MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval 18703
Description: Expand out the substitutions in df-gsum 17489. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z 0 = (0g𝐺)
gsumval.p + = (+g𝐺)
gsumval.o 𝑂 = {𝑠𝐵 ∣ ∀𝑡𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
gsumval.w (𝜑𝑊 = (𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
gsumval.g (𝜑𝐺𝑉)
gsumval.a (𝜑𝐴𝑋)
gsumval.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumval (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝜑   𝑓,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑠,𝑡,𝑥   𝑓,𝑂,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑚,𝑛)   + (𝑓,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑡,𝑠)   𝐺(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑊(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   0 (𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem gsumval
StepHypRef Expression
1 gsumval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumval.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumval.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsumval.o . 2 𝑂 = {𝑠𝐵 ∣ ∀𝑡𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
5 gsumval.w . 2 (𝜑𝑊 = (𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
6 gsumval.g . 2 (𝜑𝐺𝑉)
7 gsumval.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
8 gsumval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
91fvexi 6921 . . . 4 𝐵 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
11 fex2 7957 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑋𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
127, 8, 10, 11syl3anc 1370 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
137fdmd 6747 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13gsumvalx 18702 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  ifcif 4531  ccnv 5688  ran crn 5690  cima 5692  ccom 5693  cio 6514  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  chash 14366  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seq 14040  df-gsum 17489
This theorem is referenced by:  gsumress  18708  gsumval1  18709  gsumval2a  18711  gsumval3a  19936
  Copyright terms: Public domain W3C validator