Theorem grpsubval 18413

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7220	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6717	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 7229	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 18411	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 7246	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpo 7369	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  inv_gcminusg 18366  -_gcsg 18367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-sbg 18370

This theorem is referenced by:  grpsubinv  18436  grpsubrcan  18444  grpinvsub  18445  grpinvval2  18446  grpsubid  18447  grpsubid1  18448  grpsubeq0  18449  grpsubadd0sub  18450  grpsubadd  18451  grpsubsub  18452  grpaddsubass  18453  grpnpcan  18455  pwssub  18477  mulgsubdir  18531  subgsubcl  18554  subgsub  18555  issubg4  18562  qussub  18604  ghmsub  18630  sylow2blem1  19009  lsmelvalm  19040  ablsub2inv  19196  ablsub4  19198  ablsubsub4  19204  mulgsubdi  19215  eqgabl  19220  gsumsub  19333  dprdfsub  19408  ringsubdi  19617  rngsubdir  19618  abvsubtri  19871  lmodvsubval2  19954  lmodsubdir  19957  lspsntrim  20135  cnfldsub  20391  m2detleiblem7  21524  chpscmatgsumbin  21741  tgpconncomp  23010  tsmssub  23046  tsmsxplem1  23050  isngp4  23510  ngpsubcan  23512  ngptgp  23534  tngngp3  23554  clmpm1dir  24000  cphipval  24140  deg1suble  25005  deg1sub  25006  dchr2sum  26154  ogrpsub  31061  symgsubg  31075  cycpmconjv  31128  archiabllem2c  31168  linds2eq  31289  lflsub  36818  ldualvsubval  36908  lcdvsubval  39369  baerlem3lem1  39458  baerlem5alem1  39459  baerlem5amN  39467  baerlem5bmN  39468  baerlem5abmN  39469  hdmapsub  39598  nelsubgsubcld  39935