Theorem hicli 31152

Description: Closure inference for inner product. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hicl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hicl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hicli	⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ

Proof of Theorem hicli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hicl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hicl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hicl 31151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   ℋchba 30990   ·_ih csp 30993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-hfi 31150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  hisubcomi  31175  normlem0  31180  normlem2  31182  normlem3  31183  normlem7  31187  normlem8  31188  normlem9  31189  bcseqi  31191  norm-ii-i  31208  normpythi  31213  normpari  31225  polid2i  31228  bcsiALT  31250  h1de2i  31624  h1de2bi  31625  h1de2ctlem  31626  eigrei  31905  eigorthi  31908  lnopunilem1  32081  lnopunilem2  32082