![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hisubcomi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hisubcom.1 | โข ๐ด โ โ |
hisubcom.2 | โข ๐ต โ โ |
hisubcom.3 | โข ๐ถ โ โ |
hisubcom.4 | โข ๐ท โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
hisubcomi | โข ((๐ด โโ ๐ต) ยทih (๐ถ โโ ๐ท)) = ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | hisubcom.2 | . . . 4 โข ๐ต โ โ | |
2 | hisubcom.1 | . . . 4 โข ๐ด โ โ | |
3 | 1, 2 | hvnegdii 30885 | . . 3 โข (-1 ยทโ (๐ต โโ ๐ด)) = (๐ด โโ ๐ต) |
4 | hisubcom.4 | . . . 4 โข ๐ท โ โ | |
5 | hisubcom.3 | . . . 4 โข ๐ถ โ โ | |
6 | 4, 5 | hvnegdii 30885 | . . 3 โข (-1 ยทโ (๐ท โโ ๐ถ)) = (๐ถ โโ ๐ท) |
7 | 3, 6 | oveq12i 7432 | . 2 โข ((-1 ยทโ (๐ต โโ ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ (๐ท โโ ๐ถ))) = ((๐ด โโ ๐ต) ยทih (๐ถ โโ ๐ท)) |
8 | neg1cn 12357 | . . . 4 โข -1 โ โ | |
9 | 1, 2 | hvsubcli 30844 | . . . 4 โข (๐ต โโ ๐ด) โ โ |
10 | 4, 5 | hvsubcli 30844 | . . . 4 โข (๐ท โโ ๐ถ) โ โ |
11 | 8, 8, 9, 10 | his35i 30912 | . . 3 โข ((-1 ยทโ (๐ต โโ ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ (๐ท โโ ๐ถ))) = ((-1 ยท (โโ-1)) ยท ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ))) |
12 | neg1rr 12358 | . . . . . . 7 โข -1 โ โ | |
13 | cjre 15119 | . . . . . . 7 โข (-1 โ โ โ (โโ-1) = -1) | |
14 | 12, 13 | ax-mp 5 | . . . . . 6 โข (โโ-1) = -1 |
15 | 14 | oveq2i 7431 | . . . . 5 โข (-1 ยท (โโ-1)) = (-1 ยท -1) |
16 | ax-1cn 11197 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
17 | 16, 16 | mul2negi 11693 | . . . . 5 โข (-1 ยท -1) = (1 ยท 1) |
18 | 1t1e1 12405 | . . . . 5 โข (1 ยท 1) = 1 | |
19 | 15, 17, 18 | 3eqtri 2760 | . . . 4 โข (-1 ยท (โโ-1)) = 1 |
20 | 19 | oveq1i 7430 | . . 3 โข ((-1 ยท (โโ-1)) ยท ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ))) = (1 ยท ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ))) |
21 | 9, 10 | hicli 30904 | . . . 4 โข ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) โ โ |
22 | 21 | mullidi 11250 | . . 3 โข (1 ยท ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ))) = ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) |
23 | 11, 20, 22 | 3eqtri 2760 | . 2 โข ((-1 ยทโ (๐ต โโ ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ (๐ท โโ ๐ถ))) = ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) |
24 | 7, 23 | eqtr3i 2758 | 1 โข ((๐ด โโ ๐ต) ยทih (๐ถ โโ ๐ท)) = ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6548 (class class class)co 7420 โcr 11138 1c1 11140 ยท cmul 11144 -cneg 11476 โccj 15076 โchba 30742 ยทโ csm 30744 ยทih csp 30745 โโ cmv 30748 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 ax-hfvadd 30823 ax-hvcom 30824 ax-hfvmul 30828 ax-hvmulid 30829 ax-hvmulass 30830 ax-hvdistr1 30831 ax-hfi 30902 ax-his1 30905 ax-his3 30907 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-po 5590 df-so 5591 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-div 11903 df-2 12306 df-cj 15079 df-re 15080 df-im 15081 df-hvsub 30794 |
This theorem is referenced by: lnophmlem2 31840 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |