MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsxplem1 23878
Description: Lemma for tsmsxp 23880. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsxp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsxp.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
tsmsxp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
tsmsxp.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
tsmsxp.1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
tsmsxp.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tsmsxp.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsxp.p + = (+gβ€˜πΊ)
tsmsxp.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
tsmsxp.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
tsmsxp.3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐿)
tsmsxp.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
tsmsxp.ks (πœ‘ β†’ dom 𝐷 βŠ† 𝐾)
tsmsxp.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin))
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿))
Distinct variable groups:   0 ,π‘˜   𝑗,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝐺   𝐡,π‘˜   𝐷,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑗,𝐿,𝑛,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘˜,𝑛   𝑗,𝐾,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑗,𝐻,π‘˜,𝑛,π‘₯   βˆ’ ,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐢,𝑗,π‘˜,𝑛   𝑗,𝐹,π‘˜,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,𝑗,𝑛)   𝐢(π‘₯)   + (π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛)   𝐿(π‘˜)   βˆ’ (π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛)   π‘Š(π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛)   0 (π‘₯,𝑗,𝑛)
Proof of Theorem tsmsxplem1
Dummy variables 𝑔 𝑦 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
21elin2d 4199 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Fin)
3 elfpw 9358 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐾 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Fin))
43simplbi 497 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝐾 βŠ† 𝐴)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐴)
65sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
7 tsmsxp.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
8 tsmsxp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
9 eqid 2731 . . . . . 6 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) = (𝒫 𝐢 ∩ Fin)
10 tsmsxp.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
12 tsmsxp.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
13 tgptps 23805 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
16 tsmsxp.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
18 tsmsxp.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
19 fovcdm 7581 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
2018, 19syl3an1 1162 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
21203expa 1117 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
2221fmpttd 7116 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)):𝐢⟢𝐡)
23 tsmsxp.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
24 df-ima 5689 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β€œ 𝐿) = ran ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†Ύ 𝐿)
258, 7tgptopon 23807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
27 tsmsxp.l . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
28 toponss 22650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐿 ∈ 𝐽) β†’ 𝐿 βŠ† 𝐡)
2926, 27, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐿 βŠ† 𝐡)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐿 βŠ† 𝐡)
3130resmptd 6040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†Ύ 𝐿) = (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
3231rneqd 5937 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ran ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†Ύ 𝐿) = ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
3324, 32eqtrid 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β€œ 𝐿) = ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
34 tsmsxp.h . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
3534ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡)
36 tsmsxp.p . . . . . . . . . . . . 13 + = (+gβ€˜πΊ)
37 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
38 tsmsxp.m . . . . . . . . . . . . 13 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
397, 36, 37, 38grpsubval 18907 . . . . . . . . . . . 12 (((π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) = ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”)))
4035, 39sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) = ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”)))
4140mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”))))
42 tgpgrp 23803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4312, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
457, 37grpinvcl 18909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”) ∈ 𝐡)
4644, 45sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”) ∈ 𝐡)
477, 37grpinvf 18908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ):𝐡⟢𝐡)
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (invgβ€˜πΊ):𝐡⟢𝐡)
4948feqmptd 6960 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (invgβ€˜πΊ) = (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”)))
50 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)))
51 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”) β†’ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦) = ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”)))
5246, 49, 50, 51fmptco 7129 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) = (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”))))
5341, 52eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) = ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∘ (invgβ€˜πΊ)))
5412adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
558, 37grpinvhmeo 23811 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
57 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦))
5857, 7, 36, 8tgplacthmeo 23828 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
5954, 35, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
60 hmeoco 23497 . . . . . . . . . 10 (((invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6156, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6253, 61eqeltrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6327adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
64 hmeoima 23490 . . . . . . . 8 (((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ 𝐿 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β€œ 𝐿) ∈ 𝐽)
6562, 63, 64syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β€œ 𝐿) ∈ 𝐽)
6633, 65eqeltrrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ 𝐽)
67 tsmsxp.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜πΊ)
687, 67, 38grpsubid1 18945 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) = (π»β€˜π‘—))
6944, 35, 68syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) = (π»β€˜π‘—))
70 tsmsxp.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐿)
7170adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐿)
72 ovex 7445 . . . . . . . 8 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) ∈ V
73 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))
74 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 0 β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ))
7573, 74elrnmpt1s 5956 . . . . . . . 8 (( 0 ∈ 𝐿 ∧ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) ∈ V) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
7671, 72, 75sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
7769, 76eqeltrrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
787, 8, 9, 11, 15, 17, 22, 23, 66, 77tsmsi 23859 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
796, 78syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
8079ralrimiva 3145 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
81 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘—) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧))
8281imbi1d 341 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘—) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ ((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))))
8382ralbidv 3176 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))))
8483ac6sfi 9291 . . 3 ((𝐾 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))))
852, 80, 84syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))))
86 frn 6724 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
8786adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
88 inss1 4228 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝐢
8987, 88sstrdi 3994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝒫 𝐢)
90 sspwuni 5103 . . . . . . 7 (ran 𝑓 βŠ† 𝒫 𝐢 ↔ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝐢)
9189, 90sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝐢)
92 tsmsxp.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin))
93 elfpw 9358 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin) ↔ (𝐷 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢) ∧ 𝐷 ∈ Fin))
9493simplbi 497 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin) β†’ 𝐷 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
95 rnss 5938 . . . . . . . . 9 (𝐷 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢) β†’ ran 𝐷 βŠ† ran (𝐴 Γ— 𝐢))
9692, 94, 953syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 βŠ† ran (𝐴 Γ— 𝐢))
97 rnxpss 6171 . . . . . . . 8 ran (𝐴 Γ— 𝐢) βŠ† 𝐢
9896, 97sstrdi 3994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 βŠ† 𝐢)
9998adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐷 βŠ† 𝐢)
10091, 99unssd 4186 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) βŠ† 𝐢)
1012adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐾 ∈ Fin)
102 ffn 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑓 Fn 𝐾)
103102adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑓 Fn 𝐾)
104 dffn4 6811 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓:𝐾–ontoβ†’ran 𝑓)
105103, 104sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑓:𝐾–ontoβ†’ran 𝑓)
106 fofi 9342 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐾–ontoβ†’ran 𝑓) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
107101, 105, 106syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
108 inss2 4229 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† Fin
10987, 108sstrdi 3994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝑓 βŠ† Fin)
110 unifi 9345 . . . . . . 7 ((ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ran 𝑓 βŠ† Fin) β†’ βˆͺ ran 𝑓 ∈ Fin)
111107, 109, 110syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ βˆͺ ran 𝑓 ∈ Fin)
112 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
113 rnfi 9339 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin β†’ ran 𝐷 ∈ Fin)
11492, 112, 1133syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 ∈ Fin)
115114adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐷 ∈ Fin)
116 unfi 9176 . . . . . 6 ((βˆͺ ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ran 𝐷 ∈ Fin) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin)
117111, 115, 116syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin)
118 elfpw 9358 . . . . 5 ((βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ ((βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) βŠ† 𝐢 ∧ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin))
119100, 117, 118sylanbrc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
120119adantrr 714 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
121 ssun2 4173 . . . 4 ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)
122121a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))
123119adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
124 fvssunirn 6924 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘“β€˜π‘—) βŠ† βˆͺ ran 𝑓
125 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ ran 𝑓 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)
126124, 125sstri 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘“β€˜π‘—) βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)
127 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ 𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))
128126, 127sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧)
129 pm5.5 361 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
131 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧) = ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))
132131oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))
133132eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ↔ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
134130, 133bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
135134rspcv 3608 . . . . . . . . 9 ((βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
136123, 135syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
13710ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
138 cmnmnd 19707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
140 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐾)
141117adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin)
142100adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) βŠ† 𝐢)
143142sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐢)
14418adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
145144, 6jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴))
146193expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
147145, 146sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
148147adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
149143, 148syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
150149fmpttd 7116 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)):(βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)⟢𝐡)
151 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) = (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))
152 ovexd 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ V)
15367fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
155151, 141, 152, 154fsuppmptdm 9378 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) finSupp 0 )
1567, 67, 137, 141, 150, 155gsumcl 19825 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))) ∈ 𝐡)
157 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑗} ↔ 𝑦 = 𝑗)
158 ovres 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ {𝑗} ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜) = (π‘¦πΉπ‘˜))
159157, 158sylanbr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜) = (π‘¦πΉπ‘˜))
160 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑗 β†’ (π‘¦πΉπ‘˜) = (π‘—πΉπ‘˜))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (π‘¦πΉπ‘˜) = (π‘—πΉπ‘˜))
162159, 161eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜) = (π‘—πΉπ‘˜))
163162mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)))
164163oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
1657, 164gsumsn 19864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))) ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ {𝑗} ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
166139, 140, 156, 165syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ {𝑗} ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
167 snfi 9048 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑗} ∈ Fin
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ {𝑗} ∈ Fin)
16918ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
1706adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
171170snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ {𝑗} βŠ† 𝐴)
172 xpss12 5691 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑗} βŠ† 𝐴 ∧ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) βŠ† 𝐢) β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
173171, 142, 172syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
174169, 173fssresd 6758 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))):({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))⟢𝐡)
175 xpfi 9321 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑗} ∈ Fin ∧ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin) β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) ∈ Fin)
176167, 141, 175sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) ∈ Fin)
177174, 176, 154fdmfifsupp 9377 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) finSupp 0 )
1787, 67, 137, 168, 141, 174, 177gsumxp 19886 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ {𝑗} ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜))))))
179142resmptd 6040 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) = (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)))
180179oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
181166, 178, 1803eqtr4rd 2782 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))))
182181eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
183 ovex 7445 . . . . . . . . . . 11 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) ∈ V
18473, 183elrnmpti 5959 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐿 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))
185 isabl 19694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
18643, 10, 185sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
187186ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
1886, 35syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡)
189188ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡)
19029ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐿 βŠ† 𝐡)
191190sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
1927, 38, 187, 189, 191ablnncan 19730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) = 𝑔)
193 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ 𝑔 ∈ 𝐿)
194192, 193eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ 𝐿)
195 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
196195eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) β†’ (((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿 ↔ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ 𝐿))
197194, 196syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
198197rexlimdva 3154 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐿 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
199184, 198biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
200182, 199sylbid 239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
201136, 200syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
202201an32s 649 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
203202ralimdva 3166 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
204203impr 454 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)
205 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘₯ β†’ (π»β€˜π‘—) = (π»β€˜π‘₯))
206 sneq 4638 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘₯ β†’ {𝑗} = {π‘₯})
207206xpeq1d 5705 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘₯ β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) = ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))
208207reseq2d 5981 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘₯ β†’ (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) = (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))
209208oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘₯ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))))
210205, 209oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝑗 = π‘₯ β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) = ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))))
211210eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑗 = π‘₯ β†’ (((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿 ↔ ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
212211cbvralvw 3233 . . . 4 (βˆ€π‘— ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)
213204, 212sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)
214 sseq2 4008 . . . . 5 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ↔ ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))
215 xpeq2 5697 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ({π‘₯} Γ— 𝑛) = ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))
216215reseq2d 5981 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)) = (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))
217216oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))))
218217oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) = ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))))
219218eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿 ↔ ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
220219ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
221214, 220anbi12d 630 . . . 4 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ((ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿) ↔ (ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)))
222221rspcev 3612 . . 3 (((βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ (ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿))
223120, 122, 213, 222syl12anc 834 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿))
22485, 223exlimddv 1937 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  TopOpenctopn 17372  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  Mndcmnd 18660  Grpcgrp 18856  invgcminusg 18857  -gcsg 18858  CMndccmn 19690  Abelcabl 19691  TopOnctopon 22633  TopSpctps 22655  Homeochmeo 23478  TopGrpctgp 23796   tsums ctsu 23851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-ntr 22745  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-tmd 23797  df-tgp 23798  df-tsms 23852
This theorem is referenced by:  tsmsxp  23880
  Copyright terms: Public domain W3C validator