Theorem haushmph 23783

Description: Hausdorff-ness is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
haushmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Haus))

Proof of Theorem haushmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23322	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2		cnhaus 23345	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑓:∪ 𝐾–1-1→∪ 𝐽 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Haus)
3	1, 2	haushmphlem 23778	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Haus))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5145  Hauscha 23299   ≃ chmph 23745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-map 8848  df-top 22883  df-topon 22900  df-cn 23218  df-haus 23306  df-hmeo 23746  df-hmph 23747

This theorem is referenced by:  ishaus3  23814