HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  honegsubi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem honegsubi 31650
Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hodseq.2 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
hodseq.3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
Assertion
Ref Expression
honegsubi (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)
Proof of Theorem honegsubi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodseq.2 . . . . . 6 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
2 neg1cn 12356 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
3 hodseq.3 . . . . . . 7 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 homulcl 31613 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
52, 3, 4mp2an 690 . . . . . 6 (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 hosval 31594 . . . . . 6 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
71, 5, 6mp3an12 1447 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
81ffvelcdmi 7088 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
93ffvelcdmi 7088 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
10 hvsubval 30870 . . . . . . 7 (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
118, 9, 10syl2anc 582 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
12 homval 31595 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
132, 3, 12mp3an12 1447 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1413oveq2d 7432 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1511, 14eqtr4d 2768 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((-1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
167, 15eqtr4d 2768 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
17 hodval 31596 . . . . 5 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
181, 3, 17mp3an12 1447 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1916, 18eqtr4d 2768 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
2019rgen 3053 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)
211, 5hoaddcli 31622 . . 3 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹
221, 3hosubcli 31623 . . 3 (๐‘† โˆ’op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
2321, 22hoeqi 31615 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘† โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡))
2420, 23mpbi 229 1 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  1c1 11139  -cneg 11475   โ„‹chba 30773   +โ„Ž cva 30774   ยทโ„Ž csm 30775   โˆ’โ„Ž cmv 30779   +op chos 30792   ยทop chot 30793   โˆ’op chod 30794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-hilex 30853  ax-hfvadd 30854  ax-hfvmul 30859
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-hvsub 30825  df-hosum 31584  df-homul 31585  df-hodif 31586
This theorem is referenced by:  honegsub  31653  hosubeq0i  31680  lnophdi  31856  bdophdi  31951  nmoptri2i  31953
  Copyright terms: Public domain W3C validator