Theorem normlem7 31060

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem7.4	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem7	⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Proof of Theorem normlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
2		normlem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
5	1, 2, 3, 4	normlem2 31055	. . . . 5 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
6	1	cjcli 15076	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
7	2, 3	hicli 31025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11122	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
9	3, 2	hicli 31025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
10	1, 9	mulcli 11122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
11	8, 10	addcli 11121	. . . . . 6 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
12	11	negrebi 11438	. . . . 5 ⊢ (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ)
13	5, 12	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
14	13	leabsi 15287	. . 3 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
15	11	absnegi 15308	. . 3 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
16	14, 15	breqtrri 5119	. 2 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) = (𝐺 ·ih 𝐺)
18		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) = (𝐹 ·ih 𝐹)
19		normlem7.4	. . 3 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
20	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	normlem6 31059	. 2 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
21	11	negcli 11432	. . . 4 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
22	21	abscli 15303	. . 3 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
23		2re 12202	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
24		hiidge0 31042	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
25		hiidrcl 31039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
27	26	sqrtcli 15279	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺) → (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ)
28	3, 24, 27	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ
29		hiidge0 31042	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
30		hiidrcl 31039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
31	2, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
32	31	sqrtcli 15279	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹) → (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ)
33	2, 29, 32	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ
34	28, 33	remulcli 11131	. . . 4 ⊢ ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
35	23, 34	remulcli 11131	. . 3 ⊢ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
36	13, 22, 35	letri 11245	. 2 ⊢ (((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∧ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))) → (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))))
37	16, 20, 36	mp2an 692	1 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   ≤ cle 11150  -cneg 11348  2c2 12183  ∗ccj 15003  √csqrt 15140  abscabs 15141   ℋchba 30863   ·_ih csp 30866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-hfvadd 30944  ax-hv0cl 30947  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulass 30951  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his2 31027  ax-his3 31028  ax-his4 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-hvsub 30915

This theorem is referenced by:  normlem7tALT  31063  norm-ii-i  31081