Theorem honegsubi 31774

Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hodseq.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
honegsubi	⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

Proof of Theorem honegsubi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodseq.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		neg1cn 12110	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hodseq.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homulcl 31737	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		hosval 31718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
7	1, 5, 6	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
8	1	ffvelcdmi 7016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
9	3	ffvelcdmi 7016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10		hvsubval 30994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
12		homval 31719	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
13	2, 3, 12	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
14	13	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
15	11, 14	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
16	7, 15	eqtr4d 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
17		hodval 31720	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
18	1, 3, 17	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
19	16, 18	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥))
20	19	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)
21	1, 5	hoaddcli 31746	. . 3 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
22	1, 3	hosubcli 31747	. . 3 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 31739	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) ↔ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇))
24	20, 23	mpbi 230	1 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007  -cneg 11345   ℋchba 30897   +_ℎ cva 30898   ·_ℎ csm 30899   −_ℎ cmv 30903   +_op chos 30916   ·_op chot 30917   −_op chod 30918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-hilex 30977  ax-hfvadd 30978  ax-hfvmul 30983

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-hvsub 30949  df-hosum 31708  df-homul 31709  df-hodif 31710

This theorem is referenced by:  honegsub  31777  hosubeq0i  31804  lnophdi  31980  bdophdi  32075  nmoptri2i  32077