Theorem pi1xfrgim 25018

Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrgim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐵   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   𝑔,𝐽,𝑥   𝑃,𝑔,𝑥   𝑄,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝑋(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrgim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2		pi1xfr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3		pi1xfr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
5		pi1xfr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		pi1xfr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1xfr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pi1xfr 25015	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	pi1xfrcnv 25017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
11	10	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
12		isgim2 19198	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) ↔ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
13	8, 11, 12	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4587  ∪ cuni 4864   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  [cec 8635  0cc0 11030  1c1 11031   − cmin 11368  [,]cicc 13268  Basecbs 17140   GrpHom cghm 19145   GrpIso cgim 19190  TopOnctopon 22858   Cn ccn 23172  IIcii 24828   ≃_phcphtpc 24928  *_𝑝cpco 24960   π₁ cpi1 24963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-qus 17434  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-mulg 19002  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-ii 24830  df-htpy 24929  df-phtpy 24930  df-phtpc 24951  df-pco 24965  df-om1 24966  df-pi1 24968

This theorem is referenced by:  pconnpi1  35433