Theorem iundom 10368

Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iundom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ovex 7346	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
4	3	rgenw 3066	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
5		iunexg 7849	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V)
7		numth3 10296	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card)
9		numacn 9875	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ dom card → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ AC 𝐴))
10	2, 8, 9	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵)
12		reldom 8785	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
13	12	brrelex1i 5659	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
14	13	ralimi 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
15		iunexg 7849	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
16	14, 15	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
17	1, 10, 11	iundom2g 10366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
18	12	brrelex2i 5660	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		numth3 10296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21		numacn 9875	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶))
22	16, 20, 21	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
23	1, 10, 11, 22	iundomg 10367	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105  ∀wral 3062  Vcvv 3441  {csn 4569  ∪ ciun 4935   class class class wbr 5085   × cxp 5603  dom cdm 5605  (class class class)co 7313   ↑_m cmap 8661   ≼ cdom 8777  cardccrd 9761  AC wacn 9764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-ac2 10289

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-card 9765  df-acn 9768  df-ac 9942

This theorem is referenced by:  unidom  10369  alephreg  10408  inar1  10601