Theorem iundom 10458

Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iundom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ovex 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
4	3	rgenw 3056	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
5		iunexg 7910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V)
7		numth3 10386	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card)
9		numacn 9965	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ AC 𝐴))
10	2, 8, 9	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵)
12		reldom 8893	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
13	12	brrelex1i 5681	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
14	13	ralimi 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
15		iunexg 7910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
16	14, 15	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
17	1, 10, 11	iundom2g 10456	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
18	12	brrelex2i 5682	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		numth3 10386	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21		numacn 9965	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶))
22	16, 20, 21	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
23	1, 10, 11, 22	iundomg 10457	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  {csn 4568  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086   × cxp 5623  dom cdm 5625  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767   ≼ cdom 8885  cardccrd 9853  AC wacn 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-ac2 10379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-card 9857  df-acn 9860  df-ac 10032

This theorem is referenced by:  unidom  10459  alephreg  10499  inar1  10692