![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > lnopunilem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for lnopunii 31864. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
lnopunilem.1 | โข ๐ โ LinOp |
lnopunilem.2 | โข โ๐ฅ โ โ (normโโ(๐โ๐ฅ)) = (normโโ๐ฅ) |
lnopunilem.3 | โข ๐ด โ โ |
lnopunilem.4 | โข ๐ต โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
lnopunilem2 | โข ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fvoveq1 7438 | . . . . 5 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต))))) | |
2 | fvoveq1 7438 | . . . . 5 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) โ (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) = (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))) | |
3 | 1, 2 | eqeq12d 2741 | . . . 4 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) โ ((โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต))))) |
4 | lnopunilem.1 | . . . . 5 โข ๐ โ LinOp | |
5 | lnopunilem.2 | . . . . 5 โข โ๐ฅ โ โ (normโโ(๐โ๐ฅ)) = (normโโ๐ฅ) | |
6 | lnopunilem.3 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ | |
7 | lnopunilem.4 | . . . . 5 โข ๐ต โ โ | |
8 | 0cn 11234 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
9 | 8 | elimel 4593 | . . . . 5 โข if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) โ โ |
10 | 4, 5, 6, 7, 9 | lnopunilem1 31862 | . . . 4 โข (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต))) |
11 | 3, 10 | dedth 4582 | . . 3 โข (๐ฆ โ โ โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))) |
12 | 11 | rgen 3053 | . 2 โข โ๐ฆ โ โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) |
13 | 4 | lnopfi 31821 | . . . . . 6 โข ๐: โโถ โ |
14 | 13 | ffvelcdmi 7087 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐โ๐ด) โ โ) |
15 | 6, 14 | ax-mp 5 | . . . 4 โข (๐โ๐ด) โ โ |
16 | 13 | ffvelcdmi 7087 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (๐โ๐ต) โ โ) |
17 | 7, 16 | ax-mp 5 | . . . 4 โข (๐โ๐ต) โ โ |
18 | 15, 17 | hicli 30933 | . . 3 โข ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) โ โ |
19 | 6, 7 | hicli 30933 | . . 3 โข (๐ด ยทih ๐ต) โ โ |
20 | recan 15313 | . . 3 โข ((((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) โ โ โง (๐ด ยทih ๐ต) โ โ) โ (โ๐ฆ โ โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต))) | |
21 | 18, 19, 20 | mp2an 690 | . 2 โข (โ๐ฆ โ โ (โโ(๐ฆ ยท ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)))) = (โโ(๐ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)) |
22 | 12, 21 | mpbi 229 | 1 โข ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3051 ifcif 4524 โcfv 6542 (class class class)co 7415 โcc 11134 0cc0 11136 ยท cmul 11141 โcre 15074 โchba 30771 ยทih csp 30774 normโcno 30775 LinOpclo 30799 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 ax-pre-sup 11214 ax-hilex 30851 ax-hfvadd 30852 ax-hv0cl 30855 ax-hfvmul 30857 ax-hvmul0 30862 ax-hfi 30931 ax-his1 30934 ax-his2 30935 ax-his3 30936 ax-his4 30937 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-om 7868 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-er 8721 df-map 8843 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-sup 9463 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-div 11900 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-n0 12501 df-z 12587 df-uz 12851 df-rp 13005 df-seq 13997 df-exp 14057 df-cj 15076 df-re 15077 df-im 15078 df-sqrt 15212 df-hnorm 30820 df-lnop 31693 |
This theorem is referenced by: lnopunii 31864 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |