HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hisubcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hisubcomi 28477
Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hisubcom.1 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hisubcomi ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi
StepHypRef Expression
1 hisubcom.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
2 hisubcom.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
31, 2hvnegdii 28435 . . 3 (-1 · (𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵)
4 hisubcom.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
5 hisubcom.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
64, 5hvnegdii 28435 . . 3 (-1 · (𝐷 𝐶)) = (𝐶 𝐷)
73, 6oveq12i 6888 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷))
8 neg1cn 11430 . . . 4 -1 ∈ ℂ
91, 2hvsubcli 28394 . . . 4 (𝐵 𝐴) ∈ ℋ
104, 5hvsubcli 28394 . . . 4 (𝐷 𝐶) ∈ ℋ
118, 8, 9, 10his35i 28462 . . 3 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
12 neg1rr 11431 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
13 cjre 14216 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘-1) = -1
1514oveq2i 6887 . . . . 5 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16 ax-1cn 10280 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1716, 16mul2negi 10768 . . . . 5 (-1 · -1) = (1 · 1)
18 1t1e1 11478 . . . . 5 (1 · 1) = 1
1915, 17, 183eqtri 2823 . . . 4 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2019oveq1i 6886 . . 3 ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
219, 10hicli 28454 . . . 4 ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)) ∈ ℂ
2221mulid2i 10332 . . 3 (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
2311, 20, 223eqtri 2823 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
247, 23eqtr3i 2821 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6099  (class class class)co 6876  cr 10221  1c1 10223   · cmul 10227  -cneg 10555  ccj 14173  chba 28292   · csm 28294   ·ih csp 28295   cmv 28298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-hfvadd 28373  ax-hvcom 28374  ax-hfvmul 28378  ax-hvmulid 28379  ax-hvmulass 28380  ax-hvdistr1 28381  ax-hfi 28452  ax-his1 28455  ax-his3 28457
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-2 11372  df-cj 14176  df-re 14177  df-im 14178  df-hvsub 28344
This theorem is referenced by:  lnophmlem2  29392
  Copyright terms: Public domain W3C validator