MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundom 9570
Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iundom ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . 2 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2 simpl 468 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝐴𝑉)
3 ovex 6827 . . . . . 6 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V
43rgenw 3073 . . . . 5 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V
5 iunexg 7294 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V) → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
62, 4, 5sylancl 574 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
7 numth3 9498 . . . 4 ( 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ dom card)
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ dom card)
9 numacn 9076 . . 3 (𝐴𝑉 → ( 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ dom card → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ AC 𝐴))
102, 8, 9sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11 simpr 471 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
12 reldom 8119 . . . . . 6 Rel ≼
1312brrelexi 5297 . . . . 5 (𝐶𝐵𝐶 ∈ V)
1413ralimi 3101 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
15 iunexg 7294 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
1614, 15sylan2 580 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
171, 10, 11iundom2g 9568 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
1812brrelex2i 5298 . . . 4 ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19 numth3 9498 . . . 4 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21 numacn 9076 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐶))
2216, 20, 21sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐶)
231, 10, 11, 22iundomg 9569 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  {csn 4317   ciun 4655   class class class wbr 4787   × cxp 5248  dom cdm 5250  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  cdom 8111  cardccrd 8965  AC wacn 8968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-ac2 9491
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143
This theorem is referenced by:  unidom  9571  alephreg  9610  inar1  9803
  Copyright terms: Public domain W3C validator