Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpsublt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ogrpsublt 32280
Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsublt.0 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ogrpsublt.1 < = (ltβ€˜πΊ)
ogrpsublt.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ogrpsublt ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) < (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
Proof of Theorem ogrpsublt
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
2 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ oGrp)
3 simp21 1206 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp22 1207 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (leβ€˜πΊ) = (leβ€˜πΊ)
6 ogrpsublt.1 . . . . . . 7 < = (ltβ€˜πΊ)
75, 6pltval 18287 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
82, 3, 4, 7syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
91, 8mpbid 231 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
109simpld 495 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ)
11 ogrpsublt.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
12 ogrpsublt.2 . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
1311, 5, 12ogrpsub 32275 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ βˆ’ 𝑍))
1410, 13syld3an3 1409 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ βˆ’ 𝑍))
159simprd 496 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
16 ogrpgrp 32262 . . . . . 6 (𝐺 ∈ oGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
172, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
18 simp23 1208 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
1911, 12grpsubrcan 18906 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2017, 3, 4, 18, 19syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2120necon3bid 2985 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) β‰  (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ 𝑋 β‰  π‘Œ))
2215, 21mpbird 256 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) β‰  (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
2311, 12grpsubcl 18905 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡)
2417, 3, 18, 23syl3anc 1371 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡)
2511, 12grpsubcl 18905 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡)
2617, 4, 18, 25syl3anc 1371 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡)
275, 6pltval 18287 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) < (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∧ (𝑋 βˆ’ 𝑍) β‰  (π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
282, 24, 26, 27syl3anc 1371 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) < (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∧ (𝑋 βˆ’ 𝑍) β‰  (π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
2914, 22, 28mpbir2and 711 1 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) < (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  ltcplt 18263  Grpcgrp 18821  -gcsg 18823  oGrpcogrp 32257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-0g 17389  df-plt 18285  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-omnd 32258  df-ogrp 32259
This theorem is referenced by:  archiabllem1a  32378  archiabllem2a  32381  archiabllem2c  32382
  Copyright terms: Public domain W3C validator