Theorem isgim2 19334

Description: A group isomorphism is a homomorphism whose converse is also a homomorphism. Characterization of isomorphisms similar to ishmeo 23884. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isgim2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))

Proof of Theorem isgim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isgim 19331	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
4	1, 2	ghmf1o 19317	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
5	4	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
6	3, 5	bitri 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ^◡ccnv 5661  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268   GrpHom cghm 19282   GrpIso cgim 19326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8825  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-ghm 19283  df-gim 19328

This theorem is referenced by:  gimcnv  19336  gimco  19337  gicref  19341  pi1xfrgim  25185