Theorem ogrpsublt 20357

Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpsublt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpsublt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpsublt.2	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpsublt	⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) < (𝑌 − 𝑍))

Proof of Theorem ogrpsublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
2		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ oGrp)
3		simp21 1225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp22 1226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐺) = (le‘𝐺)
6		ogrpsublt.1	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝐺)
7	5, 6	pltval 18505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐺)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐺)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
9	1, 8	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(le‘𝐺)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
10	9	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝐺)𝑌)
11		ogrpsublt.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12		ogrpsublt.2	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13	11, 5, 12	ogrpsub 20352	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐺)𝑌) → (𝑋 − 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 − 𝑍))
14	10, 13	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 − 𝑍))
15	9	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
16		ogrpgrp 20340	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
17	2, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
18		simp23 1227	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝐵)
19	11, 12	grpsubrcan 19232	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	17, 3, 4, 18, 19	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))
21	20	necon3bid 2999	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑋 − 𝑍) ≠ (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
22	15, 21	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) ≠ (𝑌 − 𝑍))
23	11, 12	grpsubcl 19231	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
24	17, 3, 18, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
25	11, 12	grpsubcl 19231	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
26	17, 4, 18, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
27	5, 6	pltval 18505	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑍) < (𝑌 − 𝑍) ↔ ((𝑋 − 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 − 𝑍) ∧ (𝑋 − 𝑍) ≠ (𝑌 − 𝑍))))
28	2, 24, 26, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑋 − 𝑍) < (𝑌 − 𝑍) ↔ ((𝑋 − 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 − 𝑍) ∧ (𝑋 − 𝑍) ≠ (𝑌 − 𝑍))))
29	14, 22, 28	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) < (𝑌 − 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  lecple 17436  ltcplt 18483  Grpcgrp 19145  -_gcsg 19147  oGrpcogrp 20335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-0g 17613  df-plt 18503  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-omnd 20336  df-ogrp 20337

This theorem is used by:  archiabllem1a  33795  archiabllem2a  33798  archiabllem2c  33799