Theorem lnopunilem2 32090

Description: Lemma for lnopunii 32091. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
lnopunilem.3	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))))
2		fvoveq1 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
3	1, 2	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
4		lnopunilem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
5		lnopunilem.2	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
6		lnopunilem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
7		lnopunilem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
8		0cn 11128	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
9	8	elimel 4550	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
10	4, 5, 6, 7, 9	lnopunilem1 32089	. . . 4 ⊢ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
11	3, 10	dedth 4539	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
12	11	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
13	4	lnopfi 32048	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
14	13	ffvelcdmi 7030	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
15	6, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
16	13	ffvelcdmi 7030	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
17	7, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
18	15, 17	hicli 31160	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ
19	6, 7	hicli 31160	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
20		recan 15264	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
21	18, 19, 20	mp2an 693	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
22	12, 21	mpbi 230	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ifcif 4480  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030   · cmul 11035  ℜcre 15024   ℋchba 30998   ·_ih csp 31001  norm_ℎcno 31002  LinOpclo 31026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-hilex 31078  ax-hfvadd 31079  ax-hv0cl 31082  ax-hfvmul 31084  ax-hvmul0 31089  ax-hfi 31158  ax-his1 31161  ax-his2 31162  ax-his3 31163  ax-his4 31164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-hnorm 31047  df-lnop 31920

This theorem is referenced by:  lnopunii  32091