HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigorthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigorthi 30821
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when ๐‘‡ is a Hermitian operator) for two eigenvectors ๐ด and ๐ต to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigorthi.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
eigorthi.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
eigorthi.3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
eigorthi.4 ๐ท โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
eigorthi ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))

Proof of Theorem eigorthi
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)))
2 eigorthi.4 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„‚
3 eigorthi.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
4 eigorthi.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
5 his5 30070 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
62, 3, 4, 5mp3an 1462 . . . 4 (๐ด ยทih (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต))
71, 6eqtrdi 2789 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
8 oveq1 7365 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = ((๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ต))
9 eigorthi.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„‚
10 ax-his3 30068 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
119, 3, 4, 10mp3an 1462 . . . 4 ((๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต))
128, 11eqtrdi 2789 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
137, 12eqeqan12rd 2748 . 2 (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต))))
143, 4hicli 30065 . . . . . . . 8 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
152cjcli 15060 . . . . . . . . 9 (โˆ—โ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚
16 mulcan2 11798 . . . . . . . . 9 (((โˆ—โ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ท) = ๐ถ))
1715, 9, 16mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ท) = ๐ถ))
1814, 17mpan 689 . . . . . . 7 ((๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ท) = ๐ถ))
19 eqcom 2740 . . . . . . 7 ((โˆ—โ€˜๐ท) = ๐ถ โ†” ๐ถ = (โˆ—โ€˜๐ท))
2018, 19bitrdi 287 . . . . . 6 ((๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” ๐ถ = (โˆ—โ€˜๐ท)))
2120biimpcd 249 . . . . 5 (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ๐ถ = (โˆ—โ€˜๐ท)))
2221necon1d 2962 . . . 4 (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†’ (๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
2322com12 32 . . 3 (๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
24 oveq2 7366 . . . 4 ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท 0))
25 oveq2 7366 . . . . 5 ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†’ (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท 0))
269mul01i 11350 . . . . . 6 (๐ถ ยท 0) = 0
2715mul01i 11350 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท 0) = 0
2826, 27eqtr4i 2764 . . . . 5 (๐ถ ยท 0) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท 0)
2925, 28eqtrdi 2789 . . . 4 ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†’ (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท 0))
3024, 29eqtr4d 2776 . . 3 ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
3123, 30impbid1 224 . 2 (๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
3213, 31sylan9bb 511 1 ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   ยท cmul 11061  โˆ—ccj 14987   โ„‹chba 29903   ยทโ„Ž csm 29905   ยทih csp 29906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-hfvmul 29989  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his3 30068
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-2 12221  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992
This theorem is referenced by:  eigorth  30822
  Copyright terms: Public domain W3C validator