Theorem gimcnv 19226

Description: The converse of a group isomorphism is a group isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gimcnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) → ◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑆))

Proof of Theorem gimcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	ghmf 19179	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
4		frel 6730	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → Rel 𝐹)
5		dfrel2 6196	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
6	4, 5	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
9	7, 8	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	9	anim1ci 614	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)) → (◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
11		isgim2 19224	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)))
12		isgim2 19224	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑆) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
13	10, 11, 12	3imtr4i 291	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) → ◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ^◡ccnv 5679  Rel wrel 5685  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185   GrpHom cghm 19172   GrpIso cgim 19216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-ghm 19173  df-gim 19218

This theorem is referenced by:  gicsym  19234  reloggim  26551  abliso  32774