Theorem gsumval 18589

Description: Expand out the substitutions in df-gsum 17350. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval.o	⊢ 𝑂 = {𝑠 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
gsumval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = (◡𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
gsumval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
gsumval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊 ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝜑   𝑓,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑠,𝑡,𝑥   𝑓,𝑂,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑚,𝑛)   + (𝑓,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑡,𝑠)   𝐺(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑊(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   0 (𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem gsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumval.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumval.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumval.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {𝑠 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
5		gsumval.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (◡𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
6		gsumval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		gsumval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8		gsumval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9	1	fvexi 6844	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
11		fex2 7874	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
13	7	fdmd 6668	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13	gsumvalx 18588	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊 ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  {crab 3396  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ifcif 4476  ^◡ccnv 5620  ran crn 5622   “ cima 5624   ∘ ccom 5625  ℩cio 6442  ⟶wf 6484  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  1c1 11016  ℤ_≥cuz 12740  ...cfz 13411  seqcseq 13912  ♯chash 14241  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  0_gc0g 17347   Σ_g cgsu 17348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-seq 13913  df-gsum 17350

This theorem is referenced by:  gsumress  18594  gsumval1  18595  gsumval2a  18597  gsumval3a  19819