Theorem eigrei 32463

Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
eigre.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
eigre.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
eigrei	⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigrei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
2		eigre.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		eigre.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		his5 31715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
5	2, 3, 3, 4	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
6	1, 5	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
7		oveq1 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴))
8		ax-his3 31713	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
9	2, 3, 3, 8	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴))
10	7, 9	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
11	6, 10	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴))))
12	3, 3	hicli 31710	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
13		ax-his4 31714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
14	3, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
15	14	gt0ne0d 11904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
16	2	cjcli 15362	. . . . 5 ⊢ (∗‘𝐵) ∈ ℂ
17		mulcan2 11978	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)) → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
18	16, 2, 17	mp3an12 1481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0) → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
19	12, 15, 18	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
20	11, 19	sylan9bb 519	. 2 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
21	2	cjrebi 15367	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵)
22	20, 21	bitr4di 292	1 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   · cmul 11229   < clt 11367  ∗ccj 15289   ℋchba 31548   ·_ℎ csm 31550   ·_ih csp 31551  0_ℎc0v 31553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-hfvmul 31634  ax-hfi 31708  ax-his1 31711  ax-his3 31713  ax-his4 31714

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294

This theorem is used by:  eigre  32464  eigposi  32465