HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigorthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigorthi 31599
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when ๐‘‡ is a Hermitian operator) for two eigenvectors ๐ด and ๐ต to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigorthi.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
eigorthi.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
eigorthi.3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
eigorthi.4 ๐ท โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
eigorthi ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))

Proof of Theorem eigorthi
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)))
2 eigorthi.4 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„‚
3 eigorthi.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
4 eigorthi.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
5 his5 30848 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
62, 3, 4, 5mp3an 1457 . . . 4 (๐ด ยทih (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต))
71, 6eqtrdi 2782 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
8 oveq1 7412 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = ((๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ต))
9 eigorthi.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„‚
10 ax-his3 30846 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
119, 3, 4, 10mp3an 1457 . . . 4 ((๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต))
128, 11eqtrdi 2782 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
137, 12eqeqan12rd 2741 . 2 (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต))))
143, 4hicli 30843 . . . . . . . 8 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
152cjcli 15122 . . . . . . . . 9 (โˆ—โ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚
16 mulcan2 11856 . . . . . . . . 9 (((โˆ—โ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ท) = ๐ถ))
1715, 9, 16mp3an12 1447 . . . . . . . 8 (((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ท) = ๐ถ))
1814, 17mpan 687 . . . . . . 7 ((๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” (โˆ—โ€˜๐ท) = ๐ถ))
19 eqcom 2733 . . . . . . 7 ((โˆ—โ€˜๐ท) = ๐ถ โ†” ๐ถ = (โˆ—โ€˜๐ท))
2018, 19bitrdi 287 . . . . . 6 ((๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” ๐ถ = (โˆ—โ€˜๐ท)))
2120biimpcd 248 . . . . 5 (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) โ‰  0 โ†’ ๐ถ = (โˆ—โ€˜๐ท)))
2221necon1d 2956 . . . 4 (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†’ (๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
2322com12 32 . . 3 (๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
24 oveq2 7413 . . . 4 ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท 0))
25 oveq2 7413 . . . . 5 ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†’ (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท 0))
269mul01i 11408 . . . . . 6 (๐ถ ยท 0) = 0
2715mul01i 11408 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท 0) = 0
2826, 27eqtr4i 2757 . . . . 5 (๐ถ ยท 0) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท 0)
2925, 28eqtrdi 2782 . . . 4 ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†’ (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท 0))
3024, 29eqtr4d 2769 . . 3 ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
3123, 30impbid1 224 . 2 (๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ท) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด ยทih ๐ต)) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
3213, 31sylan9bb 509 1 ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โˆ—ccj 15049   โ„‹chba 30681   ยทโ„Ž csm 30683   ยทih csp 30684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hfvmul 30767  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his3 30846
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054
This theorem is referenced by:  eigorth  31600
  Copyright terms: Public domain W3C validator