MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval 18640
Description: Expand out the substitutions in df-gsum 17427. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z 0 = (0g𝐺)
gsumval.p + = (+g𝐺)
gsumval.o 𝑂 = {𝑠𝐵 ∣ ∀𝑡𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
gsumval.w (𝜑𝑊 = (𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
gsumval.g (𝜑𝐺𝑉)
gsumval.a (𝜑𝐴𝑋)
gsumval.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumval (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝜑   𝑓,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑠,𝑡,𝑥   𝑓,𝑂,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑚,𝑛)   + (𝑓,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑡,𝑠)   𝐺(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑊(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   0 (𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem gsumval
StepHypRef Expression
1 gsumval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumval.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumval.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsumval.o . 2 𝑂 = {𝑠𝐵 ∣ ∀𝑡𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
5 gsumval.w . 2 (𝜑𝑊 = (𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
6 gsumval.g . 2 (𝜑𝐺𝑉)
7 gsumval.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
8 gsumval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
91fvexi 6910 . . . 4 𝐵 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
11 fex2 7942 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑋𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
137fdmd 6733 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13gsumvalx 18639 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  ifcif 4530  ccnv 5677  ran crn 5679  cima 5681  ccom 5682  cio 6499  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  1c1 11141  cuz 12855  ...cfz 13519  seqcseq 14002  chash 14325  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  0gc0g 17424   Σg cgsu 17425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-seq 14003  df-gsum 17427
This theorem is referenced by:  gsumress  18645  gsumval1  18646  gsumval2a  18648  gsumval3a  19870
  Copyright terms: Public domain W3C validator