Theorem isfull2 17871

Description: Equivalent condition for a full functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfull.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfull.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
isfull.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isfull2	⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦

Proof of Theorem isfull2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfull.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isfull.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
3	1, 2	isfull 17870	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
4		isfull.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5		simpll 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	1, 4, 2, 5, 6, 7	funcf2 17826	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
9		ffn 6655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → (𝑥𝐺𝑦) Fn (𝑥𝐻𝑦))
10		df-fo 6491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦) Fn (𝑥𝐻𝑦) ∧ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
11	10	baib 540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦) Fn (𝑥𝐻𝑦) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
13	12	ralbidva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
14	13	ralbidva 3160	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
15	14	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
16	3, 15	bitr4i 279	1 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   class class class wbr 5072  ran crn 5619   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  –onto→wfo 6483  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  Hom chom 17222   Func cfunc 17812   Full cful 17862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fo 6491  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8765  df-ixp 8836  df-func 17816  df-full 17864

This theorem is referenced by:  fullfo  17872  isffth2  17876  cofull  17894  fullestrcsetc  18108  fullsetcestrc  18123  fullthinc  49940