Theorem resdm 6033

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3935	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 6029	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3900  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  Rel wrel 5663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-rel 5665  df-dm 5668  df-res 5670

This theorem is used by:  resindm  6037  resindmOLD  6038  reldmun  6041  reldisjunOLD  6042  relresdm1  6043  imadifssranOLDOLD  6222  resdm2  6251  relresfldOLD  6303  fimadmfoALT  6837  fnex  7254  dftpos2  8298  tfrlem11  8434  tfrlem15  8438  tfrlem16  8439  pmresg  8936  domss2  9193  axdc3lem4  10570  gruima  10926  nosupbnd2lem1  28129  nosupbnd2  28130  noinfbnd2lem1  28144  noinfbnd2  28145  noetasuplem2  28148  noetasuplem3  28149  noetasuplem4  28150  noetainflem2  28152  bnj1321  35768  funsseq  36748  alrmomodm  39557  relbrcoss  39734  unidmqs  39937  releldmqs  39941  releldmqscoss  39943  seff  45554  sblpnf  45555  f1cof1blem  48417  funfocofob  48421  itcoval1  50106