HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunilem2 29715
Description: Lemma for lnopunii 29716. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
lnopunilem.3 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
lnopunilem2 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7168 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))
2 fvoveq1 7168 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
31, 2eqeq12d 2834 . . . 4 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
4 lnopunilem.1 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
5 lnopunilem.2 . . . . 5 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
6 lnopunilem.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
7 lnopunilem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
8 0cn 10621 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
98elimel 4530 . . . . 5 if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
104, 5, 6, 7, 9lnopunilem1 29714 . . . 4 (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
113, 10dedth 4519 . . 3 (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
1211rgen 3145 . 2 𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
134lnopfi 29673 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1413ffvelrni 6842 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
156, 14ax-mp 5 . . . 4 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
1613ffvelrni 6842 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
177, 16ax-mp 5 . . . 4 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
1815, 17hicli 28785 . . 3 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
196, 7hicli 28785 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
20 recan 14684 . . 3 ((((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
2118, 19, 20mp2an 688 . 2 (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
2212, 21mpbi 231 1 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  ifcif 4463  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   · cmul 10530  cre 14444  chba 28623   ·ih csp 28626  normcno 28627  LinOpclo 28651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hv0cl 28707  ax-hfvmul 28709  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-hnorm 28672  df-lnop 29545
This theorem is referenced by:  lnopunii  29716
  Copyright terms: Public domain W3C validator