Theorem hoaddridi 32370

Description: Sum of a Hilbert space operator with the zero operator. (Contributed by NM, 15-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hoaddrid.1	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hoaddridi	⊢ (𝑇 +op 0hop ) = 𝑇

Proof of Theorem hoaddridi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoaddrid.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2		ho0f 32335	. . . . 5 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
3		hosval 32324	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0hop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 0hop )‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ ( 0hop ‘𝑥)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇 +op 0hop )‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ ( 0hop ‘𝑥)))
5		ho0val 32334	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
6	5	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) +ℎ ( 0hop ‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ 0ℎ))
7	1	ffvelcdmi 7075	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
8		ax-hvaddid 31588	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑇‘𝑥))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑇‘𝑥))
10	4, 6, 9	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇 +op 0hop )‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
11	10	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 +op 0hop )‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)
12	1, 2	hoaddcli 32352	. . 3 ⊢ (𝑇 +op 0hop ): ℋ⟶ ℋ
13	12, 1	hoeqi 32345	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 +op 0hop )‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (𝑇 +op 0hop ) = 𝑇)
14	11, 13	mpbi 233	1 ⊢ (𝑇 +op 0hop ) = 𝑇

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ℋchba 31503   +_ℎ cva 31504  0_ℎc0v 31508   +_op chos 31522   0_hop ch0o 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hvcom 31585  ax-hvass 31586  ax-hv0cl 31587  ax-hvaddid 31588  ax-hfvmul 31589  ax-hvmulid 31590  ax-hvmulass 31591  ax-hvdistr1 31592  ax-hvdistr2 31593  ax-hvmul0 31594  ax-hfi 31663  ax-his1 31666  ax-his2 31667  ax-his3 31668  ax-his4 31669  ax-hcompl 31786

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-lm 23527  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cfil 25556  df-cau 25557  df-cmet 25558  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-gdiv 31080  df-ablo 31129  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-vs 31183  df-nmcv 31184  df-ims 31185  df-dip 31285  df-ssp 31306  df-ph 31397  df-cbn 31447  df-hnorm 31552  df-hba 31553  df-hvsub 31555  df-hlim 31556  df-hcau 31557  df-sh 31791  df-ch 31805  df-oc 31836  df-ch0 31837  df-shs 31892  df-pjh 31979  df-hosum 32314  df-h0op 32332

This theorem is used by:  hodidi  32371  hoaddrid  32375  ho0subi  32379  hosd1i  32406  hopncani  32408  hosubeq0i  32410  pjclem1  32779