Theorem resdm 6019

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 6015	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3899  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Rel wrel 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-dm 5665  df-res 5667

This theorem is used by:  resindm  6023  resindmOLD  6024  reldmun  6027  reldisjunOLD  6028  relresdm1  6029  imadifssranOLD  6198  resdm2  6227  relresfldOLD  6274  fimadmfoALT  6800  fnex  7216  dftpos2  8241  tfrlem11  8377  tfrlem15  8381  tfrlem16  8382  pmresg  8877  domss2  9134  axdc3lem4  10455  gruima  10811  nosupbnd2lem1  27951  nosupbnd2  27952  noinfbnd2lem1  27966  noinfbnd2  27967  noetasuplem2  27970  noetasuplem3  27971  noetasuplem4  27972  noetainflem2  27974  bnj1321  35536  funsseq  36347  alrmomodm  39107  relbrcoss  39284  unidmqs  39487  releldmqs  39491  releldmqscoss  39493  seff  45133  sblpnf  45134  f1cof1blem  47962  funfocofob  47966  itcoval1  49593