HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigrei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigrei 31582
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when ๐‘‡ is a Hermitian operator) for an eigenvalue ๐ต to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigre.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
eigre.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
eigrei (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))

Proof of Theorem eigrei
StepHypRef Expression
1 oveq2 7410 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)))
2 eigre.2 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
3 eigre.1 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‹
4 his5 30834 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
52, 3, 3, 4mp3an 1457 . . . . 5 (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด))
61, 5eqtrdi 2780 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
7 oveq1 7409 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) = ((๐ต ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ด))
8 ax-his3 30832 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ด) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
92, 3, 3, 8mp3an 1457 . . . . 5 ((๐ต ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ด) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด))
107, 9eqtrdi 2780 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
116, 10eqeq12d 2740 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด))))
123, 3hicli 30829 . . . 4 (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚
13 ax-his4 30833 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (๐ด ยทih ๐ด))
143, 13mpan 687 . . . . 5 (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (๐ด ยทih ๐ด))
1514gt0ne0d 11777 . . . 4 (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) โ‰  0)
162cjcli 15118 . . . . 5 (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚
17 mulcan2 11851 . . . . 5 (((โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ด) โ‰  0)) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ต) = ๐ต))
1816, 2, 17mp3an12 1447 . . . 4 (((๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ด) โ‰  0) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ต) = ๐ต))
1912, 15, 18sylancr 586 . . 3 (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ต) = ๐ต))
2011, 19sylan9bb 509 . 2 (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” (โˆ—โ€˜๐ต) = ๐ต))
212cjrebi 15123 . 2 (๐ต โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜๐ต) = ๐ต)
2220, 21bitr4di 289 1 (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107   ยท cmul 11112   < clt 11247  โˆ—ccj 15045   โ„‹chba 30667   ยทโ„Ž csm 30669   ยทih csp 30670  0โ„Žc0v 30672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-hfvmul 30753  ax-hfi 30827  ax-his1 30830  ax-his3 30832  ax-his4 30833
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  eigre  31583  eigposi  31584
  Copyright terms: Public domain W3C validator