Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjtoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjtoi 29555
 Description: Subspace sum of projection and projection of orthocomplement. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjidmco.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjtoi ((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻))) = (proj‘ ℋ)

Proof of Theorem pjtoi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjidmco.1 . . . . 5 𝐻C
2 axpjpj 28796 . . . . 5 ((𝐻C𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 = (((proj𝐻)‘𝑥) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝑥)))
31, 2mpan 682 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (((proj𝐻)‘𝑥) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝑥)))
4 pjch1 29046 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘ ℋ)‘𝑥) = 𝑥)
51pjfi 29080 . . . . 5 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
61choccli 28683 . . . . . 6 (⊥‘𝐻) ∈ C
76pjfi 29080 . . . . 5 (proj‘(⊥‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
8 hosval 29116 . . . . 5 (((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (proj‘(⊥‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝑥)))
95, 7, 8mp3an12 1576 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝑥)))
103, 4, 93eqtr4rd 2842 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = ((proj‘ ℋ)‘𝑥))
1110rgen 3101 . 2 𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = ((proj‘ ℋ)‘𝑥)
125, 7hoaddcli 29144 . . 3 ((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
13 helch 28617 . . . 4 ℋ ∈ C
1413pjfi 29080 . . 3 (proj‘ ℋ): ℋ⟶ ℋ
1512, 14hoeqi 29137 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻)))‘𝑥) = ((proj‘ ℋ)‘𝑥) ↔ ((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻))) = (proj‘ ℋ))
1611, 15mpbi 222 1 ((proj𝐻) +op (proj‘(⊥‘𝐻))) = (proj‘ ℋ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3087  ⟶wf 6095  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876   ℋchba 28293   +ℎ cva 28294   Cℋ cch 28303  ⊥cort 28304  projℎcpjh 28311   +op chos 28312 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cc 9543  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302  ax-hilex 28373  ax-hfvadd 28374  ax-hvcom 28375  ax-hvass 28376  ax-hv0cl 28377  ax-hvaddid 28378  ax-hfvmul 28379  ax-hvmulid 28380  ax-hvmulass 28381  ax-hvdistr1 28382  ax-hvdistr2 28383  ax-hvmul0 28384  ax-hfi 28453  ax-his1 28456  ax-his2 28457  ax-his3 28458  ax-his4 28459  ax-hcompl 28576 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-omul 7802  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-fi 8557  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-acn 9052  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-ioo 12424  df-ico 12426  df-icc 12427  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-fl 12844  df-seq 13052  df-exp 13111  df-hash 13367  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557  df-rlim 14558  df-sum 14755  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-fbas 20062  df-fg 20063  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cld 21149  df-ntr 21150  df-cls 21151  df-nei 21228  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-lm 21359  df-haus 21445  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-fil 21975  df-fm 22067  df-flim 22068  df-flf 22069  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-cfil 23378  df-cau 23379  df-cmet 23380  df-grpo 27865  df-gid 27866  df-ginv 27867  df-gdiv 27868  df-ablo 27917  df-vc 27931  df-nv 27964  df-va 27967  df-ba 27968  df-sm 27969  df-0v 27970  df-vs 27971  df-nmcv 27972  df-ims 27973  df-dip 28073  df-ssp 28094  df-ph 28185  df-cbn 28236  df-hnorm 28342  df-hba 28343  df-hvsub 28345  df-hlim 28346  df-hcau 28347  df-sh 28581  df-ch 28595  df-oc 28626  df-ch0 28627  df-shs 28684  df-pjh 28771  df-hosum 29106 This theorem is referenced by:  pjoci  29556  pjclem1  29571  pjci  29576
 Copyright terms: Public domain W3C validator