HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hodsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hodsi 31572
Description: Relationship between Hilbert space operator difference and sum. (Contributed by NM, 17-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hods.1 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hodsi ((𝑅op 𝑆) = 𝑇 ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem hodsi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hods.1 . . . . . 6 𝑅: ℋ⟶ ℋ
21ffvelcdmi 7087 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅𝑥) ∈ ℋ)
3 hods.2 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
43ffvelcdmi 7087 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
5 hods.3 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
65ffvelcdmi 7087 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
7 hvsubadd 30874 . . . . 5 (((𝑅𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)) = (𝑇𝑥) ↔ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) = (𝑅𝑥)))
82, 4, 6, 7syl3anc 1369 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)) = (𝑇𝑥) ↔ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) = (𝑅𝑥)))
9 hodval 31539 . . . . . 6 ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = ((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)))
101, 3, 9mp3an12 1448 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = ((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)))
1110eqeq1d 2729 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ ((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)) = (𝑇𝑥)))
12 hosval 31537 . . . . . 6 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
133, 5, 12mp3an12 1448 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
1413eqeq1d 2729 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅𝑥) ↔ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) = (𝑅𝑥)))
158, 11, 143bitr4d 311 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅𝑥)))
1615ralbiia 3086 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅𝑥))
171, 3hosubcli 31566 . . 3 (𝑅op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
1817, 5hoeqi 31558 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ (𝑅op 𝑆) = 𝑇)
193, 5hoaddcli 31565 . . 3 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
2019, 1hoeqi 31558 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅𝑥) ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)
2116, 18, 203bitr3i 301 1 ((𝑅op 𝑆) = 𝑇 ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  chba 30716   + cva 30717   cmv 30722   +op chos 30735  op chod 30737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-hilex 30796  ax-hfvadd 30797  ax-hvcom 30798  ax-hvass 30799  ax-hv0cl 30800  ax-hvaddid 30801  ax-hfvmul 30802  ax-hvmulid 30803  ax-hvdistr2 30806  ax-hvmul0 30807
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-hvsub 30768  df-hosum 31527  df-hodif 31529
This theorem is referenced by:  hodidi  31584  hodseqi  31591  ho0subi  31592  hosd1i  31619  pjoci  31977
  Copyright terms: Public domain W3C validator