Theorem resdm 5881

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3909	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 5877	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ⊆ wss 3853  dom cdm 5536   ↾ cres 5538  Rel wrel 5541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-xp 5542  df-rel 5543  df-dm 5546  df-res 5548

This theorem is referenced by:  resindm  5885  resdm2  6074  relresfld  6119  fimadmfoALT  6622  fnex  7011  dftpos2  7963  tfrlem11  8102  tfrlem15  8106  tfrlem16  8107  pmresg  8529  domss2  8783  axdc3lem4  10032  gruima  10381  reldisjun  30615  funresdm1  30617  bnj1321  32674  funsseq  33412  nosupbnd2lem1  33604  nosupbnd2  33605  noinfbnd2lem1  33619  noinfbnd2  33620  noetasuplem2  33623  noetasuplem3  33624  noetasuplem4  33625  noetainflem2  33627  alrmomodm  36177  relbrcoss  36250  unidmqs  36452  releldmqs  36456  releldmqscoss  36458  seff  41541  sblpnf  41542  f1cof1blem  44183  funfocofob  44185  itcoval1  45625