Theorem grpsubval 19115

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7424	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 7433	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 19113	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 7450	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpo 7577	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  inv_gcminusg 19064  -_gcsg 19065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-sbg 19068

This theorem is used by:  grpsubinv  19141  grpsubrcan  19150  grpinvsub  19151  grpinvval2  19152  grpsubid  19153  grpsubid1  19154  grpsubeq0  19155  grpsubadd0sub  19156  grpsubadd  19157  grpsubsub  19158  grpaddsubass  19159  grpnpcan  19161  pwssub  19183  mulgsubdir  19243  subgsubcl  19267  subgsub  19268  issubg4  19275  qussub  19325  ghmsub  19357  sylow2blem1  19753  lsmelvalm  19784  ablsub2inv  19941  ablsub4  19943  ablsubsub4  19951  mulgsubdi  19962  eqgabl  19967  gsumsub  20081  dprdfsub  20156  ogrpsub  20270  rngsubdi  20312  rngsubdir  20313  abvsubtri  20999  lmodvsubval2  21107  lmodsubdir  21110  lspsntrim  21288  cnfldsub  21619  m2detleiblem7  22855  chpscmatgsumbin  23075  tgpconncomp  24345  tsmssub  24381  tsmsxplem1  24385  isngp4  24844  ngpsubcan  24846  ngptgp  24868  tngngp3  24888  clmpm1dir  25337  cphipval  25477  deg1suble  26339  deg1sub  26340  dchr2sum  27517  symgsubg  33535  cycpmconjv  33590  archiabllem2c  33643  linds2eq  33822  ressply1sub  33988  r1padd1  34026  ply1divalg3  36229  lflsub  39948  ldualvsubval  40038  lcdvsubval  42499  baerlem3lem1  42588  baerlem5alem1  42589  baerlem5amN  42597  baerlem5bmN  42598  baerlem5abmN  42599  hdmapsub  42728  nelsubgsubcld  43394