Theorem normlem2 28886

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
normlem2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Proof of Theorem normlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem2.4	. 2 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2		normlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3	2	cjcli 14523	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
4		normlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
5		normlem1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
6	4, 5	hicli 28856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
7	3, 6	mulcli 10641	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
8	5, 4	hicli 28856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
9	2, 8	mulcli 10641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
10	7, 9	cjaddi 14542	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
11	2	cjcji 14525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘(∗‘𝑆)) = 𝑆
12	11	eqcomi 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (∗‘(∗‘𝑆))
13	5, 4	his1i 28875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) = (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺))
14	12, 13	oveq12i 7161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
15	3, 6	cjmuli 14543	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
16	14, 15	eqtr4i 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
17	4, 5	his1i 28875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) = (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹))
18	17	oveq2i 7160	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
19	2, 8	cjmuli 14543	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
20	18, 19	eqtr4i 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
21	16, 20	oveq12i 7161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
22	10, 21	eqtr4i 2846	. . . . 5 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
23	7, 9	addcomi 10824	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
24	22, 23	eqtr4i 2846	. . . 4 ⊢ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
25	7, 9	addcli 10640	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
26	25	cjrebi 14528	. . . 4 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
27	24, 26	mpbir 233	. . 3 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
28	27	renegcli 10940	. 2 ⊢ -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
29	1, 28	eqeltri 2908	1 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ℂcc 10528  ℝcr 10529   + caddc 10533   · cmul 10535  -cneg 10864  ∗ccj 14450   ℋchba 28694   ·_ih csp 28697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-hfi 28854  ax-his1 28857

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11694  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455

This theorem is referenced by:  normlem3  28887  normlem6  28890  normlem7  28891  norm-ii-i  28912