Theorem iundom 10539

Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iundom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
4	3	rgenw 3065	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
5		iunexg 7952	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V)
7		numth3 10467	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card)
9		numacn 10046	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ AC 𝐴))
10	2, 8, 9	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵)
12		reldom 8947	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
13	12	brrelex1i 5732	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
14	13	ralimi 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
15		iunexg 7952	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
16	14, 15	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
17	1, 10, 11	iundom2g 10537	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
18	12	brrelex2i 5733	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		numth3 10467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21		numacn 10046	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶))
22	16, 20, 21	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
23	1, 10, 11, 22	iundomg 10538	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474  {csn 4628  ∪ ciun 4997   class class class wbr 5148   × cxp 5674  dom cdm 5676  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822   ≼ cdom 8939  cardccrd 9932  AC wacn 9935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-ac2 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113

This theorem is referenced by:  unidom  10540  alephreg  10579  inar1  10772