MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrgim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrgim 24806
Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
pi1xfr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
pi1xfr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1xfr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
pi1xfrgim (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑔,𝐡   𝑔,𝐹,π‘₯   𝑔,𝐼,π‘₯   πœ‘,𝑔,π‘₯   𝑔,𝐽,π‘₯   𝑃,𝑔,π‘₯   𝑄,𝑔,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑔)   𝑋(π‘₯,𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrgim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . 3 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
2 pi1xfr.q . . 3 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
3 pi1xfr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 pi1xfr.g . . 3 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
5 pi1xfr.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 pi1xfr.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7 pi1xfr.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pi1xfr 24803 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
9 eqid 2731 . . . 4 ran (𝑦 ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[𝑦]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) = ran (𝑦 ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[𝑦]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9pi1xfrcnv 24805 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 = ran (𝑦 ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[𝑦]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∧ ◑𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
1110simprd 495 . 2 (πœ‘ β†’ ◑𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
12 isgim2 19180 . 2 (𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) ↔ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ∧ ◑𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
138, 11, 12sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  [cec 8704  0cc0 11113  1c1 11114   βˆ’ cmin 11449  [,]cicc 13332  Basecbs 17149   GrpHom cghm 19128   GrpIso cgim 19172  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949  IIcii 24616   ≃phcphtpc 24716  *𝑝cpco 24748   Ο€1 cpi1 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-qus 17460  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-mulg 18988  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-ii 24618  df-htpy 24717  df-phtpy 24718  df-phtpc 24739  df-pco 24753  df-om1 24754  df-pi1 24756
This theorem is referenced by:  pconnpi1  34523
  Copyright terms: Public domain W3C validator