Theorem hisubcomi 30352

Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hisubcom.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hisubcomi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hisubcom.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2		hisubcom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	hvnegdii 30310	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐵)
4		hisubcom.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
5		hisubcom.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	4, 5	hvnegdii 30310	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶)) = (𝐶 −ℎ 𝐷)
7	3, 6	oveq12i 7420	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷))
8		neg1cn 12325	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	1, 2	hvsubcli 30269	. . . 4 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ
10	4, 5	hvsubcli 30269	. . . 4 ⊢ (𝐷 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
11	8, 8, 9, 10	his35i 30337	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
12		neg1rr 12326	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 15085	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘-1) = -1
15	14	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16		ax-1cn 11167	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	16, 16	mul2negi 11661	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
18		1t1e1 12373	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
19	15, 17, 18	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (-1 · (∗‘-1)) = 1
20	19	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)))
21	9, 10	hicli 30329	. . . 4 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
22	21	mullidi 11218	. . 3 ⊢ (1 · ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
23	11, 20, 22	3eqtri 2764	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) ·ih (-1 ·ℎ (𝐷 −ℎ 𝐶))) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))
24	7, 23	eqtr3i 2762	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih (𝐷 −ℎ 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  1c1 11110   · cmul 11114  -cneg 11444  ∗ccj 15042   ℋchba 30167   ·_ℎ csm 30169   ·_ih csp 30170   −_ℎ cmv 30173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his3 30332

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-hvsub 30219

This theorem is referenced by:  lnophmlem2  31265