Theorem grpsubval 18961

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7374	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 7383	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 18959	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 7400	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpo 7527	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  inv_gcminusg 18910  -_gcsg 18911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-sbg 18914

This theorem is referenced by:  grpsubinv  18988  grpsubrcan  18997  grpinvsub  18998  grpinvval2  18999  grpsubid  19000  grpsubid1  19001  grpsubeq0  19002  grpsubadd0sub  19003  grpsubadd  19004  grpsubsub  19005  grpaddsubass  19006  grpnpcan  19008  pwssub  19030  mulgsubdir  19090  subgsubcl  19113  subgsub  19114  issubg4  19121  qussub  19166  ghmsub  19199  sylow2blem1  19595  lsmelvalm  19626  ablsub2inv  19783  ablsub4  19785  ablsubsub4  19793  mulgsubdi  19804  eqgabl  19809  gsumsub  19923  dprdfsub  19998  ogrpsub  20112  rngsubdi  20152  rngsubdir  20153  abvsubtri  20804  lmodvsubval2  20912  lmodsubdir  20915  lspsntrim  21093  cnfldsub  21380  m2detleiblem7  22592  chpscmatgsumbin  22809  tgpconncomp  24078  tsmssub  24114  tsmsxplem1  24118  isngp4  24577  ngpsubcan  24579  ngptgp  24601  tngngp3  24621  clmpm1dir  25070  cphipval  25210  deg1suble  26072  deg1sub  26073  dchr2sum  27236  symgsubg  33148  cycpmconjv  33203  archiabllem2c  33256  linds2eq  33441  ressply1sub  33630  r1padd1  33668  ply1divalg3  35824  lflsub  39513  ldualvsubval  39603  lcdvsubval  42064  baerlem3lem1  42153  baerlem5alem1  42154  baerlem5amN  42162  baerlem5bmN  42163  baerlem5abmN  42164  hdmapsub  42293  nelsubgsubcld  42943