Theorem h1de2ctlem 31521

Description: Lemma for h1de2ci 31522. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1de2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1de2ctlem	⊢ (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem h1de2ctlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1de2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2	1	elexi 3487	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	elsn 4623	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ {0ℎ} ↔ 𝐴 = 0ℎ)
4		hsn0elch 31214	. . . . . . . 8 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ
5	4	ococi 31371	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘{0ℎ})) = {0ℎ}
6	5	eleq2i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0ℎ})) ↔ 𝐴 ∈ {0ℎ})
7		h1de2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
8		ax-hvmul0 30976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ
10	9	eqeq2i 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 = 0ℎ)
11	3, 6, 10	3bitr4ri 304	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0ℎ})))
12		sneq 4618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → {𝐵} = {0ℎ})
13	12	fveq2d 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (⊥‘{𝐵}) = (⊥‘{0ℎ}))
14	13	fveq2d 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) = (⊥‘(⊥‘{0ℎ})))
15	14	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0ℎ}))))
16	11, 15	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
17		0cn 11236	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
19	18	rspceeqv 3629	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
20	17, 19	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
21	16, 20	biimtrrdi 254	. . 3 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
22	1, 7	h1de2bi 31520	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 0ℎ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵)))
23		his6 31065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0ℎ))
24	7, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0ℎ)
25	24	necon3bii 2983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0ℎ)
26	1, 7	hicli 31047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
27	7, 7	hicli 31047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
28	26, 27	divclzi 11985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
29	25, 28	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 0ℎ → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
30		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵))
31	30	rspceeqv 3629	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
32	29, 31	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
34	22, 33	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 0ℎ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
35	21, 34	pm2.61ine 3014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
36		snssi 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
37		occl 31270	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝐵}) ∈ Cℋ )
38	7, 36, 37	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘{𝐵}) ∈ Cℋ
39	38	choccli 31273	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ Cℋ
40	39	chshii 31193	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ Sℋ
41		h1did 31517	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
42	7, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))
43		shmulcl 31184	. . . . 5 ⊢ (((⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → (𝑥 ·ℎ 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
44	40, 42, 43	mp3an13 1453	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ·ℎ 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
45		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝑥 ·ℎ 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
46	44, 45	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
47	46	rexlimiv 3135	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
48	35, 47	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3933  {csn 4608  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11136  0cc0 11138   / cdiv 11903   ℋchba 30885   ·_ℎ csm 30887   ·_ih csp 30888  0_ℎc0v 30890   S_ℋ csh 30894   C_ℋ cch 30895  ⊥cort 30896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30965  ax-hfvadd 30966  ax-hvcom 30967  ax-hvass 30968  ax-hv0cl 30969  ax-hvaddid 30970  ax-hfvmul 30971  ax-hvmulid 30972  ax-hvmulass 30973  ax-hvdistr1 30974  ax-hvdistr2 30975  ax-hvmul0 30976  ax-hfi 31045  ax-his1 31048  ax-his2 31049  ax-his3 31050  ax-his4 31051  ax-hcompl 31168

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-oadd 8493  df-omul 8494  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17443  df-topn 17444  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-topgen 17464  df-pt 17465  df-prds 17468  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-mulg 19060  df-cntz 19309  df-cmn 19773  df-psmet 21323  df-xmet 21324  df-met 21325  df-bl 21326  df-mopn 21327  df-fbas 21328  df-fg 21329  df-cnfld 21332  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-cld 22992  df-ntr 22993  df-cls 22994  df-nei 23071  df-cn 23200  df-cnp 23201  df-lm 23202  df-haus 23288  df-tx 23535  df-hmeo 23728  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cfil 25244  df-cau 25245  df-cmet 25246  df-grpo 30459  df-gid 30460  df-ginv 30461  df-gdiv 30462  df-ablo 30511  df-vc 30525  df-nv 30558  df-va 30561  df-ba 30562  df-sm 30563  df-0v 30564  df-vs 30565  df-nmcv 30566  df-ims 30567  df-dip 30667  df-ssp 30688  df-ph 30779  df-cbn 30829  df-hnorm 30934  df-hba 30935  df-hvsub 30937  df-hlim 30938  df-hcau 30939  df-sh 31173  df-ch 31187  df-oc 31218  df-ch0 31219

This theorem is referenced by:  h1de2ci  31522