Theorem hicli 31167

Description: Closure inference for inner product. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hicl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hicl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hicli	⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ

Proof of Theorem hicli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hicl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hicl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hicl 31166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   ℋchba 31005   ·_ih csp 31008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-hfi 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  hisubcomi  31190  normlem0  31195  normlem2  31197  normlem3  31198  normlem7  31202  normlem8  31203  normlem9  31204  bcseqi  31206  norm-ii-i  31223  normpythi  31228  normpari  31240  polid2i  31243  bcsiALT  31265  h1de2i  31639  h1de2bi  31640  h1de2ctlem  31641  eigrei  31920  eigorthi  31923  lnopunilem1  32096  lnopunilem2  32097