HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunilem2 31773
Description: Lemma for lnopunii 31774. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnopunilem.2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)
lnopunilem.3 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnopunilem.4 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
lnopunilem2 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lnopunilem2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7428 . . . . 5 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))))
2 fvoveq1 7428 . . . . 5 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต))))
31, 2eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))))
4 lnopunilem.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
5 lnopunilem.2 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)
6 lnopunilem.3 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
7 lnopunilem.4 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
8 0cn 11210 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
98elimel 4592 . . . . 5 if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚
104, 5, 6, 7, 9lnopunilem1 31772 . . . 4 (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
113, 10dedth 4581 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))))
1211rgen 3057 . 2 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
134lnopfi 31731 . . . . . 6 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1413ffvelcdmi 7079 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
156, 14ax-mp 5 . . . 4 (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹
1613ffvelcdmi 7079 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
177, 16ax-mp 5 . . . 4 (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹
1815, 17hicli 30843 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚
196, 7hicli 30843 . . 3 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
20 recan 15289 . . 3 ((((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)))
2118, 19, 20mp2an 689 . 2 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต))
2212, 21mpbi 229 1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  ifcif 4523  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โ„œcre 15050   โ„‹chba 30681   ยทih csp 30684  normโ„Žcno 30685  LinOpclo 30709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hv0cl 30765  ax-hfvmul 30767  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-hnorm 30730  df-lnop 31603
This theorem is referenced by:  lnopunii  31774
  Copyright terms: Public domain W3C validator