HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  honegsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem honegsubi 31483
Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hodseq.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
honegsubi (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇)

Proof of Theorem honegsubi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodseq.2 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 neg1cn 12333 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
3 hodseq.3 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 homulcl 31446 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
52, 3, 4mp2an 689 . . . . . 6 (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 hosval 31427 . . . . . 6 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
71, 5, 6mp3an12 1450 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
81ffvelcdmi 7085 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
93ffvelcdmi 7085 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
10 hvsubval 30703 . . . . . . 7 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
118, 9, 10syl2anc 583 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
12 homval 31428 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 · (𝑇𝑥)))
132, 3, 12mp3an12 1450 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 · (𝑇𝑥)))
1413oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
1511, 14eqtr4d 2774 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
167, 15eqtr4d 2774 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
17 hodval 31429 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
181, 3, 17mp3an12 1450 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
1916, 18eqtr4d 2774 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥))
2019rgen 3062 . 2 𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥)
211, 5hoaddcli 31455 . . 3 (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
221, 3hosubcli 31456 . . 3 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
2321, 22hoeqi 31448 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) ↔ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇))
2420, 23mpbi 229 1 (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  1c1 11117  -cneg 11452  chba 30606   + cva 30607   · csm 30608   cmv 30612   +op chos 30625   ·op chot 30626  op chod 30627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-hilex 30686  ax-hfvadd 30687  ax-hfvmul 30692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454  df-hvsub 30658  df-hosum 31417  df-homul 31418  df-hodif 31419
This theorem is referenced by:  honegsub  31486  hosubeq0i  31513  lnophdi  31689  bdophdi  31784  nmoptri2i  31786
  Copyright terms: Public domain W3C validator