HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2i 28930
Description: Membership in 1-dimensional subspace. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 17-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1de2i (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))

Proof of Theorem h1de2i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1de2.2 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℋ
21, 1hicli 28456 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
3 h1de2.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 28389 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ
53, 1hicli 28456 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
65, 1hvmulcli 28389 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ
7 his2sub 28467 . . . . . . 7 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)))
84, 6, 3, 7mp3an 1586 . . . . . 6 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴))
9 ax-his3 28459 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
102, 3, 3, 9mp3an 1586 . . . . . . . 8 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
113, 3hicli 28456 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
122, 11mulcomi 10336 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵))
1310, 12eqtri 2820 . . . . . . 7 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵))
14 ax-his3 28459 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
155, 1, 3, 14mp3an 1586 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))
1613, 15oveq12i 6889 . . . . . 6 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
178, 16eqtr2i 2821 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴)
18 his2sub 28467 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)))
194, 6, 1, 18mp3an 1586 . . . . . . 7 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵))
202, 5mulcomi 10336 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))
21 ax-his3 28459 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
222, 3, 1, 21mp3an 1586 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵))
23 ax-his3 28459 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
245, 1, 1, 23mp3an 1586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))
2520, 22, 243eqtr4i 2830 . . . . . . . 8 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)
264, 1hicli 28456 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ
276, 1hicli 28456 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2826, 27subeq0i 10652 . . . . . . . 8 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)) = 0 ↔ (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵))
2925, 28mpbir 223 . . . . . . 7 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)) = 0
3019, 29eqtri 2820 . . . . . 6 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = 0
311h1dei 28927 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
323, 31mpbiran 701 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
334, 6hvsubcli 28396 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ
34 oveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))))
3534eqeq1d 2800 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
36 oveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))))
3736eqeq1d 2800 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
3835, 37imbi12d 336 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → (((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0) ↔ ((𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 → (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)))
3938rspcv 3492 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0) → ((𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 → (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)))
4033, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0) → ((𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 → (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
4132, 40sylbi 209 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 → (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
42 orthcom 28483 . . . . . . . 8 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
4333, 1, 42mp2an 684 . . . . . . 7 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)
44 orthcom 28483 . . . . . . . 8 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
4533, 3, 44mp2an 684 . . . . . . 7 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)
4641, 43, 453imtr4g 288 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = 0 → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = 0))
4730, 46mpi 20 . . . . 5 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = 0)
4817, 47syl5eq 2844 . . . 4 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))) = 0)
4911, 2mulcli 10335 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
501, 3hicli 28456 . . . . . 6 (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
515, 50mulcli 10335 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
5249, 51subeq0i 10652 . . . 4 ((((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))) = 0 ↔ ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5348, 52sylib 210 . . 3 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5453eqcomd 2804 . 2 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
553, 1bcseqi 28495 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
5654, 55sylib 210 1 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3088  {csn 4367  cfv 6100  (class class class)co 6877  cc 10221  0cc0 10223   · cmul 10228  cmin 10555  chba 28294   · csm 28296   ·ih csp 28297   cmv 28300  cort 28305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301  ax-addf 10302  ax-mulf 10303  ax-hilex 28374  ax-hfvadd 28375  ax-hvcom 28376  ax-hvass 28377  ax-hv0cl 28378  ax-hvaddid 28379  ax-hfvmul 28380  ax-hvmulid 28381  ax-hvmulass 28382  ax-hvdistr1 28383  ax-hvdistr2 28384  ax-hvmul0 28385  ax-hfi 28454  ax-his1 28457  ax-his2 28458  ax-his3 28459  ax-his4 28460  ax-hcompl 28577
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-supp 7532  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-2o 7799  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-pm 8097  df-ixp 8148  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-fsupp 8517  df-fi 8558  df-sup 8589  df-inf 8590  df-oi 8656  df-card 9050  df-cda 9277  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-n0 11578  df-z 11664  df-dec 11781  df-uz 11928  df-q 12031  df-rp 12072  df-xneg 12190  df-xadd 12191  df-xmul 12192  df-ioo 12425  df-icc 12428  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-seq 13053  df-exp 13112  df-hash 13368  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557  df-sum 14755  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-lm 21359  df-haus 21445  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-cau 23379  df-grpo 27866  df-gid 27867  df-ginv 27868  df-gdiv 27869  df-ablo 27918  df-vc 27932  df-nv 27965  df-va 27968  df-ba 27969  df-sm 27970  df-0v 27971  df-vs 27972  df-nmcv 27973  df-ims 27974  df-dip 28074  df-hnorm 28343  df-hvsub 28346  df-hlim 28347  df-hcau 28348  df-sh 28582  df-ch 28596  df-oc 28627
This theorem is referenced by:  h1de2bi  28931
  Copyright terms: Public domain W3C validator