Theorem iundom 10526

Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iundom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
4	3	rgenw 3089	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
5		iunexg 7960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V)
7		numth3 10454	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card)
9		numacn 10033	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ AC 𝐴))
10	2, 8, 9	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵)
12		reldom 8949	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
13	12	brrelex1i 5718	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
14	13	ralimi 3108	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
15		iunexg 7960	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
16	14, 15	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
17	1, 10, 11	iundom2g 10524	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
18	12	brrelex2i 5719	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		numth3 10454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
20	17, 18, 19	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21		numacn 10033	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶))
22	16, 20, 21	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
23	1, 10, 11, 22	iundomg 10525	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463  {csn 4594  ∪ ciun 4960   class class class wbr 5113   × cxp 5660  dom cdm 5662  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824   ≼ cdom 8941  cardccrd 9921  AC wacn 9924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-ac2 10447

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-card 9925  df-acn 9928  df-ac 10100

This theorem is referenced by:  unidom  10527  alephreg  10567  inar1  10760