HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2ctlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2ctlem 29327
Description: Lemma for h1de2ci 29328. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1de2ctlem (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem h1de2ctlem
StepHypRef Expression
1 sneq 4558 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → {𝐵} = {0})
21fveq2d 6655 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (⊥‘{𝐵}) = (⊥‘{0}))
32fveq2d 6655 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) = (⊥‘(⊥‘{0})))
43eleq2d 2901 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0}))))
5 h1de2.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℋ
65elexi 3498 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
76elsn 4563 . . . . . 6 (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
8 hsn0elch 29020 . . . . . . . 8 {0} ∈ C
98ococi 29177 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘{0})) = {0}
109eleq2i 2907 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0})) ↔ 𝐴 ∈ {0})
11 h1de2.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℋ
12 ax-hvmul0 28782 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 · 𝐵) = 0
1413eqeq2i 2837 . . . . . 6 (𝐴 = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0)
157, 10, 143bitr4ri 307 . . . . 5 (𝐴 = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0})))
164, 15syl6rbbr 293 . . . 4 (𝐵 = 0 → (𝐴 = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
17 0cn 10618 . . . . 5 0 ∈ ℂ
18 oveq1 7145 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
1918rspceeqv 3623 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (0 · 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
2017, 19mpan 689 . . . 4 (𝐴 = (0 · 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
2116, 20syl6bir 257 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)))
225, 11h1de2bi 29326 . . . 4 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
23 his6 28871 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
2411, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
2524necon3bii 3065 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0)
265, 11hicli 28853 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2711, 11hicli 28853 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2826, 27divclzi 11360 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
2925, 28sylbir 238 . . . . . 6 (𝐵 ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
30 oveq1 7145 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) → (𝑥 · 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3130rspceeqv 3623 . . . . . 6 ((((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
3229, 31sylan 583 . . . . 5 ((𝐵 ≠ 0𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
3332ex 416 . . . 4 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)))
3422, 33sylbid 243 . . 3 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)))
3521, 34pm2.61ine 3096 . 2 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
36 snssi 4722 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
37 occl 29076 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝐵}) ∈ C )
3811, 36, 37mp2b 10 . . . . . . 7 (⊥‘{𝐵}) ∈ C
3938choccli 29079 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ C
4039chshii 28999 . . . . 5 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S
41 h1did 29323 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4211, 41ax-mp 5 . . . . 5 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))
43 shmulcl 28990 . . . . 5 (((⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → (𝑥 · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4440, 42, 43mp3an13 1449 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
45 eleq1 2903 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 · 𝐵) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝑥 · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4644, 45syl5ibrcom 250 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 = (𝑥 · 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4746rexlimiv 3272 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4835, 47impbii 212 1 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133  wss 3918  {csn 4548  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520  0cc0 10522   / cdiv 11282  chba 28691   · csm 28693   ·ih csp 28694  0c0v 28696   S csh 28700   C cch 28701  cort 28702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cc 9842  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602  ax-hilex 28771  ax-hfvadd 28772  ax-hvcom 28773  ax-hvass 28774  ax-hv0cl 28775  ax-hvaddid 28776  ax-hfvmul 28777  ax-hvmulid 28778  ax-hvmulass 28779  ax-hvdistr1 28780  ax-hvdistr2 28781  ax-hvmul0 28782  ax-hfi 28851  ax-his1 28854  ax-his2 28855  ax-his3 28856  ax-his4 28857  ax-hcompl 28974
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-lm 21823  df-haus 21909  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cfil 23848  df-cau 23849  df-cmet 23850  df-grpo 28265  df-gid 28266  df-ginv 28267  df-gdiv 28268  df-ablo 28317  df-vc 28331  df-nv 28364  df-va 28367  df-ba 28368  df-sm 28369  df-0v 28370  df-vs 28371  df-nmcv 28372  df-ims 28373  df-dip 28473  df-ssp 28494  df-ph 28585  df-cbn 28635  df-hnorm 28740  df-hba 28741  df-hvsub 28743  df-hlim 28744  df-hcau 28745  df-sh 28979  df-ch 28993  df-oc 29024  df-ch0 29025
This theorem is referenced by:  h1de2ci  29328
  Copyright terms: Public domain W3C validator