HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2bi 31436
Description: Membership in 1-dimensional subspace. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1de2bi (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))

Proof of Theorem h1de2bi
StepHypRef Expression
1 h1de2.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
2 his6 30981 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
43necon3bii 2982 . 2 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0)
5 h1de2.1 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℋ
65, 1h1de2i 31435 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
76adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
87oveq2d 7435 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
91, 1hicli 30963 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
109recclzi 11972 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
11 ax-hvmulass 30889 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
129, 5, 11mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
14 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1514, 9divcan1zi 11983 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = 1)
1615oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
1713, 16eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
18 ax-hvmulid 30888 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 · 𝐴) = 𝐴
2017, 19eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
2120adantr 479 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
228, 21eqtr3d 2767 . . . . 5 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 𝐴)
235, 1hicli 30963 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
24 ax-hvmulass 30889 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
2523, 1, 24mp3an23 1449 . . . . . . . 8 ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
27 mulcom 11226 . . . . . . . . . 10 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
2810, 23, 27sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
2923, 9divreczi 11985 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
3028, 29eqtr4d 2768 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
3130oveq1d 7434 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3226, 31eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3332adantr 479 . . . . 5 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3422, 33eqtr3d 2767 . . . 4 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3534ex 411 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
3623, 9divclzi 11982 . . . . 5 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
371elexi 3482 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
3837snss 4791 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ ↔ {𝐵} ⊆ ℋ)
391, 38mpbi 229 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ ℋ
40 occl 31186 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝐵}) ∈ C )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘{𝐵}) ∈ C
4241choccli 31189 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ C
4342chshii 31109 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S
44 h1did 31433 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
451, 44ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))
46 shmulcl 31100 . . . . . 6 (((⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4743, 45, 46mp3an13 1448 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4836, 47syl 17 . . . 4 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
49 eleq1 2813 . . . 4 (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5048, 49syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5135, 50impbid 211 . 2 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
524, 51sylbir 234 1 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wss 3944  {csn 4630  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   / cdiv 11903  chba 30801   · csm 30803   ·ih csp 30804  0c0v 30806   S csh 30810   C cch 30811  cort 30812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967  ax-hcompl 31084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-lm 23177  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cau 25228  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483  df-dip 30583  df-hnorm 30850  df-hvsub 30853  df-hlim 30854  df-hcau 30855  df-sh 31089  df-ch 31103  df-oc 31134
This theorem is referenced by:  h1de2ctlem  31437  elspansn2  31449
  Copyright terms: Public domain W3C validator