Theorem lnopunilem2 32613

Description: Lemma for lnopunii 32614. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
lnopunilem.3	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7443	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))))
2		fvoveq1 7443	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
3	1, 2	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
4		lnopunilem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
5		lnopunilem.2	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
6		lnopunilem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
7		lnopunilem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
8		0cn 11298	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
9	8	elimel 4551	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
10	4, 5, 6, 7, 9	lnopunilem1 32612	. . . 4 ⊢ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
11	3, 10	dedth 4540	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
12	11	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
13	4	lnopfi 32571	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
14	13	ffvelcdmi 7083	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
15	6, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
16	13	ffvelcdmi 7083	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
17	7, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
18	15, 17	hicli 31683	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ
19	6, 7	hicli 31683	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
20		recan 15504	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
21	18, 19, 20	mp2an 705	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
22	12, 21	mpbi 233	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ifcif 4481  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   · cmul 11205  ℜcre 15264   ℋchba 31521   ·_ih csp 31524  norm_ℎcno 31525  LinOpclo 31549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hv0cl 31605  ax-hfvmul 31607  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-hnorm 31570  df-lnop 32443

This theorem is used by:  lnopunii  32614