Theorem lnopunilem2 31992

Description: Lemma for lnopunii 31993. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
lnopunilem.3	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))))
2		fvoveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
3	1, 2	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
4		lnopunilem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
5		lnopunilem.2	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
6		lnopunilem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
7		lnopunilem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
8		0cn 11227	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
9	8	elimel 4570	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
10	4, 5, 6, 7, 9	lnopunilem1 31991	. . . 4 ⊢ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
11	3, 10	dedth 4559	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
12	11	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
13	4	lnopfi 31950	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
14	13	ffvelcdmi 7073	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
15	6, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
16	13	ffvelcdmi 7073	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
17	7, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
18	15, 17	hicli 31062	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ
19	6, 7	hicli 31062	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
20		recan 15355	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
21	18, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
22	12, 21	mpbi 230	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ifcif 4500  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   · cmul 11134  ℜcre 15116   ℋchba 30900   ·_ih csp 30903  norm_ℎcno 30904  LinOpclo 30928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hv0cl 30984  ax-hfvmul 30986  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his2 31064  ax-his3 31065  ax-his4 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-hnorm 30949  df-lnop 31822

This theorem is referenced by:  lnopunii  31993