Theorem hisubcomi 31006

Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hisubcom.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hisubcomi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hisubcom.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2		hisubcom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	hvnegdii 30964	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐵)
4		hisubcom.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
5		hisubcom.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	4, 5	hvnegdii 30964	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶)) = (𝐶 −ℎ 𝐷)
7	3, 6	oveq12i 7381	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷))
8		neg1cn 12147	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	1, 2	hvsubcli 30923	. . . 4 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ
10	4, 5	hvsubcli 30923	. . . 4 ⊢ (𝐷 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
11	8, 8, 9, 10	his35i 30991	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
12		neg1rr 12148	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 15081	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘-1) = -1
15	14	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16		ax-1cn 11102	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	16, 16	mul2negi 11602	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
18		1t1e1 12319	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
19	15, 17, 18	3eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (-1 · (∗‘-1)) = 1
20	19	oveq1i 7379	. . 3 ⊢ ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
21	9, 10	hicli 30983	. . . 4 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
22	21	mullidi 11155	. . 3 ⊢ (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
23	11, 20, 22	3eqtri 2756	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
24	7, 23	eqtr3i 2754	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   · cmul 11049  -cneg 11382  ∗ccj 15038   ℋchba 30821   ·_ℎ csm 30823   ·_ih csp 30824   −_ℎ cmv 30827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his3 30986

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-hvsub 30873

This theorem is referenced by:  lnophmlem2  31919