Theorem honegsubi 32413

Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hodseq.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
honegsubi	⊢ (𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

Proof of Theorem honegsubi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodseq.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		neg1cn 12318	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hodseq.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homulcl 32376	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		hosval 32357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
7	1, 5, 6	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
8	1	ffvelcdmi 7094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
9	3	ffvelcdmi 7094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10		hvsubval 31633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
12		homval 32358	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥) = ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
13	2, 3, 12	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥) = ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
14	13	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
15	11, 14	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
16	7, 15	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
17		hodval 32359	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
18	1, 3, 17	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
19	16, 18	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥))
20	19	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)
21	1, 5	hoaddcli 32385	. . 3 ⊢ (𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
22	1, 3	hosubcli 32386	. . 3 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 32378	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) ↔ (𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇))
24	20, 23	mpbi 233	1 ⊢ (𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  1c1 11214   -cneg 11555   ℋchba 31536   +_ℎ cva 31537   ·_ℎ csm 31538   −_ℎ cmv 31542   +_op chos 31555   ·_op chot 31556   −_op chod 31557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-hilex 31616  ax-hfvadd 31617  ax-hfvmul 31622

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-sub 11556  df-neg 11557  df-hvsub 31588  df-hosum 32347  df-homul 32348  df-hodif 32349

This theorem is used by:  honegsub  32416  hosubeq0i  32443  lnophdi  32619  bdophdi  32714  nmoptri2i  32716