Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmopnlem 33912
Description: Lemma for cvmopn 33914. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmseu.1 𝐵 = 𝐶
Assertion
Ref Expression
cvmopnlem ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝑣,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑘,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmopnlem
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 cvmcn 33896 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
32adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
4 cvmseu.1 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝐶
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
64, 5cnf 22613 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
73, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐹:𝐵 𝐽)
87adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐵 𝐽)
9 elssuni 4903 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶𝐴 𝐶)
109, 4sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐶𝐴𝐵)
1110adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝐵)
1211sselda 3949 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
138, 12ffvelcdmd 7041 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)
14 cvmcov.1 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1514, 5cvmcov 33897 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽) → ∃𝑡𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡 ∧ (𝑆𝑡) ≠ ∅))
161, 13, 15syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → ∃𝑡𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡 ∧ (𝑆𝑡) ≠ ∅))
17 n0 4311 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑡) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑆𝑡))
18 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)
19 resima2 5977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ (𝑥𝑤 𝑧𝑥) → ((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑤 ∈ (𝑆𝑡))
221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2312adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑧𝐵)
24 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑡)
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑤 𝑧𝑥) = (𝑥𝑤 𝑧𝑥)
2614, 4, 25cvmsiota 33911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑤 ∈ (𝑆𝑡) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑡)) → ((𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤𝑧 ∈ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
2722, 21, 23, 24, 26syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ((𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤𝑧 ∈ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
2827simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤)
2914cvmshmeo 33905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ (𝑆𝑡) ∧ (𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤) → (𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ ((𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥))Homeo(𝐽t 𝑡)))
3021, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ ((𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥))Homeo(𝐽t 𝑡)))
31 cvmtop1 33894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
3222, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐶 ∈ Top)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐴𝐶)
34 elrestr 17317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤𝐴𝐶) → (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ (𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
3532, 28, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ (𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
36 hmeoima 23132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ ((𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥))Homeo(𝐽t 𝑡)) ∧ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ (𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → ((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡))
3730, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡))
3820, 37eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡))
39 cvmtop2 33895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐽 ∈ Top)
4214cvmsrcl 33898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝑆𝑡) → 𝑡𝐽)
4342ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑡𝐽)
44 restopn2 22544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑡𝐽) → ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡) ↔ ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ 𝑡)))
4541, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡) ↔ ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ 𝑡)))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ 𝑡))
4746simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽)
487ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐹 Fn 𝐵)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐹 Fn 𝐵)
50 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ 𝐴
5133, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐴𝐵)
5250, 51sstrid 3960 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ 𝐵)
53 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑧𝐴)
5427simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))
5553, 54elind 4159 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
56 fnfvima 7188 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ 𝐵𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))))
5749, 52, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))))
58 imass2 6059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ 𝐴 → (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴))
5950, 58mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴))
60 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))))
61 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → (𝑦 ⊆ (𝐹𝐴) ↔ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴)))
6260, 61anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → (((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴))))
6362rspcev 3584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴))) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
6447, 57, 59, 63syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
6564expr 458 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑆𝑡) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
6665exlimdv 1937 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑡) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑆𝑡) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
6717, 66biimtrid 241 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑡) → ((𝑆𝑡) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
6867expimpd 455 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ 𝑡 ∧ (𝑆𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
6968rexlimdvw 3158 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑡𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡 ∧ (𝑆𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7016, 69mpd 15 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
7170ralrimiva 3144 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → ∀𝑧𝐴𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
72 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑦))
7372anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7473rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7574ralima 7193 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐵𝐴𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7648, 11, 75syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7771, 76mpbird 257 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
78 eltop2 22341 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7940, 78syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
8077, 79mpbird 257 1 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  {crab 3410  cdif 3912  cin 3914  wss 3915  c0 4287  𝒫 cpw 4565  {csn 4591   cuni 4870  cmpt 5193  ccnv 5637  cres 5640  cima 5641   Fn wfn 6496  wf 6497  cfv 6501  crio 7317  (class class class)co 7362  t crest 17309  Topctop 22258   Cn ccn 22591  Homeochmeo 23120   CovMap ccvm 33889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774  df-en 8891  df-fin 8894  df-fi 9354  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cn 22594  df-hmeo 23122  df-cvm 33890
This theorem is referenced by:  cvmopn  33914
  Copyright terms: Public domain W3C validator