HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem2 31130
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
Assertion
Ref Expression
normlem2 𝐵 ∈ ℝ

Proof of Theorem normlem2
StepHypRef Expression
1 normlem2.4 . 2 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2 normlem1.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ ℂ
32cjcli 15208 . . . . . . . 8 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
4 normlem1.2 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℋ
5 normlem1.3 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ ℋ
64, 5hicli 31100 . . . . . . . 8 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
73, 6mulcli 11268 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
85, 4hicli 31100 . . . . . . . 8 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
92, 8mulcli 11268 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
107, 9cjaddi 15227 . . . . . 6 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
112cjcji 15210 . . . . . . . . . 10 (∗‘(∗‘𝑆)) = 𝑆
1211eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 𝑆 = (∗‘(∗‘𝑆))
135, 4his1i 31119 . . . . . . . . 9 (𝐺 ·ih 𝐹) = (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺))
1412, 13oveq12i 7443 . . . . . . . 8 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
153, 6cjmuli 15228 . . . . . . . 8 (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
1614, 15eqtr4i 2768 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
174, 5his1i 31119 . . . . . . . . 9 (𝐹 ·ih 𝐺) = (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹))
1817oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
192, 8cjmuli 15228 . . . . . . . 8 (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
2018, 19eqtr4i 2768 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2116, 20oveq12i 7443 . . . . . 6 ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
2210, 21eqtr4i 2768 . . . . 5 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
237, 9addcomi 11452 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2422, 23eqtr4i 2768 . . . 4 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
257, 9addcli 11267 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2625cjrebi 15213 . . . 4 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
2724, 26mpbir 231 . . 3 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
2827renegcli 11570 . 2 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
291, 28eqeltri 2837 1 𝐵 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493  ccj 15135  chba 30938   ·ih csp 30941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hfi 31098  ax-his1 31101
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140
This theorem is referenced by:  normlem3  31131  normlem6  31134  normlem7  31135  norm-ii-i  31156
  Copyright terms: Public domain W3C validator