Theorem isfull2 17965

Description: Equivalent condition for a full functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfull.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfull.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
isfull.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isfull2	⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦

Proof of Theorem isfull2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfull.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isfull.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
3	1, 2	isfull 17964	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
4		isfull.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	1, 4, 2, 5, 6, 7	funcf2 17919	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
9		ffn 6737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → (𝑥𝐺𝑦) Fn (𝑥𝐻𝑦))
10		df-fo 6569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦) Fn (𝑥𝐻𝑦) ∧ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
11	10	baib 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦) Fn (𝑥𝐻𝑦) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
13	12	ralbidva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
14	13	ralbidva 3174	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
15	14	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
16	3, 15	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  ran crn 5690   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  –onto→wfo 6561  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Hom chom 17309   Func cfunc 17905   Full cful 17956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-ixp 8937  df-func 17909  df-full 17958

This theorem is referenced by:  fullfo  17966  isffth2  17970  cofull  17988  fullestrcsetc  18207  fullsetcestrc  18222  fullthinc  48846