Theorem h1de2ctlem 32139

Description: Lemma for h1de2ci 32140. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1de2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1de2ctlem	⊢ (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem h1de2ctlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1de2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2	1	elexi 3473	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	elsn 4599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ {0ℎ} ↔ 𝐴 = 0ℎ)
4		hsn0elch 31832	. . . . . . . 8 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ
5	4	ococi 31989	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘{0ℎ})) = {0ℎ}
6	5	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0ℎ})) ↔ 𝐴 ∈ {0ℎ})
7		h1de2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
8		ax-hvmul0 31594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ
10	9	eqeq2i 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 = 0ℎ)
11	3, 6, 10	3bitr4ri 307	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0ℎ})))
12		sneq 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → {𝐵} = {0ℎ})
13	12	fveq2d 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (⊥‘{𝐵}) = (⊥‘{0ℎ}))
14	13	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) = (⊥‘(⊥‘{0ℎ})))
15	14	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0ℎ}))))
16	11, 15	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
17		0cn 11279	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
19	18	rspceeqv 3599	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
20	17, 19	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0 ·ℎ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
21	16, 20	biimtrrdi 257	. . 3 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
22	1, 7	h1de2bi 32138	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 0ℎ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵)))
23		his6 31683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0ℎ))
24	7, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0ℎ)
25	24	necon3bii 3008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0ℎ)
26	1, 7	hicli 31665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
27	7, 7	hicli 31665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
28	26, 27	divclzi 12033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
29	25, 28	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 0ℎ → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
30		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵))
31	30	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
32	29, 31	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
33	32	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
34	22, 33	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 0ℎ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
35	21, 34	pm2.61ine 3039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
36		snssi 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
37		occl 31888	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝐵}) ∈ Cℋ )
38	7, 36, 37	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘{𝐵}) ∈ Cℋ
39	38	choccli 31891	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ Cℋ
40	39	chshii 31811	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ Sℋ
41		h1did 32135	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
42	7, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))
43		shmulcl 31802	. . . . 5 ⊢ (((⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → (𝑥 ·ℎ 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
44	40, 42, 43	mp3an13 1481	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ·ℎ 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
45		eleq1 2849	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝑥 ·ℎ 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
46	44, 45	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
47	46	rexlimiv 3157	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
48	35, 47	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   / cdiv 11954   ℋchba 31503   ·_ℎ csm 31505   ·_ih csp 31506  0_ℎc0v 31508   S_ℋ csh 31512   C_ℋ cch 31513  ⊥cort 31514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hvcom 31585  ax-hvass 31586  ax-hv0cl 31587  ax-hvaddid 31588  ax-hfvmul 31589  ax-hvmulid 31590  ax-hvmulass 31591  ax-hvdistr1 31592  ax-hvdistr2 31593  ax-hvmul0 31594  ax-hfi 31663  ax-his1 31666  ax-his2 31667  ax-his3 31668  ax-his4 31669  ax-hcompl 31786

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-lm 23527  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cfil 25556  df-cau 25557  df-cmet 25558  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-gdiv 31080  df-ablo 31129  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-vs 31183  df-nmcv 31184  df-ims 31185  df-dip 31285  df-ssp 31306  df-ph 31397  df-cbn 31447  df-hnorm 31552  df-hba 31553  df-hvsub 31555  df-hlim 31556  df-hcau 31557  df-sh 31791  df-ch 31805  df-oc 31836  df-ch0 31837

This theorem is used by:  h1de2ci  32140