Theorem pjscji 32114

Description: The projection of orthogonal subspaces is the sum of the projections. (Contributed by NM, 11-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjscji	⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻)) = ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻)))

Proof of Theorem pjscji

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3		pjcjt2 31636	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
4	1, 2, 3	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
5	4	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
6	1	pjfi 31648	. . . . . 6 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
7	2	pjfi 31648	. . . . . 6 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
8		hosval 31684	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
9	6, 7, 8	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
11	5, 10	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻))‘𝑥))
12	11	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻))‘𝑥))
13	1, 2	chjcli 31401	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∈ Cℋ
14	13	pjfi 31648	. . 3 ⊢ (projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
15	6, 7	hoaddcli 31712	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
16	14, 15	hoeqi 31705	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ↔ (projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻)) = ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻)))
17	12, 16	sylib 218	1 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (projℎ‘(𝐺 ∨ℋ 𝐻)) = ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ℋchba 30863   +_ℎ cva 30864   C_ℋ cch 30873  ⊥cort 30874   ∨_ℋ chj 30877  proj_ℎcpjh 30881   +_op chos 30882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvmulass 30951  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his2 31027  ax-his3 31028  ax-his4 31029  ax-hcompl 31146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-lm 23114  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cfil 25153  df-cau 25154  df-cmet 25155  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545  df-dip 30645  df-ssp 30666  df-ph 30757  df-cbn 30807  df-hnorm 30912  df-hba 30913  df-hvsub 30915  df-hlim 30916  df-hcau 30917  df-sh 31151  df-ch 31165  df-oc 31196  df-ch0 31197  df-shs 31252  df-chj 31254  df-pjh 31339  df-hosum 31674

This theorem is referenced by:  pjssumi  32115  pjclem1  32139  pjci  32144