Theorem resdm 5985

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3945	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 5981	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ⊆ wss 3890  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Rel wrel 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-rel 5631  df-dm 5634  df-res 5636

This theorem is referenced by:  resindm  5989  reldisjun  5991  relresdm1  5992  imadifssran  6109  resdm2  6189  relresfld  6234  fimadmfoALT  6757  fnex  7165  dftpos2  8186  tfrlem11  8320  tfrlem15  8324  tfrlem16  8325  pmresg  8811  domss2  9067  axdc3lem4  10366  gruima  10716  nosupbnd2lem1  27693  nosupbnd2  27694  noinfbnd2lem1  27708  noinfbnd2  27709  noetasuplem2  27712  noetasuplem3  27713  noetasuplem4  27714  noetainflem2  27716  bnj1321  35185  funsseq  35966  alrmomodm  38694  relbrcoss  38871  unidmqs  39074  releldmqs  39078  releldmqscoss  39080  seff  44754  sblpnf  44755  f1cof1blem  47534  funfocofob  47538  itcoval1  49151