Theorem hisubcomi 31763

Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hisubcom.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hisubcomi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hisubcom.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2		hisubcom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	hvnegdii 31721	. . 3 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐵)
4		hisubcom.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
5		hisubcom.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	4, 5	hvnegdii 31721	. . 3 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶)) = (𝐶 −ℎ 𝐷)
7	3, 6	oveq12i 7463	. 2 ⊢ (( -1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih ( -1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷))
8		neg1cn 12345	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	1, 2	hvsubcli 31680	. . . 4 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ
10	4, 5	hvsubcli 31680	. . . 4 ⊢ (𝐷 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
11	8, 8, 9, 10	his35i 31748	. . 3 ⊢ (( -1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih ( -1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = (( -1 · (∗‘ -1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
12		neg1rr 12346	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 15349	. . . . . . 7 ⊢ ( -1 ∈ ℝ → (∗‘ -1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘ -1) = -1
15	14	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ( -1 · (∗‘ -1)) = ( -1 · -1)
16		ax-1cn 11297	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	16, 16	mul2negi 11803	. . . . 5 ⊢ ( -1 · -1) = (1 · 1)
18		1t1e1 12544	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
19	15, 17, 18	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ ( -1 · (∗‘ -1)) = 1
20	19	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ (( -1 · (∗‘ -1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
21	9, 10	hicli 31740	. . . 4 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
22	21	mullidi 11353	. . 3 ⊢ (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
23	11, 20, 22	3eqtri 2790	. 2 ⊢ (( -1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih ( -1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
24	7, 23	eqtr3i 2788	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   · cmul 11244   -cneg 11581  ∗ccj 15306   ℋchba 31578   ·_ℎ csm 31580   ·_ih csp 31581   −_ℎ cmv 31584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr1 31667  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his3 31743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-hvsub 31630

This theorem is used by:  lnophmlem2  32676