Theorem pi1xfrgim 23380

Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrgim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐵   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   𝑔,𝐽,𝑥   𝑃,𝑔,𝑥   𝑄,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝑋(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrgim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2		pi1xfr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3		pi1xfr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
5		pi1xfr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		pi1xfr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1xfr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pi1xfr 23377	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
9		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	pi1xfrcnv 23379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
11	10	simprd 488	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
12		isgim2 18188	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) ↔ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
13	8, 11, 12	sylanbrc 575	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ⟨cop 4441  ∪ cuni 4708   ↦ cmpt 5004  ^◡ccnv 5402  ran crn 5404  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  [cec 8085  0cc0 10333  1c1 10334   − cmin 10668  [,]cicc 12555  Basecbs 16337   GrpHom cghm 18138   GrpIso cgim 18180  TopOnctopon 21237   Cn ccn 21551  IIcii 23201   ≃_phcphtpc 23291  *_𝑝cpco 23322   π₁ cpi1 23325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-ec 8089  df-qs 8093  df-map 8206  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-qus 16636  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-mulg 18024  df-ghm 18139  df-gim 18182  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-ii 23203  df-htpy 23292  df-phtpy 23293  df-phtpc 23314  df-pco 23327  df-om1 23328  df-pi1 23330

This theorem is referenced by:  pconnpi1  32106