Theorem honegsubi 31882

Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hodseq.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
honegsubi	⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

Proof of Theorem honegsubi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodseq.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		neg1cn 12135	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hodseq.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homulcl 31845	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		hosval 31826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
7	1, 5, 6	mp3an12 1454	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
8	1	ffvelcdmi 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
9	3	ffvelcdmi 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10		hvsubval 31102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	8, 9, 10	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
12		homval 31827	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
13	2, 3, 12	mp3an12 1454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
14	13	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
15	11, 14	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
16	7, 15	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
17		hodval 31828	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
18	1, 3, 17	mp3an12 1454	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
19	16, 18	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥))
20	19	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)
21	1, 5	hoaddcli 31854	. . 3 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
22	1, 3	hosubcli 31855	. . 3 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 31847	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) ↔ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇))
24	20, 23	mpbi 230	1 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030  -cneg 11369   ℋchba 31005   +_ℎ cva 31006   ·_ℎ csm 31007   −_ℎ cmv 31011   +_op chos 31024   ·_op chot 31025   −_op chod 31026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hfvmul 31091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-hvsub 31057  df-hosum 31816  df-homul 31817  df-hodif 31818

This theorem is referenced by:  honegsub  31885  hosubeq0i  31912  lnophdi  32088  bdophdi  32183  nmoptri2i  32185