Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpsublt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ogrpsublt 32239
Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsublt.0 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ogrpsublt.1 < = (ltβ€˜πΊ)
ogrpsublt.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ogrpsublt ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) < (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
Proof of Theorem ogrpsublt
StepHypRef Expression
1 simp3 1139 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
2 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ oGrp)
3 simp21 1207 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp22 1208 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜πΊ) = (leβ€˜πΊ)
6 ogrpsublt.1 . . . . . . 7 < = (ltβ€˜πΊ)
75, 6pltval 18285 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
82, 3, 4, 7syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
91, 8mpbid 231 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
109simpld 496 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ)
11 ogrpsublt.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
12 ogrpsublt.2 . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
1311, 5, 12ogrpsub 32234 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ βˆ’ 𝑍))
1410, 13syld3an3 1410 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ βˆ’ 𝑍))
159simprd 497 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
16 ogrpgrp 32221 . . . . . 6 (𝐺 ∈ oGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
172, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
18 simp23 1209 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
1911, 12grpsubrcan 18904 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2017, 3, 4, 18, 19syl13anc 1373 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2120necon3bid 2986 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) β‰  (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ 𝑋 β‰  π‘Œ))
2215, 21mpbird 257 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) β‰  (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
2311, 12grpsubcl 18903 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡)
2417, 3, 18, 23syl3anc 1372 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡)
2511, 12grpsubcl 18903 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡)
2617, 4, 18, 25syl3anc 1372 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡)
275, 6pltval 18285 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) < (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∧ (𝑋 βˆ’ 𝑍) β‰  (π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
282, 24, 26, 27syl3anc 1372 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝑍) < (π‘Œ βˆ’ 𝑍) ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ βˆ’ 𝑍) ∧ (𝑋 βˆ’ 𝑍) β‰  (π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
2914, 22, 28mpbir2and 712 1 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) < (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  ltcplt 18261  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  oGrpcogrp 32216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-0g 17387  df-plt 18283  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-omnd 32217  df-ogrp 32218
This theorem is referenced by:  archiabllem1a  32337  archiabllem2a  32340  archiabllem2c  32341
  Copyright terms: Public domain W3C validator