Theorem gimco 19284

Description: The composition of group isomorphisms is a group isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gimco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem gimco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgim2 19281	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)))
2		isgim2 19281	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ↔ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)))
3		ghmco 19252	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
4		cnvco 5896	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
5		ghmco 19252	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
6	5	ancoms 457	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
7	4, 6	eqeltrid 2833	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)) → ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
8	3, 7	anim12i 611	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
9	8	an4s 658	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
10	1, 2, 9	syl2anb 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
11		isgim2 19281	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
12	10, 11	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2100  ^◡ccnv 5685   ∘ ccom 5690  (class class class)co 7430   GrpHom cghm 19228   GrpIso cgim 19273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-id 5584  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-map 8865  df-0g 17477  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-grp 18952  df-ghm 19229  df-gim 19275

This theorem is referenced by:  gictr  19292