HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hisubcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hisubcomi 30095
Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hisubcom.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
hisubcom.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
hisubcom.3 ๐ถ โˆˆ โ„‹
hisubcom.4 ๐ท โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hisubcomi ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ถ โˆ’โ„Ž ๐ท)) = ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))

Proof of Theorem hisubcomi
StepHypRef Expression
1 hisubcom.2 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„‹
2 hisubcom.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‹
31, 2hvnegdii 30053 . . 3 (-1 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) = (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)
4 hisubcom.4 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„‹
5 hisubcom.3 . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„‹
64, 5hvnegdii 30053 . . 3 (-1 ยทโ„Ž (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = (๐ถ โˆ’โ„Ž ๐ท)
73, 6oveq12i 7373 . 2 ((-1 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ„Ž (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ถ โˆ’โ„Ž ๐ท))
8 neg1cn 12275 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
91, 2hvsubcli 30012 . . . 4 (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹
104, 5hvsubcli 30012 . . . 4 (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹
118, 8, 9, 10his35i 30080 . . 3 ((-1 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ„Ž (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((-1 ยท (โˆ—โ€˜-1)) ยท ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
12 neg1rr 12276 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„
13 cjre 15033 . . . . . . 7 (-1 โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜-1) = -1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (โˆ—โ€˜-1) = -1
1514oveq2i 7372 . . . . 5 (-1 ยท (โˆ—โ€˜-1)) = (-1 ยท -1)
16 ax-1cn 11117 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
1716, 16mul2negi 11611 . . . . 5 (-1 ยท -1) = (1 ยท 1)
18 1t1e1 12323 . . . . 5 (1 ยท 1) = 1
1915, 17, 183eqtri 2765 . . . 4 (-1 ยท (โˆ—โ€˜-1)) = 1
2019oveq1i 7371 . . 3 ((-1 ยท (โˆ—โ€˜-1)) ยท ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = (1 ยท ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
219, 10hicli 30072 . . . 4 ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚
2221mulid2i 11168 . . 3 (1 ยท ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))
2311, 20, 223eqtri 2765 . 2 ((-1 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) ยทih (-1 ยทโ„Ž (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))
247, 23eqtr3i 2763 1 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ถ โˆ’โ„Ž ๐ท)) = ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih (๐ท โˆ’โ„Ž ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  1c1 11060   ยท cmul 11064  -cneg 11394  โˆ—ccj 14990   โ„‹chba 29910   ยทโ„Ž csm 29912   ยทih csp 29913   โˆ’โ„Ž cmv 29916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his3 30075
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-hvsub 29962
This theorem is referenced by:  lnophmlem2  31008
  Copyright terms: Public domain W3C validator