Theorem resdm 6008

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3956	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 6004	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 701	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ⊆ wss 3902  dom cdm 5643   ↾ cres 5645  Rel wrel 5648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-rel 5650  df-dm 5653  df-res 5655

This theorem is referenced by:  resindm  6012  resindmOLD  6013  reldmun  6016  reldisjunOLD  6017  relresdm1  6018  imadifssran  6132  resdm2  6213  relresfld  6258  fimadmfoALT  6784  fnex  7196  dftpos2  8217  tfrlem11  8353  tfrlem15  8357  tfrlem16  8358  pmresg  8846  domss2  9102  axdc3lem4  10404  gruima  10754  nosupbnd2lem1  27767  nosupbnd2  27768  noinfbnd2lem1  27782  noinfbnd2  27783  noetasuplem2  27786  noetasuplem3  27787  noetasuplem4  27788  noetainflem2  27790  bnj1321  35283  funsseq  36079  alrmomodm  38819  relbrcoss  38996  unidmqs  39199  releldmqs  39203  releldmqscoss  39205  seff  44846  sblpnf  44847  f1cof1blem  47629  funfocofob  47633  itcoval1  49246