Theorem gimco 19491

Description: The composition of group isomorphisms is a group isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gimco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem gimco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgim2 19488	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)))
2		isgim2 19488	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ↔ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)))
3		ghmco 19459	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
4		cnvco 5868	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
5		ghmco 19459	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
6	5	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
7	4, 6	eqeltrid 2864	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆)) → ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆))
8	3, 7	anim12i 625	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
9	8	an4s 673	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
10	1, 2, 9	syl2anb 610	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
11		isgim2 19488	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑆)))
12	10, 11	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpIso 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpIso 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ^◡ccnv 5650   ∘ ccom 5655  (class class class)co 7424   GrpHom cghm 19436   GrpIso cgim 19480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-map 8857  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-grp 19156  df-ghm 19437  df-gim 19482

This theorem is used by:  gictr  19499