HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunilem2 32040
Description: Lemma for lnopunii 32041. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
lnopunilem.3 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
lnopunilem2 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7454 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))
2 fvoveq1 7454 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
31, 2eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
4 lnopunilem.1 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
5 lnopunilem.2 . . . . 5 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
6 lnopunilem.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
7 lnopunilem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
8 0cn 11251 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
98elimel 4600 . . . . 5 if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
104, 5, 6, 7, 9lnopunilem1 32039 . . . 4 (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
113, 10dedth 4589 . . 3 (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
1211rgen 3061 . 2 𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
134lnopfi 31998 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1413ffvelcdmi 7103 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
156, 14ax-mp 5 . . . 4 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
1613ffvelcdmi 7103 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
177, 16ax-mp 5 . . . 4 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
1815, 17hicli 31110 . . 3 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
196, 7hicli 31110 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
20 recan 15372 . . 3 ((((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
2118, 19, 20mp2an 692 . 2 (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
2212, 21mpbi 230 1 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ifcif 4531  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  cre 15133  chba 30948   ·ih csp 30951  normcno 30952  LinOpclo 30976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-hnorm 30997  df-lnop 31870
This theorem is referenced by:  lnopunii  32041
  Copyright terms: Public domain W3C validator