MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haushmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haushmph 22004
Description: Hausdorff-ness is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haushmph (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Haus))

Proof of Theorem haushmph
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21543 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 cnhaus 21566 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑓: 𝐾1-1 𝐽𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Haus)
31, 2haushmphlem 21999 1 (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Haus))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   cuni 4671   class class class wbr 4886  Hauscha 21520  chmph 21966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-1o 7843  df-map 8142  df-top 21106  df-topon 21123  df-cn 21439  df-haus 21527  df-hmeo 21967  df-hmph 21968
This theorem is referenced by:  ishaus3  22035
  Copyright terms: Public domain W3C validator