Theorem pi1xfrgim 25116

Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrgim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐵   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   𝑔,𝐽,𝑥   𝑃,𝑔,𝑥   𝑄,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝑋(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrgim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2		pi1xfr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3		pi1xfr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
5		pi1xfr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		pi1xfr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1xfr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pi1xfr 25113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	pi1xfrcnv 25115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = ran (𝑦 ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[𝑦]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
11	10	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
12		isgim2 19305	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) ↔ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
13	8, 11, 12	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4640  ∪ cuni 4915   ↦ cmpt 5234  ^◡ccnv 5692  ran crn 5694  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  [cec 8751  0cc0 11162  1c1 11163   − cmin 11499  [,]cicc 13396  Basecbs 17254   GrpHom cghm 19252   GrpIso cgim 19297  TopOnctopon 22941   Cn ccn 23257  IIcii 24926   ≃_phcphtpc 25026  *_𝑝cpco 25058   π₁ cpi1 25061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240  ax-addf 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8194  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-ec 8755  df-qs 8759  df-map 8876  df-ixp 8946  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-fsupp 9409  df-fi 9458  df-sup 9489  df-inf 9490  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-q 12998  df-rp 13042  df-xneg 13161  df-xadd 13162  df-xmul 13163  df-ioo 13397  df-icc 13400  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-starv 17322  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-unif 17330  df-hom 17331  df-cco 17332  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-pt 17500  df-prds 17503  df-xrs 17558  df-qtop 17563  df-imas 17564  df-qus 17565  df-xps 17566  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-mulg 19108  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21383  df-xmet 21384  df-met 21385  df-bl 21386  df-mopn 21387  df-cnfld 21392  df-top 22925  df-topon 22942  df-topsp 22964  df-bases 22978  df-cld 23052  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-xms 24355  df-ms 24356  df-tms 24357  df-ii 24928  df-htpy 25027  df-phtpy 25028  df-phtpc 25049  df-pco 25063  df-om1 25064  df-pi1 25066

This theorem is referenced by:  pconnpi1  35235