HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2bi 30807
Description: Membership in 1-dimensional subspace. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
h1de2.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
h1de2bi (๐ต โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))

Proof of Theorem h1de2bi
StepHypRef Expression
1 h1de2.2 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„‹
2 his6 30352 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ต ยทih ๐ต) = 0 โ†” ๐ต = 0โ„Ž))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((๐ต ยทih ๐ต) = 0 โ†” ๐ต = 0โ„Ž)
43necon3bii 2994 . 2 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†” ๐ต โ‰  0โ„Ž)
5 h1de2.1 . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„‹
65, 1h1de2i 30806 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต))
76adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต))
87oveq2d 7425 . . . . . 6 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)))
91, 1hicli 30334 . . . . . . . . . . 11 (๐ต ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
109recclzi 11939 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
11 ax-hvmulass 30260 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
129, 5, 11mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
14 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
1514, 9divcan1zi 11950 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) = 1)
1615oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = (1 ยทโ„Ž ๐ด))
1713, 16eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = (1 ยทโ„Ž ๐ด))
18 ax-hvmulid 30259 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ด) = ๐ด)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 ยทโ„Ž ๐ด) = ๐ด
2017, 19eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = ๐ด)
2120adantr 482 . . . . . 6 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ต ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = ๐ด)
228, 21eqtr3d 2775 . . . . 5 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ด)
235, 1hicli 30334 . . . . . . . . 9 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
24 ax-hvmulass 30260 . . . . . . . . 9 (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)))
2523, 1, 24mp3an23 1454 . . . . . . . 8 ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)))
27 mulcom 11196 . . . . . . . . . 10 (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยท (1 / (๐ต ยทih ๐ต))))
2810, 23, 27sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยท (1 / (๐ต ยทih ๐ต))))
2923, 9divreczi 11952 . . . . . . . . 9 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) = ((๐ด ยทih ๐ต) ยท (1 / (๐ต ยทih ๐ต))))
3028, 29eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)))
3130oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3226, 31eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3332adantr 482 . . . . 5 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ((1 / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ((๐ด ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3422, 33eqtr3d 2775 . . . 4 (((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต))
3534ex 414 . . 3 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))
3623, 9divclzi 11949 . . . . 5 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
371elexi 3494 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ V
3837snss 4790 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†” {๐ต} โŠ† โ„‹)
391, 38mpbi 229 . . . . . . . . 9 {๐ต} โŠ† โ„‹
40 occl 30557 . . . . . . . . 9 ({๐ต} โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜{๐ต}) โˆˆ Cโ„‹ )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โŠฅโ€˜{๐ต}) โˆˆ Cโ„‹
4241choccli 30560 . . . . . . 7 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Cโ„‹
4342chshii 30480 . . . . . 6 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Sโ„‹
44 h1did 30804 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
451, 44ax-mp 5 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))
46 shmulcl 30471 . . . . . 6 (((โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆˆ Sโ„‹ โˆง ((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))) โ†’ (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
4743, 45, 46mp3an13 1453 . . . . 5 (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
4836, 47syl 17 . . . 4 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})))
49 eleq1 2822 . . . 4 (๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
5048, 49syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
5135, 50impbid 211 . 2 ((๐ต ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))
524, 51sylbir 234 1 (๐ต โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” ๐ด = (((๐ด ยทih ๐ต) / (๐ต ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โŠ† wss 3949  {csn 4629  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   / cdiv 11871   โ„‹chba 30172   ยทโ„Ž csm 30174   ยทih csp 30175  0โ„Žc0v 30177   Sโ„‹ csh 30181   Cโ„‹ cch 30182  โŠฅcort 30183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cau 24773  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-hnorm 30221  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505
This theorem is referenced by:  h1de2ctlem  30808  elspansn2  30820
  Copyright terms: Public domain W3C validator