HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunilem2 31863
Description: Lemma for lnopunii 31864. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnopunilem.2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)
lnopunilem.3 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnopunilem.4 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
lnopunilem2 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lnopunilem2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7438 . . . . 5 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))))
2 fvoveq1 7438 . . . . 5 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต))))
31, 2eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))))
4 lnopunilem.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
5 lnopunilem.2 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)
6 lnopunilem.3 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
7 lnopunilem.4 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
8 0cn 11234 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
98elimel 4593 . . . . 5 if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚
104, 5, 6, 7, 9lnopunilem1 31862 . . . 4 (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ, 0) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
113, 10dedth 4582 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))))
1211rgen 3053 . 2 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
134lnopfi 31821 . . . . . 6 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1413ffvelcdmi 7087 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
156, 14ax-mp 5 . . . 4 (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹
1613ffvelcdmi 7087 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
177, 16ax-mp 5 . . . 4 (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹
1815, 17hicli 30933 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚
196, 7hicli 30933 . . 3 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
20 recan 15313 . . 3 ((((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)))
2118, 19, 20mp2an 690 . 2 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))) = (โ„œโ€˜(๐‘ฆ ยท (๐ด ยทih ๐ต))) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต))
2212, 21mpbi 229 1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  ifcif 4524  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  0cc0 11136   ยท cmul 11141  โ„œcre 15074   โ„‹chba 30771   ยทih csp 30774  normโ„Žcno 30775  LinOpclo 30799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hv0cl 30855  ax-hfvmul 30857  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-hnorm 30820  df-lnop 31693
This theorem is referenced by:  lnopunii  31864
  Copyright terms: Public domain W3C validator