Theorem eigrei 31763

Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
eigre.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
eigre.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
eigrei	⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigrei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
2		eigre.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		eigre.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		his5 31015	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
5	2, 3, 3, 4	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
6	1, 5	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
7		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴))
8		ax-his3 31013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
9	2, 3, 3, 8	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴))
10	7, 9	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
11	6, 10	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴))))
12	3, 3	hicli 31010	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
13		ax-his4 31014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
14	3, 13	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
15	14	gt0ne0d 11742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
16	2	cjcli 15135	. . . . 5 ⊢ (∗‘𝐵) ∈ ℂ
17		mulcan2 11816	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)) → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
18	16, 2, 17	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0) → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
19	12, 15, 18	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
20	11, 19	sylan9bb 509	. 2 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
21	2	cjrebi 15140	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵)
22	20, 21	bitr4di 289	1 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   < clt 11208  ∗ccj 15062   ℋchba 30848   ·_ℎ csm 30850   ·_ih csp 30851  0_ℎc0v 30853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-hfvmul 30934  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067

This theorem is referenced by:  eigre  31764  eigposi  31765