Theorem grpinvsub 18445

Description: Inverse of a group subtraction. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpinvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvsub	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Proof of Theorem grpinvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvsub.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 18415	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5, 2	grpinvadd 18441	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
7	4, 6	syld3an3 1411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
8	1, 2	grpinvinv 18430	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
9	8	3adant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
10	9	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
11	7, 10	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
12		grpsubcl.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13	1, 5, 2, 12	grpsubval 18413	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
14	13	3adant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
15	14	fveq2d 6721	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
16	1, 5, 2, 12	grpsubval 18413	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
17	16	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
18	17	3adant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
19	11, 15, 18	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  Grpcgrp 18365  inv_gcminusg 18366  -_gcsg 18367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370

This theorem is referenced by:  grpsubsub  18452  ablsub2inv  19196  lspsnsub  20044  ghmcnp  23012  nrmmetd  23472  nmsub  23521  mapdpglem14  39436