Theorem honegsubi 32157

Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hodseq.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
honegsubi	⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

Proof of Theorem honegsubi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodseq.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		neg1cn 12207	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hodseq.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homulcl 32120	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		hosval 32101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
7	1, 5, 6	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
8	1	ffvelcdmi 7078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
9	3	ffvelcdmi 7078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10		hvsubval 31377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
12		homval 32102	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
13	2, 3, 12	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
14	13	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
15	11, 14	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
16	7, 15	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
17		hodval 32103	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
18	1, 3, 17	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
19	16, 18	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥))
20	19	rgen 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)
21	1, 5	hoaddcli 32129	. . 3 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
22	1, 3	hosubcli 32130	. . 3 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 32122	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) ↔ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇))
24	20, 23	mpbi 233	1 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  1c1 11105  -cneg 11446   ℋchba 31280   +_ℎ cva 31281   ·_ℎ csm 31282   −_ℎ cmv 31286   +_op chos 31299   ·_op chot 31300   −_op chod 31301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-hilex 31360  ax-hfvadd 31361  ax-hfvmul 31366

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 31332  df-hosum 32091  df-homul 32092  df-hodif 32093

This theorem is used by:  honegsub  32160  hosubeq0i  32187  lnophdi  32363  bdophdi  32458  nmoptri2i  32460