![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > lnopunilem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for lnopunii 31003. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
lnopunilem.1 | โข ๐ โ LinOp |
lnopunilem.2 | โข โ๐ฅ โ โ (normโโ(๐โ๐ฅ)) = (normโโ๐ฅ) |
lnopunilem.3 | โข ๐ด โ โ |
lnopunilem.4 | โข ๐ต โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
lnopunilem2 | โข ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fvoveq1 7384 | . . . . 5 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต))))) | |
2 | fvoveq1 7384 | . . . . 5 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) โ (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) = (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))) | |
3 | 1, 2 | eqeq12d 2749 | . . . 4 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) โ ((โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต))))) |
4 | lnopunilem.1 | . . . . 5 โข ๐ โ LinOp | |
5 | lnopunilem.2 | . . . . 5 โข โ๐ฅ โ โ (normโโ(๐โ๐ฅ)) = (normโโ๐ฅ) | |
6 | lnopunilem.3 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ | |
7 | lnopunilem.4 | . . . . 5 โข ๐ต โ โ | |
8 | 0cn 11155 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
9 | 8 | elimel 4559 | . . . . 5 โข if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) โ โ |
10 | 4, 5, 6, 7, 9 | lnopunilem1 31001 | . . . 4 โข (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต))) |
11 | 3, 10 | dedth 4548 | . . 3 โข (๐ฆ โ โ โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))) |
12 | 11 | rgen 3063 | . 2 โข โ๐ฆ โ โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) |
13 | 4 | lnopfi 30960 | . . . . . 6 โข ๐: โโถ โ |
14 | 13 | ffvelcdmi 7038 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐โ๐ด) โ โ) |
15 | 6, 14 | ax-mp 5 | . . . 4 โข (๐โ๐ด) โ โ |
16 | 13 | ffvelcdmi 7038 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (๐โ๐ต) โ โ) |
17 | 7, 16 | ax-mp 5 | . . . 4 โข (๐โ๐ต) โ โ |
18 | 15, 17 | hicli 30072 | . . 3 โข ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) โ โ |
19 | 6, 7 | hicli 30072 | . . 3 โข (๐ด ยทih ๐ต) โ โ |
20 | recan 15230 | . . 3 โข ((((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) โ โ โง (๐ด ยทih ๐ต) โ โ) โ (โ๐ฆ โ โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต))) | |
21 | 18, 19, 20 | mp2an 691 | . 2 โข (โ๐ฆ โ โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)) |
22 | 12, 21 | mpbi 229 | 1 โข ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 ifcif 4490 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โcc 11057 0cc0 11059 ยท cmul 11064 โcre 14991 โchba 29910 ยทih csp 29913 normโcno 29914 LinOpclo 29938 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 ax-hilex 29990 ax-hfvadd 29991 ax-hv0cl 29994 ax-hfvmul 29996 ax-hvmul0 30001 ax-hfi 30070 ax-his1 30073 ax-his2 30074 ax-his3 30075 ax-his4 30076 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-map 8773 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-sup 9386 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-rp 12924 df-seq 13916 df-exp 13977 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-hnorm 29959 df-lnop 30832 |
This theorem is referenced by: lnopunii 31003 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |