Theorem resdm 5991

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3944	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 5987	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ⊆ wss 3889  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-res 5643

This theorem is referenced by:  resindm  5995  reldisjun  5997  relresdm1  5998  imadifssran  6115  resdm2  6195  relresfld  6240  fimadmfoALT  6763  fnex  7172  dftpos2  8193  tfrlem11  8327  tfrlem15  8331  tfrlem16  8332  pmresg  8818  domss2  9074  axdc3lem4  10375  gruima  10725  nosupbnd2lem1  27679  nosupbnd2  27680  noinfbnd2lem1  27694  noinfbnd2  27695  noetasuplem2  27698  noetasuplem3  27699  noetasuplem4  27700  noetainflem2  27702  bnj1321  35169  funsseq  35950  alrmomodm  38680  relbrcoss  38857  unidmqs  39060  releldmqs  39064  releldmqscoss  39066  seff  44736  sblpnf  44737  f1cof1blem  47522  funfocofob  47526  itcoval1  49139