Theorem normlem7 31049

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem7.4	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem7	⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Proof of Theorem normlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
2		normlem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
5	1, 2, 3, 4	normlem2 31044	. . . . 5 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
6	1	cjcli 15174	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
7	2, 3	hicli 31014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11271	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
9	3, 2	hicli 31014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
10	1, 9	mulcli 11271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
11	8, 10	addcli 11270	. . . . . 6 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
12	11	negrebi 11584	. . . . 5 ⊢ (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ)
13	5, 12	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
14	13	leabsi 15384	. . 3 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
15	11	absnegi 15405	. . 3 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
16	14, 15	breqtrri 5180	. 2 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
17		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) = (𝐺 ·ih 𝐺)
18		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) = (𝐹 ·ih 𝐹)
19		normlem7.4	. . 3 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
20	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	normlem6 31048	. 2 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
21	11	negcli 11578	. . . 4 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
22	21	abscli 15400	. . 3 ⊢ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
23		2re 12338	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
24		hiidge0 31031	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
25		hiidrcl 31028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
27	26	sqrtcli 15376	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺) → (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ)
28	3, 24, 27	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ
29		hiidge0 31031	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
30		hiidrcl 31028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
31	2, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
32	31	sqrtcli 15376	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹) → (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ)
33	2, 29, 32	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ
34	28, 33	remulcli 11280	. . . 4 ⊢ ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
35	23, 34	remulcli 11280	. . 3 ⊢ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
36	13, 22, 35	letri 11393	. 2 ⊢ (((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∧ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))) → (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))))
37	16, 20, 36	mp2an 690	1 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   ≤ cle 11299  -cneg 11495  2c2 12319  ∗ccj 15101  √csqrt 15238  abscabs 15239   ℋchba 30852   ·_ih csp 30855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-hfvadd 30933  ax-hv0cl 30936  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulass 30940  ax-hvmul0 30943  ax-hfi 31012  ax-his1 31015  ax-his2 31016  ax-his3 31017  ax-his4 31018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-hvsub 30904

This theorem is referenced by:  normlem7tALT  31052  norm-ii-i  31070