MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundom 10582
Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iundom ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2 simpl 482 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝐴𝑉)
3 ovex 7464 . . . . . 6 (𝐵m 𝐶) ∈ V
43rgenw 3065 . . . . 5 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V
5 iunexg 7988 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V) → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V)
62, 4, 5sylancl 586 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V)
7 numth3 10510 . . . 4 ( 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ V → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ dom card)
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ dom card)
9 numacn 10089 . . 3 (𝐴𝑉 → ( 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ dom card → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ AC 𝐴))
102, 8, 9sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11 simpr 484 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
12 reldom 8991 . . . . . 6 Rel ≼
1312brrelex1i 5741 . . . . 5 (𝐶𝐵𝐶 ∈ V)
1413ralimi 3083 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
15 iunexg 7988 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
1614, 15sylan2 593 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
171, 10, 11iundom2g 10580 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
1812brrelex2i 5742 . . . 4 ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19 numth3 10510 . . . 4 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21 numacn 10089 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐶))
2216, 20, 21sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐶)
231, 10, 11, 22iundomg 10581 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  {csn 4626   ciun 4991   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cdom 8983  cardccrd 9975  AC wacn 9978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156
This theorem is referenced by:  unidom  10583  alephreg  10622  inar1  10815
  Copyright terms: Public domain W3C validator