Theorem iundomg 10536

Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union, with explicit choice principles. 𝐵 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunfo.1	⊢ 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
iundomg.2	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴)
iundomg.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ 𝐶)
iundomg.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundomg	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem iundomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunfo.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2		iundomg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴)
3		iundomg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ 𝐶)
4	1, 2, 3	iundom2g 10535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≼ (𝐴 × 𝐶))
5		iundomg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
6		acndom2 10050	. . . 4 ⊢ (𝑇 ≼ (𝐴 × 𝐶) → ((𝐴 × 𝐶) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑇 ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
7	4, 5, 6	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8	1	iunfo 10534	. . 3 ⊢ (2nd ↾ 𝑇):𝑇–onto→∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
9		fodomacn 10052	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ((2nd ↾ 𝑇):𝑇–onto→∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ 𝑇))
10	7, 8, 9	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ 𝑇)
11		domtr 9006	. 2 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≼ (𝐴 × 𝐶)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐶))
12	10, 4, 11	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {csn 4591  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5111   × cxp 5661   ↾ cres 5665  –onto→wfo 6538  (class class class)co 7416  2^nd c2nd 7987   ↑_m cmap 8826   ≼ cdom 8943  AC wacn 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-map 8828  df-dom 8947  df-acn 9940

This theorem is used by:  iundom  10537  iunctb  10570