Theorem normlem2 31186

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
normlem2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Proof of Theorem normlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem2.4	. 2 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2		normlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3	2	cjcli 15092	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
4		normlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
5		normlem1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
6	4, 5	hicli 31156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
7	3, 6	mulcli 11139	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
8	5, 4	hicli 31156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
9	2, 8	mulcli 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
10	7, 9	cjaddi 15111	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
11	2	cjcji 15094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘(∗‘𝑆)) = 𝑆
12	11	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (∗‘(∗‘𝑆))
13	5, 4	his1i 31175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) = (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺))
14	12, 13	oveq12i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
15	3, 6	cjmuli 15112	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
16	14, 15	eqtr4i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
17	4, 5	his1i 31175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) = (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹))
18	17	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
19	2, 8	cjmuli 15112	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
20	18, 19	eqtr4i 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
21	16, 20	oveq12i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
22	10, 21	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
23	7, 9	addcomi 11324	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
24	22, 23	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
25	7, 9	addcli 11138	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
26	25	cjrebi 15097	. . . 4 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
27	24, 26	mpbir 231	. . 3 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
28	27	renegcli 11442	. 2 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
29	1, 28	eqeltri 2832	1 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   + caddc 11029   · cmul 11031  -cneg 11365  ∗ccj 15019   ℋchba 30994   ·_ih csp 30997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-hfi 31154  ax-his1 31157

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024

This theorem is referenced by:  normlem3  31187  normlem6  31190  normlem7  31191  norm-ii-i  31212