HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem7 30107
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 ๐‘† โˆˆ โ„‚
normlem1.2 ๐น โˆˆ โ„‹
normlem1.3 ๐บ โˆˆ โ„‹
normlem7.4 (absโ€˜๐‘†) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem7 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) ยท (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น))))

Proof of Theorem normlem7
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . . . 6 ๐‘† โˆˆ โ„‚
2 normlem1.2 . . . . . 6 ๐น โˆˆ โ„‹
3 normlem1.3 . . . . . 6 ๐บ โˆˆ โ„‹
4 eqid 2733 . . . . . 6 -(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) = -(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))
51, 2, 3, 4normlem2 30102 . . . . 5 -(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โˆˆ โ„
61cjcli 15063 . . . . . . . 8 (โˆ—โ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚
72, 3hicli 30072 . . . . . . . 8 (๐น ยทih ๐บ) โˆˆ โ„‚
86, 7mulcli 11170 . . . . . . 7 ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) โˆˆ โ„‚
93, 2hicli 30072 . . . . . . . 8 (๐บ ยทih ๐น) โˆˆ โ„‚
101, 9mulcli 11170 . . . . . . 7 (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) โˆˆ โ„‚
118, 10addcli 11169 . . . . . 6 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โˆˆ โ„‚
1211negrebi 11483 . . . . 5 (-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โˆˆ โ„ โ†” (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โˆˆ โ„)
135, 12mpbi 229 . . . 4 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โˆˆ โ„
1413leabsi 15273 . . 3 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โ‰ค (absโ€˜(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))))
1511absnegi 15294 . . 3 (absโ€˜-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))) = (absโ€˜(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))))
1614, 15breqtrri 5136 . 2 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โ‰ค (absโ€˜-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))))
17 eqid 2733 . . 3 (๐บ ยทih ๐บ) = (๐บ ยทih ๐บ)
18 eqid 2733 . . 3 (๐น ยทih ๐น) = (๐น ยทih ๐น)
19 normlem7.4 . . 3 (absโ€˜๐‘†) = 1
201, 2, 3, 4, 17, 18, 19normlem6 30106 . 2 (absโ€˜-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) ยท (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น))))
2111negcli 11477 . . . 4 -(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โˆˆ โ„‚
2221abscli 15289 . . 3 (absโ€˜-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))) โˆˆ โ„
23 2re 12235 . . . 4 2 โˆˆ โ„
24 hiidge0 30089 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (๐บ ยทih ๐บ))
25 hiidrcl 30086 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐บ ยทih ๐บ) โˆˆ โ„)
263, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (๐บ ยทih ๐บ) โˆˆ โ„
2726sqrtcli 15265 . . . . . 6 (0 โ‰ค (๐บ ยทih ๐บ) โ†’ (โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) โˆˆ โ„)
283, 24, 27mp2b 10 . . . . 5 (โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) โˆˆ โ„
29 hiidge0 30089 . . . . . 6 (๐น โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (๐น ยทih ๐น))
30 hiidrcl 30086 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐น ยทih ๐น) โˆˆ โ„)
312, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (๐น ยทih ๐น) โˆˆ โ„
3231sqrtcli 15265 . . . . . 6 (0 โ‰ค (๐น ยทih ๐น) โ†’ (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น)) โˆˆ โ„)
332, 29, 32mp2b 10 . . . . 5 (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น)) โˆˆ โ„
3428, 33remulcli 11179 . . . 4 ((โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) ยท (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น))) โˆˆ โ„
3523, 34remulcli 11179 . . 3 (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) ยท (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น)))) โˆˆ โ„
3613, 22, 35letri 11292 . 2 (((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โ‰ค (absโ€˜-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))) โˆง (absโ€˜-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) ยท (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น))))) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) ยท (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น)))))
3716, 20, 36mp2an 691 1 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐บ ยทih ๐บ)) ยท (โˆšโ€˜(๐น ยทih ๐น))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198  -cneg 11394  2c2 12216  โˆ—ccj 14990  โˆšcsqrt 15127  abscabs 15128   โ„‹chba 29910   ยทih csp 29913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hfvadd 29991  ax-hv0cl 29994  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulass 29998  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-hvsub 29962
This theorem is referenced by:  normlem7tALT  30110  norm-ii-i  30128
  Copyright terms: Public domain W3C validator