Theorem ogrpsublt 31347

Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpsublt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpsublt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpsublt.2	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpsublt	⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) < (𝑌 − 𝑍))

Proof of Theorem ogrpsublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
2		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ oGrp)
3		simp21 1205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp22 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐺) = (le‘𝐺)
6		ogrpsublt.1	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝐺)
7	5, 6	pltval 18050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐺)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐺)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
9	1, 8	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(le‘𝐺)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
10	9	simpld 495	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝐺)𝑌)
11		ogrpsublt.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12		ogrpsublt.2	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13	11, 5, 12	ogrpsub 31342	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐺)𝑌) → (𝑋 − 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 − 𝑍))
14	10, 13	syld3an3 1408	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 − 𝑍))
15	9	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
16		ogrpgrp 31329	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
18		simp23 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝐵)
19	11, 12	grpsubrcan 18656	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	17, 3, 4, 18, 19	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑋 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))
21	20	necon3bid 2988	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑋 − 𝑍) ≠ (𝑌 − 𝑍) ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
22	15, 21	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) ≠ (𝑌 − 𝑍))
23	11, 12	grpsubcl 18655	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
24	17, 3, 18, 23	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
25	11, 12	grpsubcl 18655	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
26	17, 4, 18, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
27	5, 6	pltval 18050	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑍) < (𝑌 − 𝑍) ↔ ((𝑋 − 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 − 𝑍) ∧ (𝑋 − 𝑍) ≠ (𝑌 − 𝑍))))
28	2, 24, 26, 27	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑋 − 𝑍) < (𝑌 − 𝑍) ↔ ((𝑋 − 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 − 𝑍) ∧ (𝑋 − 𝑍) ≠ (𝑌 − 𝑍))))
29	14, 22, 28	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) < (𝑌 − 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  ltcplt 18026  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  oGrpcogrp 31324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-0g 17152  df-plt 18048  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-omnd 31325  df-ogrp 31326

This theorem is referenced by:  archiabllem1a  31445  archiabllem2a  31448  archiabllem2c  31449