Theorem subggim 19225

Description: Behavior of subgroups under isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subggim	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Proof of Theorem subggim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gimghm 19223	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3		ghmima 19196	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
4	2, 3	sylan 578	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
5		subgim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6	gimf1o 19222	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑆))
8		f1of1 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆))
10		f1imacnv 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→(Base‘𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
11	9, 10	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
12	11	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
13		ghmpreima 19197	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
14	2, 13	sylan 578	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
15	12, 14	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	4, 15	impbida 799	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3947  ^◡ccnv 5679   “ cima 5683  –1-1→wf1 6548  –1-1-onto→wf1o 6550  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  SubGrpcsubg 19080   GrpHom cghm 19172   GrpIso cgim 19216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-gim 19218

This theorem is referenced by: (None)