HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2bi 28985
Description: Membership in 1-dimensional subspace. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1de2bi (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))

Proof of Theorem h1de2bi
StepHypRef Expression
1 h1de2.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
2 his6 28528 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
43necon3bii 3021 . 2 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0)
5 h1de2.1 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℋ
65, 1h1de2i 28984 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
76adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
87oveq2d 6938 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
91, 1hicli 28510 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
109recclzi 11100 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
11 ax-hvmulass 28436 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
129, 5, 11mp3an23 1526 . . . . . . . . . 10 ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
14 ax-1cn 10330 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1514, 9divcan1zi 11111 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = 1)
1615oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
1713, 16eqtr3d 2816 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
18 ax-hvmulid 28435 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 · 𝐴) = 𝐴
2017, 19syl6eq 2830 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
2120adantr 474 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
228, 21eqtr3d 2816 . . . . 5 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 𝐴)
235, 1hicli 28510 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
24 ax-hvmulass 28436 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
2523, 1, 24mp3an23 1526 . . . . . . . 8 ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
27 mulcom 10358 . . . . . . . . . 10 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
2810, 23, 27sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
2923, 9divreczi 11113 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
3028, 29eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
3130oveq1d 6937 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3226, 31eqtr3d 2816 . . . . . 6 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3332adantr 474 . . . . 5 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3422, 33eqtr3d 2816 . . . 4 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3534ex 403 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
3623, 9divclzi 11110 . . . . 5 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
371elexi 3415 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
3837snss 4549 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ ↔ {𝐵} ⊆ ℋ)
391, 38mpbi 222 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ ℋ
40 occl 28735 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝐵}) ∈ C )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘{𝐵}) ∈ C
4241choccli 28738 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ C
4342chshii 28656 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S
44 h1did 28982 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
451, 44ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))
46 shmulcl 28647 . . . . . 6 (((⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4743, 45, 46mp3an13 1525 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4836, 47syl 17 . . . 4 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
49 eleq1 2847 . . . 4 (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5048, 49syl5ibrcom 239 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5135, 50impbid 204 . 2 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
524, 51sylbir 227 1 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wss 3792  {csn 4398  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   / cdiv 11032  chba 28348   · csm 28350   ·ih csp 28351  0c0v 28353   S csh 28357   C cch 28358  cort 28359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cau 23462  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-hnorm 28397  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681
This theorem is referenced by:  h1de2ctlem  28986  elspansn2  28998
  Copyright terms: Public domain W3C validator