Theorem lnopunilem2 32043

Description: Lemma for lnopunii 32044. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
lnopunilem.3	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7471	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))))
2		fvoveq1 7471	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
3	1, 2	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
4		lnopunilem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
5		lnopunilem.2	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
6		lnopunilem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
7		lnopunilem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
8		0cn 11282	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
9	8	elimel 4617	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
10	4, 5, 6, 7, 9	lnopunilem1 32042	. . . 4 ⊢ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
11	3, 10	dedth 4606	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
12	11	rgen 3069	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
13	4	lnopfi 32001	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
14	13	ffvelcdmi 7117	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
15	6, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
16	13	ffvelcdmi 7117	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
17	7, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
18	15, 17	hicli 31113	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ
19	6, 7	hicli 31113	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
20		recan 15385	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
21	18, 19, 20	mp2an 691	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
22	12, 21	mpbi 230	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ifcif 4548  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189  ℜcre 15146   ℋchba 30951   ·_ih csp 30954  norm_ℎcno 30955  LinOpclo 30979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hv0cl 31035  ax-hfvmul 31037  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-hnorm 31000  df-lnop 31873

This theorem is referenced by:  lnopunii  32044