Theorem resdm 5993

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 5989	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ⊆ wss 3903  dom cdm 5632   ↾ cres 5634  Rel wrel 5637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-dm 5642  df-res 5644

This theorem is referenced by:  resindm  5997  reldisjun  5999  relresdm1  6000  imadifssran  6117  resdm2  6197  relresfld  6242  fimadmfoALT  6765  fnex  7173  dftpos2  8195  tfrlem11  8329  tfrlem15  8333  tfrlem16  8334  pmresg  8820  domss2  9076  axdc3lem4  10375  gruima  10725  nosupbnd2lem1  27695  nosupbnd2  27696  noinfbnd2lem1  27710  noinfbnd2  27711  noetasuplem2  27714  noetasuplem3  27715  noetasuplem4  27716  noetainflem2  27718  bnj1321  35203  funsseq  35984  alrmomodm  38610  relbrcoss  38787  unidmqs  38990  releldmqs  38994  releldmqscoss  38996  seff  44665  sblpnf  44666  f1cof1blem  47434  funfocofob  47438  itcoval1  49023