Theorem grpsubval 19010

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7399	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6863	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 7408	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 19008	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 7425	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpo 7552	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  inv_gcminusg 18959  -_gcsg 18960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-sbg 18963

This theorem is referenced by:  grpsubinv  19037  grpsubrcan  19046  grpinvsub  19047  grpinvval2  19048  grpsubid  19049  grpsubid1  19050  grpsubeq0  19051  grpsubadd0sub  19052  grpsubadd  19053  grpsubsub  19054  grpaddsubass  19055  grpnpcan  19057  pwssub  19079  mulgsubdir  19139  subgsubcl  19162  subgsub  19163  issubg4  19170  qussub  19215  ghmsub  19247  sylow2blem1  19643  lsmelvalm  19674  ablsub2inv  19831  ablsub4  19833  ablsubsub4  19841  mulgsubdi  19852  eqgabl  19857  gsumsub  19971  dprdfsub  20046  ogrpsub  20160  rngsubdi  20200  rngsubdir  20201  abvsubtri  20856  lmodvsubval2  20964  lmodsubdir  20967  lspsntrim  21145  cnfldsub  21432  m2detleiblem7  22667  chpscmatgsumbin  22884  tgpconncomp  24153  tsmssub  24189  tsmsxplem1  24193  isngp4  24652  ngpsubcan  24654  ngptgp  24676  tngngp3  24696  clmpm1dir  25145  cphipval  25285  deg1suble  26147  deg1sub  26148  dchr2sum  27314  symgsubg  33228  cycpmconjv  33283  archiabllem2c  33336  linds2eq  33528  ressply1sub  33727  r1padd1  33765  ply1divalg3  35956  lflsub  39655  ldualvsubval  39745  lcdvsubval  42206  baerlem3lem1  42295  baerlem5alem1  42296  baerlem5amN  42304  baerlem5bmN  42305  baerlem5abmN  42306  hdmapsub  42435  nelsubgsubcld  43084