Theorem subggim 19134

Description: Behavior of subgroups under isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subggim	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Proof of Theorem subggim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gimghm 19132	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3		ghmima 19107	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
4	2, 3	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
5		subgim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6	gimf1o 19131	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑆))
8		f1of1 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆))
10		f1imacnv 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
11	9, 10	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
13		ghmpreima 19108	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
14	2, 13	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
15	12, 14	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	4, 15	impbida 799	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  –1-1→wf1 6537  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  SubGrpcsubg 18994   GrpHom cghm 19083   GrpIso cgim 19125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127

This theorem is referenced by: (None)