Theorem normlem7 31187

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem7.4	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem7	⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Proof of Theorem normlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
2		normlem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
5	1, 2, 3, 4	normlem2 31182	. . . . 5 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
6	1	cjcli 15131	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
7	2, 3	hicli 31152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
9	3, 2	hicli 31152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
10	1, 9	mulcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
11	8, 10	addcli 11151	. . . . . 6 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
12	11	negrebi 11468	. . . . 5 ⊢ (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ)
13	5, 12	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
14	13	leabsi 15342	. . 3 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
15	11	absnegi 15363	. . 3 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
16	14, 15	breqtrri 5112	. 2 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) = (𝐺 ·ih 𝐺)
18		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) = (𝐹 ·ih 𝐹)
19		normlem7.4	. . 3 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
20	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	normlem6 31186	. 2 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
21	11	negcli 11462	. . . 4 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
22	21	abscli 15358	. . 3 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
23		2re 12255	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
24		hiidge0 31169	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
25		hiidrcl 31166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
27	26	sqrtcli 15334	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺) → (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ)
28	3, 24, 27	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ
29		hiidge0 31169	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
30		hiidrcl 31166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
31	2, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
32	31	sqrtcli 15334	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹) → (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ)
33	2, 29, 32	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ
34	28, 33	remulcli 11161	. . . 4 ⊢ ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
35	23, 34	remulcli 11161	. . 3 ⊢ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
36	13, 22, 35	letri 11275	. 2 ⊢ (((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∧ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))) → (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))))
37	16, 20, 36	mp2an 693	1 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11180  -cneg 11378  2c2 12236  ∗ccj 15058  √csqrt 15195  abscabs 15196   ℋchba 30990   ·_ih csp 30993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-hfvadd 31071  ax-hv0cl 31074  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulass 31078  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-hvsub 31042

This theorem is referenced by:  normlem7tALT  31190  norm-ii-i  31208