Theorem gsumval 18916

Description: Expand out the substitutions in df-gsum 17663. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval.o	⊢ 𝑂 = {𝑠 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
gsumval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = (◡𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
gsumval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
gsumval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶1-1onto𝑊 ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝜑   𝑓,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑠,𝑡,𝑥   𝑓,𝑂,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑠)   𝐴(𝑥, 𝑡, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑠)   𝐵(𝑓, 𝑚, 𝑛)   + (𝑓, 𝑚, 𝑛)   𝐹(𝑡, 𝑠)   𝐺(𝑡, 𝑠)   𝑂(𝑡, 𝑠)   𝑉(𝑥, 𝑡, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑠)   𝑊(𝑥, 𝑡, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑠)   𝑋(𝑥, 𝑡, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑠)   0 (𝑥, 𝑡, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑠)

Proof of Theorem gsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumval.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumval.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumval.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {𝑠 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
5		gsumval.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (◡𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
6		gsumval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		gsumval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8		gsumval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9	1	fvexi 6930	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
11		fex2 7982	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
13	7	fdmd 6750	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13	gsumvalx 18915	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶1-1onto𝑊 ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659   “ cima 5661   ∘ ccom 5662  ℩cio 6518  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  seqcseq 14184  ♯chash 14515  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-seq 14185  df-gsum 17663

This theorem is used by:  gsumress  18921  gsumval1  18922  gsumval2a  18924  gsumval3a  20168