Theorem subggim 19296

Description: Behavior of subgroups under isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subggim	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Proof of Theorem subggim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gimghm 19294	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3		ghmima 19267	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
4	2, 3	sylan 589	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
5		subgim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6	gimf1o 19293	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑆))
8		f1of1 6799	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆))
10		f1imacnv 6817	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
11	9, 10	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
12	11	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
13		ghmpreima 19268	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
14	2, 13	sylan 589	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
15	12, 14	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	4, 15	impbida 810	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646  –1-1→wf1 6512  –1-1-onto→wf1o 6514  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  SubGrpcsubg 19152   GrpHom cghm 19243   GrpIso cgim 19287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-gim 19289

This theorem is referenced by: (None)