Theorem pjtoi 30116

Description: Subspace sum of projection and projection of orthocomplement. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjidmco.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjtoi	⊢ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘ ℋ)

Proof of Theorem pjtoi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidmco.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		axpjpj 29357	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝑥)))
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝑥)))
4		pjch1 29607	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝑥) = 𝑥)
5	1	pjfi 29641	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
6	1	choccli 29244	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
7	6	pjfi 29641	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘(⊥‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
8		hosval 29677	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘(⊥‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝑥)))
9	5, 7, 8	mp3an12 1452	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝑥)))
10	3, 4, 9	3eqtr4rd 2784	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑥))
11	10	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑥)
12	5, 7	hoaddcli 29705	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
13		helch 29180	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
14	13	pjfi 29641	. . 3 ⊢ (projℎ‘ ℋ): ℋ⟶ ℋ
15	12, 14	hoeqi 29698	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘ ℋ))
16	11, 15	mpbi 233	1 ⊢ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘ ℋ)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172   ℋchba 28856   +_ℎ cva 28857   C_ℋ cch 28866  ⊥cort 28867  proj_ℎcpjh 28874   +_op chos 28875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cc 9937  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695  ax-addf 10696  ax-mulf 10697  ax-hilex 28936  ax-hfvadd 28937  ax-hvcom 28938  ax-hvass 28939  ax-hv0cl 28940  ax-hvaddid 28941  ax-hfvmul 28942  ax-hvmulid 28943  ax-hvmulass 28944  ax-hvdistr1 28945  ax-hvdistr2 28946  ax-hvmul0 28947  ax-hfi 29016  ax-his1 29019  ax-his2 29020  ax-his3 29021  ax-his4 29022  ax-hcompl 29139

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-oadd 8137  df-omul 8138  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-ixp 8510  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-fi 8950  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-card 9443  df-acn 9446  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ioo 12827  df-ico 12829  df-icc 12830  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-seq 13463  df-exp 13524  df-hash 13785  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-rlim 14938  df-sum 15138  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-starv 16685  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-unif 16693  df-hom 16694  df-cco 16695  df-rest 16801  df-topn 16802  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-topgen 16822  df-pt 16823  df-prds 16826  df-xrs 16880  df-qtop 16885  df-imas 16886  df-xps 16888  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-mulg 18345  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-fbas 20216  df-fg 20217  df-cnfld 20220  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-bases 21699  df-cld 21772  df-ntr 21773  df-cls 21774  df-nei 21851  df-cn 21980  df-cnp 21981  df-lm 21982  df-haus 22068  df-tx 22315  df-hmeo 22508  df-fil 22599  df-fm 22691  df-flim 22692  df-flf 22693  df-xms 23075  df-ms 23076  df-tms 23077  df-cfil 24009  df-cau 24010  df-cmet 24011  df-grpo 28430  df-gid 28431  df-ginv 28432  df-gdiv 28433  df-ablo 28482  df-vc 28496  df-nv 28529  df-va 28532  df-ba 28533  df-sm 28534  df-0v 28535  df-vs 28536  df-nmcv 28537  df-ims 28538  df-dip 28638  df-ssp 28659  df-ph 28750  df-cbn 28800  df-hnorm 28905  df-hba 28906  df-hvsub 28908  df-hlim 28909  df-hcau 28910  df-sh 29144  df-ch 29158  df-oc 29189  df-ch0 29190  df-shs 29245  df-pjh 29332  df-hosum 29667

This theorem is referenced by:  pjoci  30117  pjclem1  30132  pjci  30137