MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundom 10567
Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iundom ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2 simpl 481 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝐴𝑉)
3 ovex 7452 . . . . . 6 (𝐵m 𝐶) ∈ V
43rgenw 3054 . . . . 5 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V
5 iunexg 7968 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V) → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V)
62, 4, 5sylancl 584 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V)
7 numth3 10495 . . . 4 ( 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ dom card)
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ dom card)
9 numacn 10074 . . 3 (𝐴𝑉 → ( 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ dom card → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ AC 𝐴))
102, 8, 9sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11 simpr 483 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
12 reldom 8970 . . . . . 6 Rel ≼
1312brrelex1i 5734 . . . . 5 (𝐶𝐵𝐶 ∈ V)
1413ralimi 3072 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
15 iunexg 7968 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
1614, 15sylan2 591 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
171, 10, 11iundom2g 10565 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
1812brrelex2i 5735 . . . 4 ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19 numth3 10495 . . . 4 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21 numacn 10074 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐶))
2216, 20, 21sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐶)
231, 10, 11, 22iundomg 10566 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  {csn 4630   ciun 4997   class class class wbr 5149   × cxp 5676  dom cdm 5678  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cdom 8962  cardccrd 9960  AC wacn 9963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-ac2 10488
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141
This theorem is referenced by:  unidom  10568  alephreg  10607  inar1  10800
  Copyright terms: Public domain W3C validator