Theorem t1hmph 22940

Description: T₁ is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
t1hmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Fre → 𝐾 ∈ Fre))

Proof of Theorem t1hmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1top 22479	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
2		cnt1 22499	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝑓:∪ 𝐾–1-1→∪ 𝐽 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Fre)
3	1, 2	haushmphlem 22936	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Fre → 𝐾 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079  Frect1 22456   ≃ chmph 22903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-1o 8288  df-map 8600  df-top 22041  df-topon 22058  df-cld 22168  df-cn 22376  df-t1 22463  df-hmeo 22904  df-hmph 22905

This theorem is referenced by:  t1r0  22970  ist1-5  22971