Theorem resdm 6016

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3931	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 6012	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ⊆ wss 3896  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  Rel wrel 5655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-dm 5660  df-res 5662

This theorem is used by:  resindm  6020  resindmOLD  6021  reldmun  6024  reldisjunOLD  6025  relresdm1  6026  imadifssranOLDOLD  6205  resdm2  6234  relresfldOLD  6281  fimadmfoALT  6810  fnex  7225  dftpos2  8265  tfrlem11  8401  tfrlem15  8405  tfrlem16  8406  pmresg  8903  domss2  9160  axdc3lem4  10536  gruima  10892  nosupbnd2lem1  28079  nosupbnd2  28080  noinfbnd2lem1  28094  noinfbnd2  28095  noetasuplem2  28098  noetasuplem3  28099  noetasuplem4  28100  noetainflem2  28102  bnj1321  35705  funsseq  36627  alrmomodm  39398  relbrcoss  39575  unidmqs  39778  releldmqs  39782  releldmqscoss  39784  seff  45400  sblpnf  45401  f1cof1blem  48251  funfocofob  48255  itcoval1  49882