![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hisubcomi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hisubcom.1 | โข ๐ด โ โ |
hisubcom.2 | โข ๐ต โ โ |
hisubcom.3 | โข ๐ถ โ โ |
hisubcom.4 | โข ๐ท โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
hisubcomi | โข ((๐ด โโ ๐ต) ยทih (๐ถ โโ ๐ท)) = ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | hisubcom.2 | . . . 4 โข ๐ต โ โ | |
2 | hisubcom.1 | . . . 4 โข ๐ด โ โ | |
3 | 1, 2 | hvnegdii 30820 | . . 3 โข (-1 ยทโ (๐ต โโ ๐ด)) = (๐ด โโ ๐ต) |
4 | hisubcom.4 | . . . 4 โข ๐ท โ โ | |
5 | hisubcom.3 | . . . 4 โข ๐ถ โ โ | |
6 | 4, 5 | hvnegdii 30820 | . . 3 โข (-1 ยทโ (๐ท โโ ๐ถ)) = (๐ถ โโ ๐ท) |
7 | 3, 6 | oveq12i 7416 | . 2 โข ((-1 ยทโ (๐ต โโ ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ (๐ท โโ ๐ถ))) = ((๐ด โโ ๐ต) ยทih (๐ถ โโ ๐ท)) |
8 | neg1cn 12327 | . . . 4 โข -1 โ โ | |
9 | 1, 2 | hvsubcli 30779 | . . . 4 โข (๐ต โโ ๐ด) โ โ |
10 | 4, 5 | hvsubcli 30779 | . . . 4 โข (๐ท โโ ๐ถ) โ โ |
11 | 8, 8, 9, 10 | his35i 30847 | . . 3 โข ((-1 ยทโ (๐ต โโ ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ (๐ท โโ ๐ถ))) = ((-1 ยท (โโ-1)) ยท ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ))) |
12 | neg1rr 12328 | . . . . . . 7 โข -1 โ โ | |
13 | cjre 15090 | . . . . . . 7 โข (-1 โ โ โ (โโ-1) = -1) | |
14 | 12, 13 | ax-mp 5 | . . . . . 6 โข (โโ-1) = -1 |
15 | 14 | oveq2i 7415 | . . . . 5 โข (-1 ยท (โโ-1)) = (-1 ยท -1) |
16 | ax-1cn 11167 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
17 | 16, 16 | mul2negi 11663 | . . . . 5 โข (-1 ยท -1) = (1 ยท 1) |
18 | 1t1e1 12375 | . . . . 5 โข (1 ยท 1) = 1 | |
19 | 15, 17, 18 | 3eqtri 2758 | . . . 4 โข (-1 ยท (โโ-1)) = 1 |
20 | 19 | oveq1i 7414 | . . 3 โข ((-1 ยท (โโ-1)) ยท ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ))) = (1 ยท ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ))) |
21 | 9, 10 | hicli 30839 | . . . 4 โข ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) โ โ |
22 | 21 | mullidi 11220 | . . 3 โข (1 ยท ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ))) = ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) |
23 | 11, 20, 22 | 3eqtri 2758 | . 2 โข ((-1 ยทโ (๐ต โโ ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ (๐ท โโ ๐ถ))) = ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) |
24 | 7, 23 | eqtr3i 2756 | 1 โข ((๐ด โโ ๐ต) ยทih (๐ถ โโ ๐ท)) = ((๐ต โโ ๐ด) ยทih (๐ท โโ ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โcr 11108 1c1 11110 ยท cmul 11114 -cneg 11446 โccj 15047 โchba 30677 ยทโ csm 30679 ยทih csp 30680 โโ cmv 30683 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-hfvadd 30758 ax-hvcom 30759 ax-hfvmul 30763 ax-hvmulid 30764 ax-hvmulass 30765 ax-hvdistr1 30766 ax-hfi 30837 ax-his1 30840 ax-his3 30842 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-2 12276 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-hvsub 30729 |
This theorem is referenced by: lnophmlem2 31775 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |