HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  honegsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem honegsubi 30780
Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hodseq.2 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
hodseq.3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
Assertion
Ref Expression
honegsubi (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)

Proof of Theorem honegsubi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodseq.2 . . . . . 6 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
2 neg1cn 12272 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
3 hodseq.3 . . . . . . 7 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 homulcl 30743 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . 6 (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 hosval 30724 . . . . . 6 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
71, 5, 6mp3an12 1452 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
81ffvelcdmi 7035 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
93ffvelcdmi 7035 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
10 hvsubval 30000 . . . . . . 7 (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
118, 9, 10syl2anc 585 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
12 homval 30725 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
132, 3, 12mp3an12 1452 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1413oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1511, 14eqtr4d 2776 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
167, 15eqtr4d 2776 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
17 hodval 30726 . . . . 5 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
181, 3, 17mp3an12 1452 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1916, 18eqtr4d 2776 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
2019rgen 3063 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)
211, 5hoaddcli 30752 . . 3 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹
221, 3hosubcli 30753 . . 3 (๐‘† โˆ’op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
2321, 22hoeqi 30745 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡))
2420, 23mpbi 229 1 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  1c1 11057  -cneg 11391   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทโ„Ž csm 29905   โˆ’โ„Ž cmv 29909   +op chos 29922   ยทop chot 29923   โˆ’op chod 29924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hfvmul 29989
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393  df-hvsub 29955  df-hosum 30714  df-homul 30715  df-hodif 30716
This theorem is referenced by:  honegsub  30783  hosubeq0i  30810  lnophdi  30986  bdophdi  31081  nmoptri2i  31083
  Copyright terms: Public domain W3C validator