HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  honegsubi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem honegsubi 31044
Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hodseq.2 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
hodseq.3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
Assertion
Ref Expression
honegsubi (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)
Proof of Theorem honegsubi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodseq.2 . . . . . 6 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
2 neg1cn 12325 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
3 hodseq.3 . . . . . . 7 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 homulcl 31007 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
52, 3, 4mp2an 690 . . . . . 6 (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 hosval 30988 . . . . . 6 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
71, 5, 6mp3an12 1451 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
81ffvelcdmi 7085 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
93ffvelcdmi 7085 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
10 hvsubval 30264 . . . . . . 7 (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
12 homval 30989 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
132, 3, 12mp3an12 1451 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1413oveq2d 7424 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1511, 14eqtr4d 2775 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
167, 15eqtr4d 2775 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
17 hodval 30990 . . . . 5 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
181, 3, 17mp3an12 1451 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1916, 18eqtr4d 2775 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
2019rgen 3063 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)
211, 5hoaddcli 31016 . . 3 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹
221, 3hosubcli 31017 . . 3 (๐‘† โˆ’op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
2321, 22hoeqi 31009 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡))
2420, 23mpbi 229 1 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  1c1 11110  -cneg 11444   โ„‹chba 30167   +โ„Ž cva 30168   ยทโ„Ž csm 30169   โˆ’โ„Ž cmv 30173   +op chos 30186   ยทop chot 30187   โˆ’op chod 30188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hfvmul 30253
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-hvsub 30219  df-hosum 30978  df-homul 30979  df-hodif 30980
This theorem is referenced by:  honegsub  31047  hosubeq0i  31074  lnophdi  31250  bdophdi  31345  nmoptri2i  31347
  Copyright terms: Public domain W3C validator