HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem7 28877
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem7.4 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem7 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Proof of Theorem normlem7
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
2 normlem1.2 . . . . . 6 𝐹 ∈ ℋ
3 normlem1.3 . . . . . 6 𝐺 ∈ ℋ
4 eqid 2821 . . . . . 6 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
51, 2, 3, 4normlem2 28872 . . . . 5 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
61cjcli 14507 . . . . . . . 8 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
72, 3hicli 28842 . . . . . . . 8 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
86, 7mulcli 10625 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
93, 2hicli 28842 . . . . . . . 8 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
101, 9mulcli 10625 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
118, 10addcli 10624 . . . . . 6 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
1211negrebi 10937 . . . . 5 (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ)
135, 12mpbi 233 . . . 4 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
1413leabsi 14718 . . 3 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
1511absnegi 14739 . . 3 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
1614, 15breqtrri 5066 . 2 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
17 eqid 2821 . . 3 (𝐺 ·ih 𝐺) = (𝐺 ·ih 𝐺)
18 eqid 2821 . . 3 (𝐹 ·ih 𝐹) = (𝐹 ·ih 𝐹)
19 normlem7.4 . . 3 (abs‘𝑆) = 1
201, 2, 3, 4, 17, 18, 19normlem6 28876 . 2 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
2111negcli 10931 . . . 4 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2221abscli 14734 . . 3 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
23 2re 11689 . . . 4 2 ∈ ℝ
24 hiidge0 28859 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
25 hiidrcl 28856 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
263, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
2726sqrtcli 14710 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺) → (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ)
283, 24, 27mp2b 10 . . . . 5 (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ
29 hiidge0 28859 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
30 hiidrcl 28856 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
312, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
3231sqrtcli 14710 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹) → (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ)
332, 29, 32mp2b 10 . . . . 5 (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ
3428, 33remulcli 10634 . . . 4 ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
3523, 34remulcli 10634 . . 3 (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
3613, 22, 35letri 10746 . 2 (((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∧ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))) → (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))))
3716, 20, 36mp2an 691 1 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  cle 10653  -cneg 10848  2c2 11670  ccj 14434  csqrt 14571  abscabs 14572  chba 28680   ·ih csp 28683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-hfvadd 28761  ax-hv0cl 28764  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulass 28768  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-hvsub 28732
This theorem is referenced by:  normlem7tALT  28880  norm-ii-i  28898
  Copyright terms: Public domain W3C validator