Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmopnlem 33346
Description: Lemma for cvmopn 33348. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmseu.1 𝐵 = 𝐶
Assertion
Ref Expression
cvmopnlem ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝑣,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑘,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmopnlem
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 cvmcn 33330 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
32adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
4 cvmseu.1 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝐶
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
64, 5cnf 22468 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
73, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐹:𝐵 𝐽)
87adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐵 𝐽)
9 elssuni 4881 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶𝐴 𝐶)
109, 4sseqtrrdi 3981 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐶𝐴𝐵)
1110adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝐵)
1211sselda 3930 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
138, 12ffvelcdmd 6999 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)
14 cvmcov.1 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1514, 5cvmcov 33331 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽) → ∃𝑡𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡 ∧ (𝑆𝑡) ≠ ∅))
161, 13, 15syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → ∃𝑡𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡 ∧ (𝑆𝑡) ≠ ∅))
17 n0 4290 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑡) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑆𝑡))
18 inss2 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)
19 resima2 5943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ (𝑥𝑤 𝑧𝑥) → ((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
21 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑤 ∈ (𝑆𝑡))
221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑧𝐵)
24 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑡)
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑤 𝑧𝑥) = (𝑥𝑤 𝑧𝑥)
2614, 4, 25cvmsiota 33345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑤 ∈ (𝑆𝑡) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑡)) → ((𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤𝑧 ∈ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
2722, 21, 23, 24, 26syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ((𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤𝑧 ∈ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
2827simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤)
2914cvmshmeo 33339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ (𝑆𝑡) ∧ (𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤) → (𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ ((𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥))Homeo(𝐽t 𝑡)))
3021, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ ((𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥))Homeo(𝐽t 𝑡)))
31 cvmtop1 33328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
3222, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐶 ∈ Top)
33 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐴𝐶)
34 elrestr 17206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝑥𝑤 𝑧𝑥) ∈ 𝑤𝐴𝐶) → (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ (𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
3532, 28, 33, 34syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ (𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
36 hmeoima 22987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ ((𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥))Homeo(𝐽t 𝑡)) ∧ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ∈ (𝐶t (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → ((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡))
3730, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ((𝐹 ↾ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡))
3820, 37eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡))
39 cvmtop2 33329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐽 ∈ Top)
4214cvmsrcl 33332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝑆𝑡) → 𝑡𝐽)
4342ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑡𝐽)
44 restopn2 22399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑡𝐽) → ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡) ↔ ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ 𝑡)))
4541, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ (𝐽t 𝑡) ↔ ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ 𝑡)))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ 𝑡))
4746simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽)
487ffnd 6636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐹 Fn 𝐵)
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐹 Fn 𝐵)
50 inss1 4172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ 𝐴
5133, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝐴𝐵)
5250, 51sstrid 3941 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ 𝐵)
53 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑧𝐴)
5427simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))
5553, 54elind 4138 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))
56 fnfvima 7146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ 𝐵𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))))
5749, 52, 55, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))))
58 imass2 6025 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)) ⊆ 𝐴 → (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴))
5950, 58mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴))
60 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥)))))
61 sseq1 3955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → (𝑦 ⊆ (𝐹𝐴) ↔ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴)))
6260, 61anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) → (((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴))))
6362rspcev 3570 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∈ 𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ∧ (𝐹 “ (𝐴 ∩ (𝑥𝑤 𝑧𝑥))) ⊆ (𝐹𝐴))) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
6447, 57, 59, 63syl12anc 834 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡𝑤 ∈ (𝑆𝑡))) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
6564expr 457 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑆𝑡) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
6665exlimdv 1935 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑡) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑆𝑡) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
6717, 66biimtrid 241 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑡) → ((𝑆𝑡) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
6867expimpd 454 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ 𝑡 ∧ (𝑆𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
6968rexlimdvw 3154 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑡𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑡 ∧ (𝑆𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7016, 69mpd 15 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑧𝐴) → ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
7170ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → ∀𝑧𝐴𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
72 eleq1 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑦))
7372anbi1d 630 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7473rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ∃𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7574ralima 7151 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐵𝐴𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7648, 11, 75syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7771, 76mpbird 256 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴)))
78 eltop2 22196 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
7940, 78syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐴)∃𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦 ⊆ (𝐹𝐴))))
8077, 79mpbird 256 1 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3404  cdif 3893  cin 3895  wss 3896  c0 4266  𝒫 cpw 4543  {csn 4569   cuni 4848  cmpt 5168  ccnv 5604  cres 5607  cima 5608   Fn wfn 6458  wf 6459  cfv 6463  crio 7269  (class class class)co 7313  t crest 17198  Topctop 22113   Cn ccn 22446  Homeochmeo 22975   CovMap ccvm 33323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-map 8663  df-en 8780  df-fin 8783  df-fi 9238  df-rest 17200  df-topgen 17221  df-top 22114  df-topon 22131  df-bases 22167  df-cn 22449  df-hmeo 22977  df-cvm 33324
This theorem is referenced by:  cvmopn  33348
  Copyright terms: Public domain W3C validator