HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2bi 31062
Description: Membership in 1-dimensional subspace. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
h1de2.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
h1de2bi (๐ต โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))

Proof of Theorem h1de2bi
StepHypRef Expression
1 h1de2.2 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„‹
2 his6 30607 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ต ยทih ๐ต) = 0 โ†” ๐ต = 0โ„Ž))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((๐ต ยทih ๐ต) = 0 โ†” ๐ต = 0โ„Ž)
43necon3bii 2993 . 2 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†” ๐ต โ‰  0โ„Ž)
5 h1de2.1 . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„‹
65, 1h1de2i 31061 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต))
76adantl 482 . . . . . . 7 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต))
87oveq2d 7427 . . . . . 6 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)))
91, 1hicli 30589 . . . . . . . . . . 11 (๐ต ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
109recclzi 11943 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
11 ax-hvmulass 30515 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
129, 5, 11mp3an23 1453 . . . . . . . . . 10 ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
14 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
1514, 9divcan1zi 11954 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) = 1)
1615oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = (1 ยทโ„Ž ๐ด))
1713, 16eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = (1 ยทโ„Ž ๐ด))
18 ax-hvmulid 30514 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ด) = ๐ด)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 ยทโ„Ž ๐ด) = ๐ด
2017, 19eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = ๐ด)
2120adantr 481 . . . . . 6 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = ๐ด)
228, 21eqtr3d 2774 . . . . 5 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ด)
235, 1hicli 30589 . . . . . . . . 9 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
24 ax-hvmulass 30515 . . . . . . . . 9 (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)))
2523, 1, 24mp3an23 1453 . . . . . . . 8 ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)))
27 mulcom 11198 . . . . . . . . . 10 (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยท (1 / (๐ต ยทih ๐ต))))
2810, 23, 27sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยท (1 / (๐ต ยทih ๐ต))))
2923, 9divreczi 11956 . . . . . . . . 9 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยท (1 / (๐ต ยทih ๐ต))))
3028, 29eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)))
3130oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3226, 31eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3332adantr 481 . . . . 5 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3422, 33eqtr3d 2774 . . . 4 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3534ex 413 . . 3 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))
3623, 9divclzi 11953 . . . . 5 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
371elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ V
3837snss 4789 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†” {๐ต} โŠ† โ„‹)
391, 38mpbi 229 . . . . . . . . 9 {๐ต} โŠ† โ„‹
40 occl 30812 . . . . . . . . 9 ({๐ต} โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜{๐ต}) โˆˆ Cโ„‹ )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โŠฅโ€˜{๐ต}) โˆˆ Cโ„‹
4241choccli 30815 . . . . . . 7 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Cโ„‹
4342chshii 30735 . . . . . 6 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Sโ„‹
44 h1did 31059 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
451, 44ax-mp 5 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))
46 shmulcl 30726 . . . . . 6 (((โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Sโ„‹ โˆง ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
4743, 45, 46mp3an13 1452 . . . . 5 (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
4836, 47syl 17 . . . 4 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
49 eleq1 2821 . . . 4 (๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
5048, 49syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
5135, 50impbid 211 . 2 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))
524, 51sylbir 234 1 (๐ต โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875   โ„‹chba 30427   ยทโ„Ž csm 30429   ยทih csp 30430  0โ„Žc0v 30432   Sโ„‹ csh 30436   Cโ„‹ cch 30437  โŠฅcort 30438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvmulass 30515  ax-hvdistr1 30516  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593  ax-hcompl 30710
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cau 24997  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-gdiv 30004  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-vs 30107  df-nmcv 30108  df-ims 30109  df-dip 30209  df-hnorm 30476  df-hvsub 30479  df-hlim 30480  df-hcau 30481  df-sh 30715  df-ch 30729  df-oc 30760
This theorem is referenced by:  h1de2ctlem  31063  elspansn2  31075
  Copyright terms: Public domain W3C validator