Theorem hodsi 31871

Description: Relationship between Hilbert space operator difference and sum. (Contributed by NM, 17-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hodsi	⊢ ((𝑅 −op 𝑆) = 𝑇 ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem hodsi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2	1	ffvelcdmi 7031	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘𝑥) ∈ ℋ)
3		hods.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelcdmi 7031	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
5		hods.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
6	5	ffvelcdmi 7031	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
7		hvsubadd 31173	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥) ↔ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑅‘𝑥)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥) ↔ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑅‘𝑥)))
9		hodval 31838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = ((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)))
10	1, 3, 9	mp3an12 1459	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = ((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)))
11	10	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ ((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥)))
12		hosval 31836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
13	3, 5, 12	mp3an12 1459	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
14	13	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘𝑥) ↔ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑅‘𝑥)))
15	8, 11, 14	3bitr4d 312	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘𝑥)))
16	15	ralbiia 3084	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘𝑥))
17	1, 3	hosubcli 31865	. . 3 ⊢ (𝑅 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
18	17, 5	hoeqi 31857	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (𝑅 −op 𝑆) = 𝑇)
19	3, 5	hoaddcli 31864	. . 3 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
20	19, 1	hoeqi 31857	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘𝑥) ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)
21	16, 18, 20	3bitr3i 302	1 ⊢ ((𝑅 −op 𝑆) = 𝑇 ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ℋchba 31015   +_ℎ cva 31016   −_ℎ cmv 31021   +_op chos 31034   −_op chod 31036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hvcom 31097  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377  df-neg 11378  df-hvsub 31067  df-hosum 31826  df-hodif 31828

This theorem is referenced by:  hodidi  31883  hodseqi  31890  ho0subi  31891  hosd1i  31918  pjoci  32276