MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval 17585
Description: Expand out the substitutions in df-gsum 16417. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z 0 = (0g𝐺)
gsumval.p + = (+g𝐺)
gsumval.o 𝑂 = {𝑠𝐵 ∣ ∀𝑡𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
gsumval.w (𝜑𝑊 = (𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
gsumval.g (𝜑𝐺𝑉)
gsumval.a (𝜑𝐴𝑋)
gsumval.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumval (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝜑   𝑓,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑠,𝑡,𝑥   𝑓,𝑂,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑚,𝑛)   + (𝑓,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑡,𝑠)   𝐺(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑊(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   0 (𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem gsumval
StepHypRef Expression
1 gsumval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumval.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumval.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsumval.o . 2 𝑂 = {𝑠𝐵 ∣ ∀𝑡𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
5 gsumval.w . 2 (𝜑𝑊 = (𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
6 gsumval.g . 2 (𝜑𝐺𝑉)
7 gsumval.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
8 gsumval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
91fvexi 6426 . . . 4 𝐵 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
11 fex2 7357 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑋𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
127, 8, 10, 11syl3anc 1491 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
137fdmd 6266 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13gsumvalx 17584 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  Vcvv 3386  cdif 3767  wss 3770  ifcif 4278  ccnv 5312  ran crn 5314  cima 5316  ccom 5317  cio 6063  wf 6098  1-1-ontowf1o 6101  cfv 6102  (class class class)co 6879  1c1 10226  cuz 11929  ...cfz 12579  seqcseq 13054  chash 13369  Basecbs 16183  +gcplusg 16266  0gc0g 16414   Σg cgsu 16415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-seq 13055  df-gsum 16417
This theorem is referenced by:  gsumress  17590  gsumval1  17591  gsumval2a  17593  gsumval3a  18618
  Copyright terms: Public domain W3C validator