MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval 18691
Description: Expand out the substitutions in df-gsum 17488. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z 0 = (0g𝐺)
gsumval.p + = (+g𝐺)
gsumval.o 𝑂 = {𝑠𝐵 ∣ ∀𝑡𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
gsumval.w (𝜑𝑊 = (𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
gsumval.g (𝜑𝐺𝑉)
gsumval.a (𝜑𝐴𝑋)
gsumval.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumval (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝜑   𝑓,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑠,𝑡,𝑥   𝑓,𝑂,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑚,𝑛)   + (𝑓,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑡,𝑠)   𝐺(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑊(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)   0 (𝑥,𝑡,𝑓,𝑚,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem gsumval
StepHypRef Expression
1 gsumval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumval.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumval.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsumval.o . 2 𝑂 = {𝑠𝐵 ∣ ∀𝑡𝐵 ((𝑠 + 𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑠) = 𝑡)}
5 gsumval.w . 2 (𝜑𝑊 = (𝐹 “ (V ∖ 𝑂)))
6 gsumval.g . 2 (𝜑𝐺𝑉)
7 gsumval.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
8 gsumval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
91fvexi 6919 . . . 4 𝐵 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
11 fex2 7959 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑋𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
127, 8, 10, 11syl3anc 1372 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
137fdmd 6745 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13gsumvalx 18690 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(ran 𝐹𝑂, 0 , if(𝐴 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛))), (℩𝑥𝑓(𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑓))‘(♯‘𝑊)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  ifcif 4524  ccnv 5683  ran crn 5685  cima 5687  ccom 5688  cio 6511  wf 6556  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157  cuz 12879  ...cfz 13548  seqcseq 14043  chash 14370  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-seq 14044  df-gsum 17488
This theorem is referenced by:  gsumress  18696  gsumval1  18697  gsumval2a  18699  gsumval3a  19922
  Copyright terms: Public domain W3C validator