Theorem undif 4439

Description: Union of complementary parts into whole. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
undif	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem undif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssequn1 4141	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
2		undif2 4434	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3	2	eqeq1i 2770	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
4	1, 3	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289

This theorem is referenced by:  raldifeq  4450  pwundif  4583  imadifssran  6140  fveqf1o  7290  undifixp  8920  dfdom2  8963  sbthlem5  9067  sbthlem6  9068  domunsn  9103  fodomr  9104  mapdom2  9124  limensuci  9129  findcard2  9137  ssfi  9145  fodomfir  9275  marypha1lem  9381  brwdom2  9523  infdifsn  9614  ackbij1lem12  10201  ackbij1lem18  10207  ssfin4  10282  fin23lem28  10312  fin23lem30  10314  fin1a2lem13  10384  canthp1lem1  10625  indval2  12214  xrsupss  13326  xrinfmss  13327  hashssdif  14439  hashfun  14464  hashf1lem2  14483  fsumsplit1  15786  fsumless  15838  incexclem  15880  incexc  15881  fprodsplit1f  16034  pwssplit1  21149  frlmsslss2  21885  selvvvval  22253  mdetdiaglem  22716  mdetrlin  22720  mdetrsca  22721  mdetralt  22726  smadiadet  22788  isclo  23205  cmpcld  23520  rrxcph  25512  rrxdstprj1  25529  uniiccmbl  25710  itgss3  25935  dchreq  27380  noextendseq  27789  madeun  28035  axlowdimlem7  29207  axlowdimlem10  29210  fressupp  32945  padct  32975  resf1o  32987  fprodeq02  33081  gsummptres2  33286  cycpmcl  33349  cycpmco2  33366  cyc3co2  33373  cycpmconjslem2  33388  cyc3conja  33390  elrspunidl  33652  lbsdiflsp0  33933  dimkerim  33934  locfinref  34148  esummono  34361  gsumesum  34366  sigaclfu2  34428  measxun2  34517  measvuni  34521  measssd  34522  pmeasmono  34631  eulerpartlemt  34678  tgoldbachgtde  34964  satfvsucsuc  35728  poimirlem9  38140  poimirlem15  38146  poimirlem25  38156  evlselv  43183  fsuppssind  43187  diophrw  43352  eldioph2lem1  43353  eldioph2lem2  43354  kelac1  43652  tfsconcatfn  43927  tfsconcatrev  43937  ioccncflimc  46457  icocncflimc  46461  dirkercncflem2  46676  dirkercncflem3  46677  sge0ss  46984  meassle  47035  meadif  47051  meaiininclem  47058  isomenndlem  47102  hspmbllem1  47198  hspmbllem2  47199  ovolval4lem1  47221  fsumsplitsndif  47973  stgrclnbgr0  48585