![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > eigrei | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when ๐ is a Hermitian operator) for an eigenvalue ๐ต to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jan-2005.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
eigre.1 | โข ๐ด โ โ |
eigre.2 | โข ๐ต โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
eigrei | โข (((๐โ๐ด) = (๐ต ยทโ ๐ด) โง ๐ด โ 0โ) โ ((๐ด ยทih (๐โ๐ด)) = ((๐โ๐ด) ยทih ๐ด) โ ๐ต โ โ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7366 | . . . . 5 โข ((๐โ๐ด) = (๐ต ยทโ ๐ด) โ (๐ด ยทih (๐โ๐ด)) = (๐ด ยทih (๐ต ยทโ ๐ด))) | |
2 | eigre.2 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ | |
3 | eigre.1 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ | |
4 | his5 30070 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ด ยทih (๐ต ยทโ ๐ด)) = ((โโ๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด))) | |
5 | 2, 3, 3, 4 | mp3an 1462 | . . . . 5 โข (๐ด ยทih (๐ต ยทโ ๐ด)) = ((โโ๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) |
6 | 1, 5 | eqtrdi 2789 | . . . 4 โข ((๐โ๐ด) = (๐ต ยทโ ๐ด) โ (๐ด ยทih (๐โ๐ด)) = ((โโ๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด))) |
7 | oveq1 7365 | . . . . 5 โข ((๐โ๐ด) = (๐ต ยทโ ๐ด) โ ((๐โ๐ด) ยทih ๐ด) = ((๐ต ยทโ ๐ด) ยทih ๐ด)) | |
8 | ax-his3 30068 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((๐ต ยทโ ๐ด) ยทih ๐ด) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด))) | |
9 | 2, 3, 3, 8 | mp3an 1462 | . . . . 5 โข ((๐ต ยทโ ๐ด) ยทih ๐ด) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)) |
10 | 7, 9 | eqtrdi 2789 | . . . 4 โข ((๐โ๐ด) = (๐ต ยทโ ๐ด) โ ((๐โ๐ด) ยทih ๐ด) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด))) |
11 | 6, 10 | eqeq12d 2749 | . . 3 โข ((๐โ๐ด) = (๐ต ยทโ ๐ด) โ ((๐ด ยทih (๐โ๐ด)) = ((๐โ๐ด) ยทih ๐ด) โ ((โโ๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)))) |
12 | 3, 3 | hicli 30065 | . . . 4 โข (๐ด ยทih ๐ด) โ โ |
13 | ax-his4 30069 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0โ) โ 0 < (๐ด ยทih ๐ด)) | |
14 | 3, 13 | mpan 689 | . . . . 5 โข (๐ด โ 0โ โ 0 < (๐ด ยทih ๐ด)) |
15 | 14 | gt0ne0d 11724 | . . . 4 โข (๐ด โ 0โ โ (๐ด ยทih ๐ด) โ 0) |
16 | 2 | cjcli 15060 | . . . . 5 โข (โโ๐ต) โ โ |
17 | mulcan2 11798 | . . . . 5 โข (((โโ๐ต) โ โ โง ๐ต โ โ โง ((๐ด ยทih ๐ด) โ โ โง (๐ด ยทih ๐ด) โ 0)) โ (((โโ๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)) โ (โโ๐ต) = ๐ต)) | |
18 | 16, 2, 17 | mp3an12 1452 | . . . 4 โข (((๐ด ยทih ๐ด) โ โ โง (๐ด ยทih ๐ด) โ 0) โ (((โโ๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)) โ (โโ๐ต) = ๐ต)) |
19 | 12, 15, 18 | sylancr 588 | . . 3 โข (๐ด โ 0โ โ (((โโ๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)) โ (โโ๐ต) = ๐ต)) |
20 | 11, 19 | sylan9bb 511 | . 2 โข (((๐โ๐ด) = (๐ต ยทโ ๐ด) โง ๐ด โ 0โ) โ ((๐ด ยทih (๐โ๐ด)) = ((๐โ๐ด) ยทih ๐ด) โ (โโ๐ต) = ๐ต)) |
21 | 2 | cjrebi 15065 | . 2 โข (๐ต โ โ โ (โโ๐ต) = ๐ต) |
22 | 20, 21 | bitr4di 289 | 1 โข (((๐โ๐ด) = (๐ต ยทโ ๐ด) โง ๐ด โ 0โ) โ ((๐ด ยทih (๐โ๐ด)) = ((๐โ๐ด) ยทih ๐ด) โ ๐ต โ โ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 class class class wbr 5106 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcc 11054 โcr 11055 0cc0 11056 ยท cmul 11061 < clt 11194 โccj 14987 โchba 29903 ยทโ csm 29905 ยทih csp 29906 0โc0v 29908 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-hfvmul 29989 ax-hfi 30063 ax-his1 30066 ax-his3 30068 ax-his4 30069 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-2 12221 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 |
This theorem is referenced by: eigre 30819 eigposi 30820 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |