Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunilem2 29838
 Description: Lemma for lnopunii 29839. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
lnopunilem.3 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
lnopunilem2 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7168 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))
2 fvoveq1 7168 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
31, 2eqeq12d 2814 . . . 4 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
4 lnopunilem.1 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
5 lnopunilem.2 . . . . 5 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
6 lnopunilem.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
7 lnopunilem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
8 0cn 10640 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
98elimel 4495 . . . . 5 if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
104, 5, 6, 7, 9lnopunilem1 29837 . . . 4 (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
113, 10dedth 4484 . . 3 (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
1211rgen 3116 . 2 𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
134lnopfi 29796 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1413ffvelrni 6837 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
156, 14ax-mp 5 . . . 4 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
1613ffvelrni 6837 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
177, 16ax-mp 5 . . . 4 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
1815, 17hicli 28908 . . 3 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
196, 7hicli 28908 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
20 recan 14708 . . 3 ((((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
2118, 19, 20mp2an 691 . 2 (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
2212, 21mpbi 233 1 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ifcif 4428  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  0cc0 10544   · cmul 10549  ℜcre 14468   ℋchba 28746   ·ih csp 28749  normℎcno 28750  LinOpclo 28774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-hilex 28826  ax-hfvadd 28827  ax-hv0cl 28830  ax-hfvmul 28832  ax-hvmul0 28837  ax-hfi 28906  ax-his1 28909  ax-his2 28910  ax-his3 28911  ax-his4 28912 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-seq 13385  df-exp 13446  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-hnorm 28795  df-lnop 29668 This theorem is referenced by:  lnopunii  29839
 Copyright terms: Public domain W3C validator