HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2ctlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2ctlem 30296
Description: Lemma for h1de2ci 30297. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
h1de2.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
h1de2ctlem (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem h1de2ctlem
StepHypRef Expression
1 h1de2.1 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„‹
21elexi 3463 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ V
32elsn 4600 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ {0โ„Ž} โ†” ๐ด = 0โ„Ž)
4 hsn0elch 29989 . . . . . . . 8 {0โ„Ž} โˆˆ Cโ„‹
54ococi 30146 . . . . . . 7 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{0โ„Ž})) = {0โ„Ž}
65eleq2i 2830 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{0โ„Ž})) โ†” ๐ด โˆˆ {0โ„Ž})
7 h1de2.2 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„‹
8 ax-hvmul0 29751 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž
109eqeq2i 2751 . . . . . 6 (๐ด = (0 ยทโ„Ž ๐ต) โ†” ๐ด = 0โ„Ž)
113, 6, 103bitr4ri 304 . . . . 5 (๐ด = (0 ยทโ„Ž ๐ต) โ†” ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{0โ„Ž})))
12 sneq 4595 . . . . . . . 8 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ {๐ต} = {0โ„Ž})
1312fveq2d 6842 . . . . . . 7 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (โŠฅโ€˜{๐ต}) = (โŠฅโ€˜{0โ„Ž}))
1413fveq2d 6842 . . . . . 6 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{0โ„Ž})))
1514eleq2d 2824 . . . . 5 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{0โ„Ž}))))
1611, 15bitr4id 290 . . . 4 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด = (0 ยทโ„Ž ๐ต) โ†” ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
17 0cn 11081 . . . . 5 0 โˆˆ โ„‚
18 oveq1 7357 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต) = (0 ยทโ„Ž ๐ต))
1918rspceeqv 3594 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = (0 ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต))
2017, 19mpan 689 . . . 4 (๐ด = (0 ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต))
2116, 20syl6bir 254 . . 3 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต)))
221, 7h1de2bi 30295 . . . 4 (๐ต โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))
23 his6 29840 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ต ยทih ๐ต) = 0 โ†” ๐ต = 0โ„Ž))
247, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทih ๐ต) = 0 โ†” ๐ต = 0โ„Ž)
2524necon3bii 2995 . . . . . . 7 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†” ๐ต โ‰  0โ„Ž)
261, 7hicli 29822 . . . . . . . 8 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
277, 7hicli 29822 . . . . . . . 8 (๐ต ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
2826, 27divclzi 11824 . . . . . . 7 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2925, 28sylbir 234 . . . . . 6 (๐ต โ‰  0โ„Ž โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
30 oveq1 7357 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต) = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3130rspceeqv 3594 . . . . . 6 ((((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต))
3229, 31sylan 581 . . . . 5 ((๐ต โ‰  0โ„Ž โˆง ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต))
3332ex 414 . . . 4 (๐ต โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต)))
3422, 33sylbid 239 . . 3 (๐ต โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต)))
3521, 34pm2.61ine 3027 . 2 (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต))
36 snssi 4767 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ {๐ต} โŠ† โ„‹)
37 occl 30045 . . . . . . . 8 ({๐ต} โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜{๐ต}) โˆˆ Cโ„‹ )
387, 36, 37mp2b 10 . . . . . . 7 (โŠฅโ€˜{๐ต}) โˆˆ Cโ„‹
3938choccli 30048 . . . . . 6 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Cโ„‹
4039chshii 29968 . . . . 5 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Sโ„‹
41 h1did 30292 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
427, 41ax-mp 5 . . . . 5 ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))
43 shmulcl 29959 . . . . 5 (((โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
4440, 42, 43mp3an13 1453 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
45 eleq1 2826 . . . 4 (๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
4644, 45syl5ibrcom 247 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
4746rexlimiv 3144 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
4835, 47impbii 208 1 (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ๐ด = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072   โŠ† wss 3909  {csn 4585  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985   / cdiv 11746   โ„‹chba 29660   ยทโ„Ž csm 29662   ยทih csp 29663  0โ„Žc0v 29665   Sโ„‹ csh 29669   Cโ„‹ cch 29670  โŠฅcort 29671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cc 10305  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065  ax-hilex 29740  ax-hfvadd 29741  ax-hvcom 29742  ax-hvass 29743  ax-hv0cl 29744  ax-hvaddid 29745  ax-hfvmul 29746  ax-hvmulid 29747  ax-hvmulass 29748  ax-hvdistr1 29749  ax-hvdistr2 29750  ax-hvmul0 29751  ax-hfi 29820  ax-his1 29823  ax-his2 29824  ax-his3 29825  ax-his4 29826  ax-hcompl 29943
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-sum 15506  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-starv 17083  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-unif 17091  df-hom 17092  df-cco 17093  df-rest 17239  df-topn 17240  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-topgen 17260  df-pt 17261  df-prds 17264  df-xrs 17319  df-qtop 17324  df-imas 17325  df-xps 17327  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-mulg 18807  df-cntz 19030  df-cmn 19494  df-psmet 20712  df-xmet 20713  df-met 20714  df-bl 20715  df-mopn 20716  df-fbas 20717  df-fg 20718  df-cnfld 20721  df-top 22166  df-topon 22183  df-topsp 22205  df-bases 22219  df-cld 22293  df-ntr 22294  df-cls 22295  df-nei 22372  df-cn 22501  df-cnp 22502  df-lm 22503  df-haus 22589  df-tx 22836  df-hmeo 23029  df-fil 23120  df-fm 23212  df-flim 23213  df-flf 23214  df-xms 23596  df-ms 23597  df-tms 23598  df-cfil 24542  df-cau 24543  df-cmet 24544  df-grpo 29234  df-gid 29235  df-ginv 29236  df-gdiv 29237  df-ablo 29286  df-vc 29300  df-nv 29333  df-va 29336  df-ba 29337  df-sm 29338  df-0v 29339  df-vs 29340  df-nmcv 29341  df-ims 29342  df-dip 29442  df-ssp 29463  df-ph 29554  df-cbn 29604  df-hnorm 29709  df-hba 29710  df-hvsub 29712  df-hlim 29713  df-hcau 29714  df-sh 29948  df-ch 29962  df-oc 29993  df-ch0 29994
This theorem is referenced by:  h1de2ci  30297
  Copyright terms: Public domain W3C validator