Theorem hisubcomi 31437

Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hisubcom.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hisubcomi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hisubcom.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2		hisubcom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	hvnegdii 31395	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐵)
4		hisubcom.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
5		hisubcom.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	4, 5	hvnegdii 31395	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶)) = (𝐶 −ℎ 𝐷)
7	3, 6	oveq12i 7424	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷))
8		neg1cn 12204	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	1, 2	hvsubcli 31354	. . . 4 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ
10	4, 5	hvsubcli 31354	. . . 4 ⊢ (𝐷 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
11	8, 8, 9, 10	his35i 31422	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
12		neg1rr 12205	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 15192	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘-1) = -1
15	14	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16		ax-1cn 11159	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	16, 16	mul2negi 11663	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
18		1t1e1 12403	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
19	15, 17, 18	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (-1 · (∗‘-1)) = 1
20	19	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
21	9, 10	hicli 31414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
22	21	mullidi 11215	. . 3 ⊢ (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
23	11, 20, 22	3eqtri 2790	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
24	7, 23	eqtr3i 2788	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   · cmul 11106  -cneg 11443  ∗ccj 15149   ℋchba 31252   ·_ℎ csm 31254   ·_ih csp 31255   −_ℎ cmv 31258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-hfvadd 31333  ax-hvcom 31334  ax-hfvmul 31338  ax-hvmulid 31339  ax-hvmulass 31340  ax-hvdistr1 31341  ax-hfi 31412  ax-his1 31415  ax-his3 31417

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-hvsub 31304

This theorem is referenced by:  lnophmlem2  32350