Theorem grpsubval 19053

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6883	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 19051	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 7445	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpo 7572	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  inv_gcminusg 19002  -_gcsg 19003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-sbg 19006

This theorem is referenced by:  grpsubinv  19079  grpsubrcan  19088  grpinvsub  19089  grpinvval2  19090  grpsubid  19091  grpsubid1  19092  grpsubeq0  19093  grpsubadd0sub  19094  grpsubadd  19095  grpsubsub  19096  grpaddsubass  19097  grpnpcan  19099  pwssub  19121  mulgsubdir  19181  subgsubcl  19205  subgsub  19206  issubg4  19213  qussub  19263  ghmsub  19295  sylow2blem1  19691  lsmelvalm  19722  ablsub2inv  19879  ablsub4  19881  ablsubsub4  19889  mulgsubdi  19900  eqgabl  19905  gsumsub  20019  dprdfsub  20094  ogrpsub  20208  rngsubdi  20250  rngsubdir  20251  abvsubtri  20911  lmodvsubval2  21019  lmodsubdir  21022  lspsntrim  21200  cnfldsub  21531  m2detleiblem7  22765  chpscmatgsumbin  22982  tgpconncomp  24251  tsmssub  24287  tsmsxplem1  24291  isngp4  24750  ngpsubcan  24752  ngptgp  24774  tngngp3  24794  clmpm1dir  25243  cphipval  25383  deg1suble  26245  deg1sub  26246  dchr2sum  27415  symgsubg  33385  cycpmconjv  33440  archiabllem2c  33493  linds2eq  33672  ressply1sub  33838  r1padd1  33876  ply1divalg3  36112  lflsub  39819  ldualvsubval  39909  lcdvsubval  42370  baerlem3lem1  42459  baerlem5alem1  42460  baerlem5amN  42468  baerlem5bmN  42469  baerlem5abmN  42470  hdmapsub  42599  nelsubgsubcld  43250