Theorem subggim 19189

Description: Behavior of subgroups under isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subggim	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Proof of Theorem subggim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gimghm 19187	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3		ghmima 19160	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
4	2, 3	sylan 579	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
5		subgim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6	gimf1o 19186	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑆))
8		f1of1 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆))
10		f1imacnv 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
11	9, 10	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
13		ghmpreima 19161	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
14	2, 13	sylan 579	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
15	12, 14	eqeltrrd 2828	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	4, 15	impbida 798	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  SubGrpcsubg 19045   GrpHom cghm 19136   GrpIso cgim 19180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-gim 19182

This theorem is referenced by: (None)