Theorem grpsubval 19201

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7427	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 19199	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 7453	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpo 7580	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  inv_gcminusg 19150  -_gcsg 19151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-sbg 19154

This theorem is used by:  grpsubinv  19227  grpsubrcan  19236  grpinvsub  19237  grpinvval2  19238  grpsubid  19239  grpsubid1  19240  grpsubeq0  19241  grpsubadd0sub  19242  grpsubadd  19243  grpsubsub  19244  grpaddsubass  19245  grpnpcan  19247  pwssub  19269  mulgsubdir  19329  subgsubcl  19353  subgsub  19354  issubg4  19361  qussub  19411  ghmsub  19443  sylow2blem1  19839  lsmelvalm  19870  ablsub2inv  20027  ablsub4  20029  ablsubsub4  20037  mulgsubdi  20048  eqgabl  20053  gsumsub  20167  dprdfsub  20242  ogrpsub  20356  rngsubdi  20398  rngsubdir  20399  abvsubtri  21089  lmodvsubval2  21197  lmodsubdir  21200  lspsntrim  21378  cnfldsub  21711  m2detleiblem7  22947  chpscmatgsumbin  23167  tgpconncomp  24437  tsmssub  24473  tsmsxplem1  24477  isngp4  24936  ngpsubcan  24938  ngptgp  24960  tngngp3  24980  clmpm1dir  25429  cphipval  25569  deg1suble  26430  deg1sub  26431  dchr2sum  27605  symgsubg  33694  cycpmconjv  33749  archiabllem2c  33802  linds2eq  33982  ressply1sub  34148  r1padd1  34186  ply1divalg3  36493  lflsub  40217  ldualvsubval  40307  lcdvsubval  42768  baerlem3lem1  42857  baerlem5alem1  42858  baerlem5amN  42866  baerlem5bmN  42867  baerlem5abmN  42868  hdmapsub  42997  nelsubgsubcld  43655