Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hisubcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hisubcomi 28873
 Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hisubcom.1 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hisubcomi ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi
StepHypRef Expression
1 hisubcom.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
2 hisubcom.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
31, 2hvnegdii 28831 . . 3 (-1 · (𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵)
4 hisubcom.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
5 hisubcom.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
64, 5hvnegdii 28831 . . 3 (-1 · (𝐷 𝐶)) = (𝐶 𝐷)
73, 6oveq12i 7160 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷))
8 neg1cn 11743 . . . 4 -1 ∈ ℂ
91, 2hvsubcli 28790 . . . 4 (𝐵 𝐴) ∈ ℋ
104, 5hvsubcli 28790 . . . 4 (𝐷 𝐶) ∈ ℋ
118, 8, 9, 10his35i 28858 . . 3 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
12 neg1rr 11744 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
13 cjre 14490 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘-1) = -1
1514oveq2i 7159 . . . . 5 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16 ax-1cn 10587 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1716, 16mul2negi 11080 . . . . 5 (-1 · -1) = (1 · 1)
18 1t1e1 11791 . . . . 5 (1 · 1) = 1
1915, 17, 183eqtri 2846 . . . 4 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2019oveq1i 7158 . . 3 ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
219, 10hicli 28850 . . . 4 ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)) ∈ ℂ
2221mulid2i 10638 . . 3 (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
2311, 20, 223eqtri 2846 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
247, 23eqtr3i 2844 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  1c1 10530   · cmul 10534  -cneg 10863  ∗ccj 14447   ℋchba 28688   ·ℎ csm 28690   ·ih csp 28691   −ℎ cmv 28694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-hfvadd 28769  ax-hvcom 28770  ax-hfvmul 28774  ax-hvmulid 28775  ax-hvmulass 28776  ax-hvdistr1 28777  ax-hfi 28848  ax-his1 28851  ax-his3 28853 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-hvsub 28740 This theorem is referenced by:  lnophmlem2  29786
 Copyright terms: Public domain W3C validator