Theorem haushmph 23766

Description: Hausdorff-ness is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
haushmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Haus))

Proof of Theorem haushmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23305	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2		cnhaus 23328	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑓:∪ 𝐾–1-1→∪ 𝐽 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Haus)
3	1, 2	haushmphlem 23761	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Haus))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086  Hauscha 23282   ≃ chmph 23728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8396  df-map 8766  df-top 22868  df-topon 22885  df-cn 23201  df-haus 23289  df-hmeo 23729  df-hmph 23730

This theorem is referenced by:  ishaus3  23797