Theorem grpsubval 17906

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7023	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6538	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 7032	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 17904	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 7048	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpo 7166	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +_gcplusg 16394  inv_gcminusg 17862  -_gcsg 17863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-sbg 17866

This theorem is referenced by:  grpsubinv  17929  grpsubrcan  17937  grpinvsub  17938  grpinvval2  17939  grpsubid  17940  grpsubid1  17941  grpsubeq0  17942  grpsubadd0sub  17943  grpsubadd  17944  grpsubsub  17945  grpaddsubass  17946  grpnpcan  17948  pwssub  17970  mulgsubdir  18021  subgsubcl  18044  subgsub  18045  issubg4  18052  qussub  18093  ghmsub  18107  sylow2blem1  18475  lsmelvalm  18506  ablsub2inv  18656  ablsub4  18658  ablsubsub4  18664  mulgsubdi  18675  eqgabl  18680  gsumsub  18788  dprdfsub  18860  ringsubdi  19039  rngsubdir  19040  abvsubtri  19296  lmodvsubval2  19379  lmodsubdir  19382  lspsntrim  19560  cnfldsub  20255  m2detleiblem7  20920  chpscmatgsumbin  21136  tgpconncomp  22404  tsmssub  22440  tsmsxplem1  22444  isngp4  22904  ngpsubcan  22906  ngptgp  22928  tngngp3  22948  clmpm1dir  23390  cphipval  23529  deg1suble  24384  deg1sub  24385  dchr2sum  25531  ogrpsub  30377  symgsubg  30390  cycpmconjv  30421  archiabllem2c  30462  linds2eq  30587  lflsub  35734  ldualvsubval  35824  lcdvsubval  38285  baerlem3lem1  38374  baerlem5alem1  38375  baerlem5amN  38383  baerlem5bmN  38384  baerlem5abmN  38385  hdmapsub  38514  nelsubgsubcld  38660