Theorem resdm 5985

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3956	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 5981	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ⊆ wss 3901  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Rel wrel 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-dm 5634  df-res 5636

This theorem is referenced by:  resindm  5989  reldisjun  5991  relresdm1  5992  imadifssran  6109  resdm2  6189  relresfld  6234  fimadmfoALT  6757  fnex  7163  dftpos2  8185  tfrlem11  8319  tfrlem15  8323  tfrlem16  8324  pmresg  8808  domss2  9064  axdc3lem4  10363  gruima  10713  nosupbnd2lem1  27683  nosupbnd2  27684  noinfbnd2lem1  27698  noinfbnd2  27699  noetasuplem2  27702  noetasuplem3  27703  noetasuplem4  27704  noetainflem2  27706  bnj1321  35183  funsseq  35962  alrmomodm  38552  relbrcoss  38709  unidmqs  38913  releldmqs  38917  releldmqscoss  38919  seff  44550  sblpnf  44551  f1cof1blem  47320  funfocofob  47324  itcoval1  48909