Theorem abladdsub4 19731

Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
abladdsub4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑍 + 𝑊) ↔ (𝑋 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑌)))

Proof of Theorem abladdsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 19705	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp2l 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp2r 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		ablsubadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpcl 18871	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
9		simp3l 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		simp3r 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	5, 6	grpcl 18871	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
13	5, 6	grpcl 18871	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
14	2, 9, 4, 13	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
15		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
16	5, 15	grpsubrcan 18949	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑍 + 𝑊)))
17	2, 8, 12, 14, 16	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑍 + 𝑊)))
18		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
19	5, 6, 15	ablsub4 19730	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑌)))
20	18, 3, 4, 9, 4, 19	syl122anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑌)))
21		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
22	5, 21, 15	grpsubid 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑌) = (0g‘𝐺))
23	2, 4, 22	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑌) = (0g‘𝐺))
24	23	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑍) + (0g‘𝐺)))
25	5, 15	grpsubcl 18948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
26	2, 3, 9, 25	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
27	5, 6, 21	grprid 18898	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑍) + (0g‘𝐺)) = (𝑋 − 𝑍))
28	2, 26, 27	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) + (0g‘𝐺)) = (𝑋 − 𝑍))
29	20, 24, 28	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = (𝑋 − 𝑍))
30	5, 6, 15	ablsub4 19730	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑍) + (𝑊 − 𝑌)))
31	18, 9, 10, 9, 4, 30	syl122anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑍) + (𝑊 − 𝑌)))
32	5, 21, 15	grpsubid 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 − 𝑍) = (0g‘𝐺))
33	2, 9, 32	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 − 𝑍) = (0g‘𝐺))
34	33	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑍) + (𝑊 − 𝑌)) = ((0g‘𝐺) + (𝑊 − 𝑌)))
35	5, 15	grpsubcl 18948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 − 𝑌) ∈ 𝐵)
36	2, 10, 4, 35	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑊 − 𝑌) ∈ 𝐵)
37	5, 6, 21	grplid 18897	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑊 − 𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑊 − 𝑌)) = (𝑊 − 𝑌))
38	2, 36, 37	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((0g‘𝐺) + (𝑊 − 𝑌)) = (𝑊 − 𝑌))
39	31, 34, 38	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) = (𝑊 − 𝑌))
40	29, 39	eqeq12d 2742	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) ↔ (𝑋 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑌)))
41	17, 40	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑍 + 𝑊) ↔ (𝑋 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  Abelcabl 19701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703

This theorem is referenced by:  lmodvaddsub4  20760