HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hisubcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hisubcomi 30862
Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hisubcom.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
hisubcom.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
hisubcom.3 ๐ถ โˆˆ โ„‹
hisubcom.4 ๐ท โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hisubcomi ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ถ โˆ’โ„Ž ๐ท)) = ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))

Proof of Theorem hisubcomi
StepHypRef Expression
1 hisubcom.2 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„‹
2 hisubcom.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‹
31, 2hvnegdii 30820 . . 3 (-1 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) = (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)
4 hisubcom.4 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„‹
5 hisubcom.3 . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„‹
64, 5hvnegdii 30820 . . 3 (-1 ยทโ„Ž (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = (๐ถ โˆ’โ„Ž ๐ท)
73, 6oveq12i 7416 . 2 ((-1 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ„Ž (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ถ โˆ’โ„Ž ๐ท))
8 neg1cn 12327 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
91, 2hvsubcli 30779 . . . 4 (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹
104, 5hvsubcli 30779 . . . 4 (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹
118, 8, 9, 10his35i 30847 . . 3 ((-1 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ„Ž (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((-1 ยท (โˆ—โ€˜-1)) ยท ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
12 neg1rr 12328 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„
13 cjre 15090 . . . . . . 7 (-1 โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜-1) = -1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (โˆ—โ€˜-1) = -1
1514oveq2i 7415 . . . . 5 (-1 ยท (โˆ—โ€˜-1)) = (-1 ยท -1)
16 ax-1cn 11167 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
1716, 16mul2negi 11663 . . . . 5 (-1 ยท -1) = (1 ยท 1)
18 1t1e1 12375 . . . . 5 (1 ยท 1) = 1
1915, 17, 183eqtri 2758 . . . 4 (-1 ยท (โˆ—โ€˜-1)) = 1
2019oveq1i 7414 . . 3 ((-1 ยท (โˆ—โ€˜-1)) ยท ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = (1 ยท ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
219, 10hicli 30839 . . . 4 ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚
2221mullidi 11220 . . 3 (1 ยท ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))
2311, 20, 223eqtri 2758 . 2 ((-1 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ„Ž (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))
247, 23eqtr3i 2756 1 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ถ โˆ’โ„Ž ๐ท)) = ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  1c1 11110   ยท cmul 11114  -cneg 11446  โˆ—ccj 15047   โ„‹chba 30677   ยทโ„Ž csm 30679   ยทih csp 30680   โˆ’โ„Ž cmv 30683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-hfvadd 30758  ax-hvcom 30759  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvmulass 30765  ax-hvdistr1 30766  ax-hfi 30837  ax-his1 30840  ax-his3 30842
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-hvsub 30729
This theorem is referenced by:  lnophmlem2  31775
  Copyright terms: Public domain W3C validator