Theorem normlem2 30631

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
normlem2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Proof of Theorem normlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem2.4	. 2 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2		normlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3	2	cjcli 15120	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
4		normlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
5		normlem1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
6	4, 5	hicli 30601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
7	3, 6	mulcli 11225	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
8	5, 4	hicli 30601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
9	2, 8	mulcli 11225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
10	7, 9	cjaddi 15139	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
11	2	cjcji 15122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘(∗‘𝑆)) = 𝑆
12	11	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (∗‘(∗‘𝑆))
13	5, 4	his1i 30620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) = (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺))
14	12, 13	oveq12i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
15	3, 6	cjmuli 15140	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
16	14, 15	eqtr4i 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
17	4, 5	his1i 30620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) = (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹))
18	17	oveq2i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
19	2, 8	cjmuli 15140	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
20	18, 19	eqtr4i 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
21	16, 20	oveq12i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
22	10, 21	eqtr4i 2761	. . . . 5 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
23	7, 9	addcomi 11409	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
24	22, 23	eqtr4i 2761	. . . 4 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
25	7, 9	addcli 11224	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
26	25	cjrebi 15125	. . . 4 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
27	24, 26	mpbir 230	. . 3 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
28	27	renegcli 11525	. 2 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
29	1, 28	eqeltri 2827	1 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111   + caddc 11115   · cmul 11117  -cneg 11449  ∗ccj 15047   ℋchba 30439   ·_ih csp 30442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hfi 30599  ax-his1 30602

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052

This theorem is referenced by:  normlem3  30632  normlem6  30635  normlem7  30636  norm-ii-i  30657