HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigorthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigorthi 31522
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for two eigenvectors 𝐴 and 𝐵 to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigorthi.1 𝐴 ∈ ℋ
eigorthi.2 𝐵 ∈ ℋ
eigorthi.3 𝐶 ∈ ℂ
eigorthi.4 𝐷 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
eigorthi ((((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) ∧ (𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵)) ∧ 𝐶 ≠ (∗‘𝐷)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem eigorthi
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . 4 ((𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih (𝐷 · 𝐵)))
2 eigorthi.4 . . . . 5 𝐷 ∈ ℂ
3 eigorthi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
4 eigorthi.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
5 his5 30771 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐷 · 𝐵)) = ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
62, 3, 4, 5mp3an 1460 . . . 4 (𝐴 ·ih (𝐷 · 𝐵)) = ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵))
71, 6eqtrdi 2787 . . 3 ((𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
8 oveq1 7419 . . . 4 ((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) ·ih 𝐵))
9 eigorthi.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
10 ax-his3 30769 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 · 𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
119, 3, 4, 10mp3an 1460 . . . 4 ((𝐶 · 𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))
128, 11eqtrdi 2787 . . 3 ((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
137, 12eqeqan12rd 2746 . 2 (((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) ∧ (𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ↔ ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
143, 4hicli 30766 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
152cjcli 15123 . . . . . . . . 9 (∗‘𝐷) ∈ ℂ
16 mulcan2 11859 . . . . . . . . 9 (((∗‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0)) → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ (∗‘𝐷) = 𝐶))
1715, 9, 16mp3an12 1450 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0) → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ (∗‘𝐷) = 𝐶))
1814, 17mpan 687 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ (∗‘𝐷) = 𝐶))
19 eqcom 2738 . . . . . . 7 ((∗‘𝐷) = 𝐶𝐶 = (∗‘𝐷))
2018, 19bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ 𝐶 = (∗‘𝐷)))
2120biimpcd 248 . . . . 5 (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0 → 𝐶 = (∗‘𝐷)))
2221necon1d 2961 . . . 4 (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) → (𝐶 ≠ (∗‘𝐷) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
2322com12 32 . . 3 (𝐶 ≠ (∗‘𝐷) → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
24 oveq2 7420 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘𝐷) · 0))
25 oveq2 7420 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · 0))
269mul01i 11411 . . . . . 6 (𝐶 · 0) = 0
2715mul01i 11411 . . . . . 6 ((∗‘𝐷) · 0) = 0
2826, 27eqtr4i 2762 . . . . 5 (𝐶 · 0) = ((∗‘𝐷) · 0)
2925, 28eqtrdi 2787 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘𝐷) · 0))
3024, 29eqtr4d 2774 . . 3 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
3123, 30impbid1 224 . 2 (𝐶 ≠ (∗‘𝐷) → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
3213, 31sylan9bb 509 1 ((((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) ∧ (𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵)) ∧ 𝐶 ≠ (∗‘𝐷)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  0cc0 11116   · cmul 11121  ccj 15050  chba 30604   · csm 30606   ·ih csp 30607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-hfvmul 30690  ax-hfi 30764  ax-his1 30767  ax-his3 30769
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055
This theorem is referenced by:  eigorth  31523
  Copyright terms: Public domain W3C validator