Theorem t1hmph 23684

Description: T₁ is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
t1hmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Fre → 𝐾 ∈ Fre))

Proof of Theorem t1hmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1top 23223	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
2		cnt1 23243	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝑓:∪ 𝐾–1-1→∪ 𝐽 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Fre)
3	1, 2	haushmphlem 23680	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Fre → 𝐾 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5109  Frect1 23200   ≃ chmph 23647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8436  df-map 8803  df-top 22787  df-topon 22804  df-cld 22912  df-cn 23120  df-t1 23207  df-hmeo 23648  df-hmph 23649

This theorem is referenced by:  t1r0  23714  ist1-5  23715