Theorem gimcnv 19486

Description: The converse of a group isomorphism is a group isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gimcnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) → ◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑆))

Proof of Theorem gimcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	ghmf 19439	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
4		frel 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → Rel 𝐹)
5		dfrel2 6180	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
6	4, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	3, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
8		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
9	7, 8	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	9	anim1ci 628	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)) → (◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
11		isgim2 19484	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)))
12		isgim2 19484	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑆) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
13	10, 11, 12	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) → ◡𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ^◡ccnv 5649  Rel wrel 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392   GrpHom cghm 19432   GrpIso cgim 19476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8852  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-ghm 19433  df-gim 19478

This theorem is used by:  gicsym  19494  reloggim  26932  abliso  33642