Theorem grpsubval 19004

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7439	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6905	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 7448	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 19002	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 7465	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpo 7594	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  inv_gcminusg 18953  -_gcsg 18954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-sbg 18957

This theorem is referenced by:  grpsubinv  19031  grpsubrcan  19040  grpinvsub  19041  grpinvval2  19042  grpsubid  19043  grpsubid1  19044  grpsubeq0  19045  grpsubadd0sub  19046  grpsubadd  19047  grpsubsub  19048  grpaddsubass  19049  grpnpcan  19051  pwssub  19073  mulgsubdir  19133  subgsubcl  19156  subgsub  19157  issubg4  19164  qussub  19210  ghmsub  19243  sylow2blem1  19639  lsmelvalm  19670  ablsub2inv  19827  ablsub4  19829  ablsubsub4  19837  mulgsubdi  19848  eqgabl  19853  gsumsub  19967  dprdfsub  20042  rngsubdi  20169  rngsubdir  20170  abvsubtri  20829  lmodvsubval2  20916  lmodsubdir  20919  lspsntrim  21098  cnfldsub  21411  m2detleiblem7  22634  chpscmatgsumbin  22851  tgpconncomp  24122  tsmssub  24158  tsmsxplem1  24162  isngp4  24626  ngpsubcan  24628  ngptgp  24650  tngngp3  24678  clmpm1dir  25137  cphipval  25278  deg1suble  26147  deg1sub  26148  dchr2sum  27318  ogrpsub  33094  symgsubg  33108  cycpmconjv  33163  archiabllem2c  33203  linds2eq  33410  ressply1sub  33596  r1padd1  33629  ply1divalg3  35648  lflsub  39069  ldualvsubval  39159  lcdvsubval  41621  baerlem3lem1  41710  baerlem5alem1  41711  baerlem5amN  41719  baerlem5bmN  41720  baerlem5abmN  41721  hdmapsub  41850  nelsubgsubcld  42513