Theorem hodsi 29810

Description: Relationship between Hilbert space operator difference and sum. (Contributed by NM, 17-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hodsi	⊢ ((𝑅 −op 𝑆) = 𝑇 ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem hodsi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2	1	ffvelrni 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘𝑥) ∈ ℋ)
3		hods.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelrni 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
5		hods.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
6	5	ffvelrni 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
7		hvsubadd 29112	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥) ↔ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑅‘𝑥)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥) ↔ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑅‘𝑥)))
9		hodval 29777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = ((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)))
10	1, 3, 9	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = ((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)))
11	10	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ ((𝑅‘𝑥) −ℎ (𝑆‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥)))
12		hosval 29775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
13	3, 5, 12	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
14	13	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘𝑥) ↔ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑅‘𝑥)))
15	8, 11, 14	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘𝑥)))
16	15	ralbiia 3077	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘𝑥))
17	1, 3	hosubcli 29804	. . 3 ⊢ (𝑅 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
18	17, 5	hoeqi 29796	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 −op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (𝑅 −op 𝑆) = 𝑇)
19	3, 5	hoaddcli 29803	. . 3 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
20	19, 1	hoeqi 29796	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘𝑥) ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)
21	16, 18, 20	3bitr3i 304	1 ⊢ ((𝑅 −op 𝑆) = 𝑇 ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ℋchba 28954   +_ℎ cva 28955   −_ℎ cmv 28960   +_op chos 28973   −_op chod 28975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-hilex 29034  ax-hfvadd 29035  ax-hvcom 29036  ax-hvass 29037  ax-hv0cl 29038  ax-hvaddid 29039  ax-hfvmul 29040  ax-hvmulid 29041  ax-hvdistr2 29044  ax-hvmul0 29045

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-sub 11029  df-neg 11030  df-hvsub 29006  df-hosum 29765  df-hodif 29767

This theorem is referenced by:  hodidi  29822  hodseqi  29829  ho0subi  29830  hosd1i  29857  pjoci  30215