HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  honegsubi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem honegsubi 31558
Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hodseq.2 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
hodseq.3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
Assertion
Ref Expression
honegsubi (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)
Proof of Theorem honegsubi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodseq.2 . . . . . 6 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
2 neg1cn 12330 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
3 hodseq.3 . . . . . . 7 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 homulcl 31521 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
52, 3, 4mp2an 689 . . . . . 6 (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 hosval 31502 . . . . . 6 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
71, 5, 6mp3an12 1447 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
81ffvelcdmi 7079 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
93ffvelcdmi 7079 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
10 hvsubval 30778 . . . . . . 7 (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
118, 9, 10syl2anc 583 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
12 homval 31503 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
132, 3, 12mp3an12 1447 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1413oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1511, 14eqtr4d 2769 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
167, 15eqtr4d 2769 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
17 hodval 31504 . . . . 5 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
181, 3, 17mp3an12 1447 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1916, 18eqtr4d 2769 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
2019rgen 3057 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)
211, 5hoaddcli 31530 . . 3 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹
221, 3hosubcli 31531 . . 3 (๐‘† โˆ’op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
2321, 22hoeqi 31523 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡))
2420, 23mpbi 229 1 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113  -cneg 11449   โ„‹chba 30681   +โ„Ž cva 30682   ยทโ„Ž csm 30683   โˆ’โ„Ž cmv 30687   +op chos 30700   ยทop chot 30701   โˆ’op chod 30702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hfvmul 30767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-hvsub 30733  df-hosum 31492  df-homul 31493  df-hodif 31494
This theorem is referenced by:  honegsub  31561  hosubeq0i  31588  lnophdi  31764  bdophdi  31859  nmoptri2i  31861
  Copyright terms: Public domain W3C validator