MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnsubg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opnsubg 23611
Description: An open subgroup of a topological group is also closed. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
opnsubg ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Proof of Theorem opnsubg
Dummy variables π‘₯ 𝑒 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
21subgss 19006 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
323ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
4 subgntr.h . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
54, 1tgptopon 23585 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
653ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
7 toponuni 22415 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
93, 8sseqtrd 4022 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
108difeq1d 4121 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑆))
11 df-ima 5689 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β€œ 𝑆) = ran ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β†Ύ 𝑆)
123adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1312resmptd 6040 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
1413rneqd 5937 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ ran ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β†Ύ 𝑆) = ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
1511, 14eqtrid 2784 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β€œ 𝑆) = ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
16 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
17 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
19 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
20 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
2119, 1, 20, 4tgplacthmeo 23606 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
2216, 18, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
23 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐽)
24 hmeoima 23268 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β€œ 𝑆) ∈ 𝐽)
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β€œ 𝑆) ∈ 𝐽)
2615, 25eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ 𝐽)
27 tgpgrp 23581 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2816, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
29 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
301, 20, 29grprid 18852 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯)
3128, 18, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯)
32 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3329subg0cl 19013 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
35 ovex 7441 . . . . . . . 8 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) ∈ V
36 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
37 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (0gβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)))
3836, 37elrnmpt1s 5956 . . . . . . . 8 (((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆 ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) ∈ V) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
3934, 35, 38sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
4031, 39eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
4128adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4218adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4312sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
441, 20grpcl 18826 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4541, 42, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
46 eldifn 4127 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑆)
4746ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑆)
48 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
4948subgsubcl 19016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
50493com23 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
51503expia 1121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
5232, 51sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
531, 20, 48grppncan 18913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)𝑦) = π‘₯)
5441, 42, 43, 53syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)𝑦) = π‘₯)
5554eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ π‘₯ ∈ 𝑆))
5652, 55sylibd 238 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
5747, 56mtod 197 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Β¬ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
5845, 57eldifd 3959 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆))
5958fmpttd 7114 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)):π‘†βŸΆ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆))
6059frnd 6725 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆))
61 eleq2 2822 . . . . . . . 8 (𝑒 = ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 ↔ π‘₯ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))))
62 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑒 = ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β†’ (𝑒 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆) ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)))
6361, 62anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑒 = ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆))))
6463rspcev 3612 . . . . . 6 ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)))
6526, 40, 60, 64syl12anc 835 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)))
6665ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)))
67 topontop 22414 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
686, 67syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
69 eltop2 22477 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆))))
7068, 69syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆)βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆))))
7166, 70mpbird 256 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽)
7210, 71eqeltrrd 2834 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽)
73 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
7473iscld 22530 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽)))
7568, 74syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽)))
769, 72, 75mpbir2and 711 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  TopOpenctopn 17366  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  SubGrpcsubg 18999  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  Clsdccld 22519  Homeochmeo 23256  TopGrpctgp 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-tmd 23575  df-tgp 23576
This theorem is referenced by:  cldsubg  23614  tgpconncompss  23617
  Copyright terms: Public domain W3C validator