HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunilem2 31002
Description: Lemma for lnopunii 31003. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnopunilem.2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)
lnopunilem.3 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnopunilem.4 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
lnopunilem2 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lnopunilem2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7384 . . . . 5 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))))
2 fvoveq1 7384 . . . . 5 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต))))
31, 2eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))))
4 lnopunilem.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
5 lnopunilem.2 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)
6 lnopunilem.3 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
7 lnopunilem.4 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
8 0cn 11155 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
98elimel 4559 . . . . 5 if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚
104, 5, 6, 7, 9lnopunilem1 31001 . . . 4 (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
113, 10dedth 4548 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))))
1211rgen 3063 . 2 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
134lnopfi 30960 . . . . . 6 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1413ffvelcdmi 7038 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
156, 14ax-mp 5 . . . 4 (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹
1613ffvelcdmi 7038 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
177, 16ax-mp 5 . . . 4 (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹
1815, 17hicli 30072 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚
196, 7hicli 30072 . . 3 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
20 recan 15230 . . 3 ((((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)))
2118, 19, 20mp2an 691 . 2 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต))
2212, 21mpbi 229 1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  ifcif 4490  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059   ยท cmul 11064  โ„œcre 14991   โ„‹chba 29910   ยทih csp 29913  normโ„Žcno 29914  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hv0cl 29994  ax-hfvmul 29996  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-hnorm 29959  df-lnop 30832
This theorem is referenced by:  lnopunii  31003
  Copyright terms: Public domain W3C validator