Theorem isgim2 19248

Description: A group isomorphism is a homomorphism whose converse is also a homomorphism. Characterization of isomorphisms similar to ishmeo 23697. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isgim2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))

Proof of Theorem isgim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isgim 19245	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
4	1, 2	ghmf1o 19231	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
5	4	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
6	3, 5	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5653  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   GrpHom cghm 19195   GrpIso cgim 19240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-map 8842  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-ghm 19196  df-gim 19242

This theorem is referenced by:  gimcnv  19250  gimco  19251  gicref  19255  pi1xfrgim  25009