Theorem resdm 6023

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3967	. 2 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
2		relssres 6019	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ↾ dom 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ⊆ wss 3913  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  Rel wrel 5664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5665  df-rel 5666  df-dm 5669  df-res 5671

This theorem is referenced by:  resindm  6027  resindmOLD  6028  reldmun  6031  reldisjunOLD  6032  relresdm1  6033  imadifssranOLD  6201  resdm2  6230  relresfld  6275  fimadmfoALT  6801  fnex  7213  dftpos2  8235  tfrlem11  8371  tfrlem15  8375  tfrlem16  8376  pmresg  8864  domss2  9120  axdc3lem4  10433  gruima  10783  nosupbnd2lem1  27841  nosupbnd2  27842  noinfbnd2lem1  27856  noinfbnd2  27857  noetasuplem2  27860  noetasuplem3  27861  noetasuplem4  27862  noetainflem2  27864  bnj1321  35356  funsseq  36155  alrmomodm  38893  relbrcoss  39070  unidmqs  39273  releldmqs  39277  releldmqscoss  39279  seff  44906  sblpnf  44907  f1cof1blem  47695  funfocofob  47699  itcoval1  49323