblem7  21239  chpscmatgsumbin  21456  tgpconncomp  22725  tsmssub  22761  tsmsxplem1  22765  isngp4  23225  ngpsubcan  23227  ngptgp  23249  tngngp3  23269  clmpm1dir  23715  cphipval  23854  deg1suble  24715  deg1sub  24716  dchr2sum  25864  ogrpsub  30774  symgsubg  30788  cycpmconjv  30841  archiabllem2c  30881  linds2eq  31002  lflsub  36379  ldualvsubval  36469  lcdvsubval  38930  baerlem3lem1  39019  baerlem5alem1  39020  baerlem5amN  39028  baerlem5bmN  39029  baerlem5abmN  39030  hdmapsub  39159  nelsubgsubcld  39441
 Copyright terms: Public domain W3C validator