Theorem gimco 19234

Description: The composition of group isomorphisms is a group isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gimco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem gimco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgim2 19231	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)))
2		isgim2 19231	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ↔ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)))
3		ghmco 19202	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
4		cnvco 5827	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
5		ghmco 19202	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
6	5	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
7	4, 6	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)) → ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
8	3, 7	anim12i 619	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
9	8	an4s 666	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
10	1, 2, 9	syl2anb 604	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
11		isgim2 19231	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
12	10, 11	sylibr 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ^◡ccnv 5617   ∘ ccom 5622  (class class class)co 7356   GrpHom cghm 19178   GrpIso cgim 19223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8765  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-ghm 19179  df-gim 19225

This theorem is referenced by:  gictr  19242