MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsxplem1 23520
Description: Lemma for tsmsxp 23522. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsxp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsxp.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
tsmsxp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
tsmsxp.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
tsmsxp.1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
tsmsxp.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tsmsxp.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsxp.p + = (+gβ€˜πΊ)
tsmsxp.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
tsmsxp.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
tsmsxp.3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐿)
tsmsxp.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
tsmsxp.ks (πœ‘ β†’ dom 𝐷 βŠ† 𝐾)
tsmsxp.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin))
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿))
Distinct variable groups:   0 ,π‘˜   𝑗,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝐺   𝐡,π‘˜   𝐷,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑗,𝐿,𝑛,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘˜,𝑛   𝑗,𝐾,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑗,𝐻,π‘˜,𝑛,π‘₯   βˆ’ ,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐢,𝑗,π‘˜,𝑛   𝑗,𝐹,π‘˜,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,𝑗,𝑛)   𝐢(π‘₯)   + (π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛)   𝐿(π‘˜)   βˆ’ (π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛)   π‘Š(π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛)   0 (π‘₯,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem tsmsxplem1
Dummy variables 𝑔 𝑦 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
21elin2d 4160 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Fin)
3 elfpw 9301 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐾 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Fin))
43simplbi 499 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝐾 βŠ† 𝐴)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐴)
65sselda 3945 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
7 tsmsxp.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
8 tsmsxp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) = (𝒫 𝐢 ∩ Fin)
10 tsmsxp.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
12 tsmsxp.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
13 tgptps 23447 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
16 tsmsxp.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
1716adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
18 tsmsxp.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
19 fovcdm 7525 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
2018, 19syl3an1 1164 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
21203expa 1119 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
2221fmpttd 7064 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)):𝐢⟢𝐡)
23 tsmsxp.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
24 df-ima 5647 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β€œ 𝐿) = ran ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†Ύ 𝐿)
258, 7tgptopon 23449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
27 tsmsxp.l . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
28 toponss 22292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐿 ∈ 𝐽) β†’ 𝐿 βŠ† 𝐡)
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐿 βŠ† 𝐡)
3029adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐿 βŠ† 𝐡)
3130resmptd 5995 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†Ύ 𝐿) = (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
3231rneqd 5894 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ran ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†Ύ 𝐿) = ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
3324, 32eqtrid 2785 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β€œ 𝐿) = ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
34 tsmsxp.h . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
3534ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡)
36 tsmsxp.p . . . . . . . . . . . . 13 + = (+gβ€˜πΊ)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
38 tsmsxp.m . . . . . . . . . . . . 13 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
397, 36, 37, 38grpsubval 18801 . . . . . . . . . . . 12 (((π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) = ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”)))
4035, 39sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) = ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”)))
4140mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”))))
42 tgpgrp 23445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4312, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
457, 37grpinvcl 18803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”) ∈ 𝐡)
4644, 45sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”) ∈ 𝐡)
477, 37grpinvf 18802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ):𝐡⟢𝐡)
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (invgβ€˜πΊ):𝐡⟢𝐡)
4948feqmptd 6911 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (invgβ€˜πΊ) = (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”)))
50 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)))
51 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”) β†’ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦) = ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”)))
5246, 49, 50, 51fmptco 7076 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) = (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘”))))
5341, 52eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) = ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∘ (invgβ€˜πΊ)))
5412adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
558, 37grpinvhmeo 23453 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦))
5857, 7, 36, 8tgplacthmeo 23470 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
5954, 35, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
60 hmeoco 23139 . . . . . . . . . 10 (((invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6156, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) + 𝑦)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6253, 61eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6327adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
64 hmeoima 23132 . . . . . . . 8 (((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ 𝐿 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β€œ 𝐿) ∈ 𝐽)
6562, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β€œ 𝐿) ∈ 𝐽)
6633, 65eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ 𝐽)
67 tsmsxp.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜πΊ)
687, 67, 38grpsubid1 18837 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) = (π»β€˜π‘—))
6944, 35, 68syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) = (π»β€˜π‘—))
70 tsmsxp.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐿)
7170adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐿)
72 ovex 7391 . . . . . . . 8 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) ∈ V
73 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))
74 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 0 β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ))
7573, 74elrnmpt1s 5913 . . . . . . . 8 (( 0 ∈ 𝐿 ∧ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) ∈ V) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
7671, 72, 75sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 0 ) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
7769, 76eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
787, 8, 9, 11, 15, 17, 22, 23, 66, 77tsmsi 23501 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
796, 78syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
8079ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
81 sseq1 3970 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘—) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧))
8281imbi1d 342 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘—) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ ((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))))
8382ralbidv 3171 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))))
8483ac6sfi 9234 . . 3 ((𝐾 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))))
852, 80, 84syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))))
86 frn 6676 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
8786adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
88 inss1 4189 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝐢
8987, 88sstrdi 3957 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝒫 𝐢)
90 sspwuni 5061 . . . . . . 7 (ran 𝑓 βŠ† 𝒫 𝐢 ↔ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝐢)
9189, 90sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝐢)
92 tsmsxp.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin))
93 elfpw 9301 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin) ↔ (𝐷 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢) ∧ 𝐷 ∈ Fin))
9493simplbi 499 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin) β†’ 𝐷 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
95 rnss 5895 . . . . . . . . 9 (𝐷 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢) β†’ ran 𝐷 βŠ† ran (𝐴 Γ— 𝐢))
9692, 94, 953syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 βŠ† ran (𝐴 Γ— 𝐢))
97 rnxpss 6125 . . . . . . . 8 ran (𝐴 Γ— 𝐢) βŠ† 𝐢
9896, 97sstrdi 3957 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 βŠ† 𝐢)
9998adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐷 βŠ† 𝐢)
10091, 99unssd 4147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) βŠ† 𝐢)
1012adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐾 ∈ Fin)
102 ffn 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑓 Fn 𝐾)
103102adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑓 Fn 𝐾)
104 dffn4 6763 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓:𝐾–ontoβ†’ran 𝑓)
105103, 104sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑓:𝐾–ontoβ†’ran 𝑓)
106 fofi 9285 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐾–ontoβ†’ran 𝑓) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
107101, 105, 106syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
108 inss2 4190 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† Fin
10987, 108sstrdi 3957 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝑓 βŠ† Fin)
110 unifi 9288 . . . . . . 7 ((ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ran 𝑓 βŠ† Fin) β†’ βˆͺ ran 𝑓 ∈ Fin)
111107, 109, 110syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ βˆͺ ran 𝑓 ∈ Fin)
112 elinel2 4157 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) ∩ Fin) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
113 rnfi 9282 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin β†’ ran 𝐷 ∈ Fin)
11492, 112, 1133syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 ∈ Fin)
115114adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐷 ∈ Fin)
116 unfi 9119 . . . . . 6 ((βˆͺ ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ran 𝐷 ∈ Fin) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin)
117111, 115, 116syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin)
118 elfpw 9301 . . . . 5 ((βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ ((βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) βŠ† 𝐢 ∧ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin))
119100, 117, 118sylanbrc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
120119adantrr 716 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
121 ssun2 4134 . . . 4 ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)
122121a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))
123119adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
124 fvssunirn 6876 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘“β€˜π‘—) βŠ† βˆͺ ran 𝑓
125 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ ran 𝑓 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)
126124, 125sstri 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘“β€˜π‘—) βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)
127 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ 𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))
128126, 127sseqtrrid 3998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧)
129 pm5.5 362 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
131 reseq2 5933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧) = ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))
132131oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))
133132eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ↔ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
134130, 133bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) ↔ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
135134rspcv 3576 . . . . . . . . 9 ((βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
136123, 135syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
13710ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
138 cmnmnd 19584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
140 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐾)
141117adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin)
142100adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) βŠ† 𝐢)
143142sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐢)
14418adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
145144, 6jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴))
146193expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
147145, 146sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
148147adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
149143, 148syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ 𝐡)
150149fmpttd 7064 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)):(βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)⟢𝐡)
151 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) = (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))
152 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (π‘—πΉπ‘˜) ∈ V)
15367fvexi 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
155151, 141, 152, 154fsuppmptdm 9321 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) finSupp 0 )
1567, 67, 137, 141, 150, 155gsumcl 19697 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))) ∈ 𝐡)
157 velsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑗} ↔ 𝑦 = 𝑗)
158 ovres 7521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ {𝑗} ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜) = (π‘¦πΉπ‘˜))
159157, 158sylanbr 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜) = (π‘¦πΉπ‘˜))
160 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑗 β†’ (π‘¦πΉπ‘˜) = (π‘—πΉπ‘˜))
161160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (π‘¦πΉπ‘˜) = (π‘—πΉπ‘˜))
162159, 161eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) β†’ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜) = (π‘—πΉπ‘˜))
163162mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)))
164163oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
1657, 164gsumsn 19736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))) ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ {𝑗} ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
166139, 140, 156, 165syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ {𝑗} ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
167 snfi 8991 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑗} ∈ Fin
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ {𝑗} ∈ Fin)
16918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
1706adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
171170snssd 4770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ {𝑗} βŠ† 𝐴)
172 xpss12 5649 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑗} βŠ† 𝐴 ∧ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) βŠ† 𝐢) β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
173171, 142, 172syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
174169, 173fssresd 6710 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))):({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))⟢𝐡)
175 xpfi 9264 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑗} ∈ Fin ∧ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ Fin) β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) ∈ Fin)
176167, 141, 175sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) ∈ Fin)
177174, 176, 154fdmfifsupp 9320 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) finSupp 0 )
1787, 67, 137, 168, 141, 174, 177gsumxp 19758 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ {𝑗} ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))π‘˜))))))
179142resmptd 5995 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) = (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜)))
180179oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
181166, 178, 1803eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))))
182181eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))
183 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) ∈ V
18473, 183elrnmpti 5916 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐿 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))
185 isabl 19571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
18643, 10, 185sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
187186ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
1886, 35syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡)
189188ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ 𝐡)
19029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐿 βŠ† 𝐡)
191190sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
1927, 38, 187, 189, 191ablnncan 19604 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) = 𝑔)
193 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ 𝑔 ∈ 𝐿)
194192, 193eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ 𝐿)
195 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)))
196195eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) β†’ (((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿 ↔ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) ∈ 𝐿))
197194, 196syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
198197rexlimdva 3149 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐿 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
199184, 198biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
200182, 199sylbid 239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔)) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
201136, 200syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
202201an32s 651 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
203202ralimdva 3161 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
204203impr 456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)
205 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘₯ β†’ (π»β€˜π‘—) = (π»β€˜π‘₯))
206 sneq 4597 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘₯ β†’ {𝑗} = {π‘₯})
207206xpeq1d 5663 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘₯ β†’ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)) = ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))
208207reseq2d 5938 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘₯ β†’ (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))) = (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))
209208oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘₯ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))))
210205, 209oveq12d 7376 . . . . . 6 (𝑗 = π‘₯ β†’ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) = ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))))
211210eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑗 = π‘₯ β†’ (((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿 ↔ ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
212211cbvralvw 3224 . . . 4 (βˆ€π‘— ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘—) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑗} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)
213204, 212sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)
214 sseq2 3971 . . . . 5 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ↔ ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))
215 xpeq2 5655 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ({π‘₯} Γ— 𝑛) = ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))
216215reseq2d 5938 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)) = (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))
217216oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷)))))
218217oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) = ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))))
219218eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿 ↔ ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
220219ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿))
221214, 220anbi12d 632 . . . 4 (𝑛 = (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) β†’ ((ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿) ↔ (ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)))
222221rspcev 3580 . . 3 (((βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ (ran 𝐷 βŠ† (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— (βˆͺ ran 𝑓 βˆͺ ran 𝐷))))) ∈ 𝐿)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿))
223120, 122, 213, 222syl12anc 836 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓:𝐾⟢(𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((π‘“β€˜π‘—) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜)) β†Ύ 𝑧)) ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐿 ↦ ((π»β€˜π‘—) βˆ’ 𝑔))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿))
22485, 223exlimddv 1939 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(ran 𝐷 βŠ† 𝑛 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑛)))) ∈ 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  TopOpenctopn 17308  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  -gcsg 18755  CMndccmn 19567  Abelcabl 19568  TopOnctopon 22275  TopSpctps 22297  Homeochmeo 23120  TopGrpctgp 23438   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-plusf 18501  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494
This theorem is referenced by:  tsmsxp  23522
  Copyright terms: Public domain W3C validator