Theorem honegsubi 32398

Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hodseq.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
honegsubi	⊢ (𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

Proof of Theorem honegsubi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodseq.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		neg1cn 12305	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hodseq.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homulcl 32361	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		hosval 32342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
7	1, 5, 6	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
8	1	ffvelcdmi 7083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
9	3	ffvelcdmi 7083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10		hvsubval 31618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
12		homval 32343	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥) = ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
13	2, 3, 12	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥) = ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
14	13	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
15	11, 14	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (( -1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
16	7, 15	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
17		hodval 32344	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
18	1, 3, 17	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
19	16, 18	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥))
20	19	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)
21	1, 5	hoaddcli 32370	. . 3 ⊢ (𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
22	1, 3	hosubcli 32371	. . 3 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 32363	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) ↔ (𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇))
24	20, 23	mpbi 233	1 ⊢ (𝑆 +op ( -1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   -cneg 11542   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523   −_ℎ cmv 31527   +_op chos 31540   ·_op chot 31541   −_op chod 31542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hfvmul 31607

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-hvsub 31573  df-hosum 32332  df-homul 32333  df-hodif 32334

This theorem is used by:  honegsub  32401  hosubeq0i  32428  lnophdi  32604  bdophdi  32699  nmoptri2i  32701