Theorem gsumval 18608

Description: Expand out the substitutions in df-gsum 17395. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval.o	⊢ 𝑂 = {𝑠 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
gsumval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = (◡𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
gsumval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
gsumval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊 ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝜑   𝑓,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑠,𝑡,𝑥   𝑓,𝑂,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑚,𝑛)   + (𝑓,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑡,𝑠)   𝐺(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑊(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   0 (𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem gsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumval.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumval.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumval.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {𝑠 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
5		gsumval.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (◡𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
6		gsumval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		gsumval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8		gsumval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9	1	fvexi 6898	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
11		fex2 7920	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
13	7	fdmd 6721	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13	gsumvalx 18607	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊 ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  ifcif 4523  ^◡ccnv 5668  ran crn 5670   “ cima 5672   ∘ ccom 5673  ℩cio 6486  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  seqcseq 13969  ♯chash 14293  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-seq 13970  df-gsum 17395

This theorem is referenced by:  gsumress  18613  gsumval1  18614  gsumval2a  18616  gsumval3a  19821