Theorem lnopunilem2 32532

Description: Lemma for lnopunii 32533. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
lnopunilem.3	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))))
2		fvoveq1 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
3	1, 2	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
4		lnopunilem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
5		lnopunilem.2	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
6		lnopunilem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
7		lnopunilem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
8		0cn 11255	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
9	8	elimel 4552	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
10	4, 5, 6, 7, 9	lnopunilem1 32531	. . . 4 ⊢ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
11	3, 10	dedth 4541	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
12	11	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
13	4	lnopfi 32490	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
14	13	ffvelcdmi 7072	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
15	6, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
16	13	ffvelcdmi 7072	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
17	7, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
18	15, 17	hicli 31602	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ
19	6, 7	hicli 31602	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
20		recan 15457	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
21	18, 19, 20	mp2an 705	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
22	12, 21	mpbi 233	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ifcif 4482  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  0cc0 11157   · cmul 11162  ℜcre 15217   ℋchba 31440   ·_ih csp 31443  norm_ℎcno 31444  LinOpclo 31468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-hilex 31520  ax-hfvadd 31521  ax-hv0cl 31524  ax-hfvmul 31526  ax-hvmul0 31531  ax-hfi 31600  ax-his1 31603  ax-his2 31604  ax-his3 31605  ax-his4 31606

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-hnorm 31489  df-lnop 32362

This theorem is used by:  lnopunii  32533