Theorem eigrei 32436

Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
eigre.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
eigre.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
eigrei	⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigrei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
2		eigre.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		eigre.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		his5 31688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
5	2, 3, 3, 4	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
6	1, 5	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
7		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴))
8		ax-his3 31686	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
9	2, 3, 3, 8	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴))
10	7, 9	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
11	6, 10	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴))))
12	3, 3	hicli 31683	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
13		ax-his4 31687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
14	3, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
15	14	gt0ne0d 11880	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
16	2	cjcli 15336	. . . . 5 ⊢ (∗‘𝐵) ∈ ℂ
17		mulcan2 11954	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)) → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
18	16, 2, 17	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0) → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
19	12, 15, 18	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
20	11, 19	sylan9bb 519	. 2 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
21	2	cjrebi 15341	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵)
22	20, 21	bitr4di 292	1 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205   < clt 11343  ∗ccj 15263   ℋchba 31521   ·_ℎ csm 31523   ·_ih csp 31524  0_ℎc0v 31526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-hfvmul 31607  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his3 31686  ax-his4 31687

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268

This theorem is used by:  eigre  32437  eigposi  32438