Theorem hisubcomi 28477

Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hisubcom.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hisubcomi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hisubcom.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2		hisubcom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	hvnegdii 28435	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐵)
4		hisubcom.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
5		hisubcom.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	4, 5	hvnegdii 28435	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶)) = (𝐶 −ℎ 𝐷)
7	3, 6	oveq12i 6888	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷))
8		neg1cn 11430	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	1, 2	hvsubcli 28394	. . . 4 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ
10	4, 5	hvsubcli 28394	. . . 4 ⊢ (𝐷 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
11	8, 8, 9, 10	his35i 28462	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
12		neg1rr 11431	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 14216	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘-1) = -1
15	14	oveq2i 6887	. . . . 5 ⊢ (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16		ax-1cn 10280	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	16, 16	mul2negi 10768	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
18		1t1e1 11478	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
19	15, 17, 18	3eqtri 2823	. . . 4 ⊢ (-1 · (∗‘-1)) = 1
20	19	oveq1i 6886	. . 3 ⊢ ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
21	9, 10	hicli 28454	. . . 4 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
22	21	mulid2i 10332	. . 3 ⊢ (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
23	11, 20, 22	3eqtri 2823	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
24	7, 23	eqtr3i 2821	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  ℝcr 10221  1c1 10223   · cmul 10227  -cneg 10555  ∗ccj 14173   ℋchba 28292   ·_ℎ csm 28294   ·_ih csp 28295   −_ℎ cmv 28298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-hfvadd 28373  ax-hvcom 28374  ax-hfvmul 28378  ax-hvmulid 28379  ax-hvmulass 28380  ax-hvdistr1 28381  ax-hfi 28452  ax-his1 28455  ax-his3 28457

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-2 11372  df-cj 14176  df-re 14177  df-im 14178  df-hvsub 28344

This theorem is referenced by:  lnophmlem2  29392