HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  honegsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem honegsubi 31825
Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hodseq.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
honegsubi (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇)

Proof of Theorem honegsubi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodseq.2 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 neg1cn 12378 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
3 hodseq.3 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 homulcl 31788 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
52, 3, 4mp2an 692 . . . . . 6 (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 hosval 31769 . . . . . 6 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
71, 5, 6mp3an12 1450 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
81ffvelcdmi 7103 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
93ffvelcdmi 7103 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
10 hvsubval 31045 . . . . . . 7 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
12 homval 31770 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 · (𝑇𝑥)))
132, 3, 12mp3an12 1450 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 · (𝑇𝑥)))
1413oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
1511, 14eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
167, 15eqtr4d 2778 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
17 hodval 31771 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
181, 3, 17mp3an12 1450 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
1916, 18eqtr4d 2778 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥))
2019rgen 3061 . 2 𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥)
211, 5hoaddcli 31797 . . 3 (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
221, 3hosubcli 31798 . . 3 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
2321, 22hoeqi 31790 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) ↔ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇))
2420, 23mpbi 230 1 (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   cmv 30954   +op chos 30967   ·op chot 30968  op chod 30969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hfvmul 31034
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000  df-hosum 31759  df-homul 31760  df-hodif 31761
This theorem is referenced by:  honegsub  31828  hosubeq0i  31855  lnophdi  32031  bdophdi  32126  nmoptri2i  32128
  Copyright terms: Public domain W3C validator